少儿几何启蒙：认识图形

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书名：少儿几何启蒙 认识图形

ISBN：978-7-115-61975-4

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版　　权

著    刘治平

责任编辑 刘 朋

人民邮电出版社出版发行　　北京市丰台区成寿寺路11号

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内容提要

几何是一门有趣的学问，通过点、线、面的组合，可以构造出千变万化的图形，为我们认识世界打开一扇新的窗户。

“少儿几何启蒙”系列图书是专为小读者编写的一套通俗几何读物。在这套书中，作者在长期研究和教学实践的基础上精心组织内容，通过丰富的例题和习题讲解，深入浅出地介绍基本的几何定义、定理以及解决相关几何问题的方法和技巧。更为重要的一点是，这套书从日常生活的直观认识出发，在形象思维的基础上抽象出普遍的规律性，既符合小读者的思维习惯，又能自然而然地帮助他们提高思维能力。

本书从认识点、线、角开始，帮助小读者加深对平面几何图形的认识，其中包括常见几何图形的特点以及图形组合的相关内容。希望广大小读者在阅读本书的过程中体会到学习几何的乐趣。

总  序^[1]

[1]　本文作者张景中，计算机科学家、数学家和数学教育家，中国科学院院士，曾任第四届中国科普作家协会理事长、第一届中国高等教育学会教育数学专业委员会理事长。

这套小书的作者刘治平教授在回顾退休前后多年的经历时这样说：“我喜欢小孩，更喜欢教小孩。回想起来，自大学教书退休前至今，教小孩学数学有30多个年头了。其间，我倾注心血，边学边教。在做这件事上确实有一点点成绩，自己也获得了莫大的愉悦。”

说“一点点成绩”，当然是刘教授自谦。在此期间，他教过北京海淀区的中关村第一小学、中关村第二小学、北京科技大学附属小学、北京理工大学附属小学、清华大学附属小学、北京大学附属小学等十几所小学的课外数学班；受著名教育家、人民大学附属中学校长刘彭芝之邀，在北京市华罗庚学校教过超常儿童奥数班，参与编写了被广泛采用的教材；参加过第十一届世界天才儿童教育大会，所撰写的文章发表于英国伦敦发行的专刊；还曾应世界天才儿童协会时任主席、台湾师范大学教授吴武典（1940—）之邀，赴台参加1999年资优教育研究学术研讨会并发表文章。他创办了北京幼幼培训学校和北京吉福超常启蒙教育研究所，发表了教研文章30多篇，受到了孩子、家长、学校老师和有关领导的欢迎和赞赏，被评为海淀区教育系统优秀教师。他曾荣获教学征文一等奖、中国科教创新贡献奖及中国当代思想成就奖等。这就是一位退休老人的“一点点成绩”！

我们自然要问，这位老教授是如何教孩子们学数学的呢？中小学数学里几何最难，他又是如何教孩子们学几何的呢？

这套小书总称“少儿几何启蒙”，顺次分为“认识图形”“学会推理”“立体图形”和“图形变换”四个分册。作者在书中开门见山、直来直去、生动详尽地展示了自己教小孩的具体过程和核心思路，并结合近年来中小学数学教学中有效的新思路做了若干补充。

讲几何离不开几何图形，几何图形的基本元素无非是点、直线、线段和圆等。刘教授用生动直白的话语向孩子们介绍这些基本图形，直来直去地指着黑板说：“这叫什么？这叫‘点’。用笔在纸上画一个点，可以画大些，也可以画小些。点在纸上占一个位置。”

在这里，他不说“这是‘点’”，而说“这叫‘点’”，其背后有深刻的道理。自19世纪以来，数学家开始明白，数学研究的对象（如数、点等）并非客观的实体，它们“实际上”是什么，不可能也不需要在数学上讨论和解决。数学关心的只是这些研究对象组成的结构和关系。柯朗等在名著《什么是数学》中说：“基本的数学概念必须抽象化，这一见解是近代公理化发展中最重要和最丰富的成果之一。”这里，刘教授采用“这叫‘点’”的用语，体现了数学概念抽象化的深刻思想，在孩子们的心里播下数学思维的种子。在讲解相关内容时，刘教授为此加了一节“写给家长和老师的话”，有助于家长和老师在孩子们成长的过程中帮助其深化这方面的认识。

在语言文字生动简明的基础上，刘教授在书中对几何逻辑推理的起点也进行了简化梳理，并且提出了“信息几何”这一新概念，不仅关心几何图形中几何性质的逻辑关系，也关心图形中的组合计量信息。孩子们可以通过“点连线”“线交点”“种树成行”“摆小棍”“破密码”“数图形个数”“连线游戏”等一系列有趣的活动，在玩中学，在学中玩。这些活动贯穿着观察与猜想，通过归纳找规律，开放思维，放飞想象。例如，引导孩子们观察、计算11条直线最多能交出多少个点，由少到多，让孩子们发现其中的规律。又如，在观赏行、列和均为34的四阶幻方后，启发孩子们找寻其中还有哪些和为34的数组，它们组成什么样的四边形。结果，大家在课堂上就找出了几十个这样的“数字四边形”，让孩子们产生“震撼感”！这样把几何图形和组合计数联系起来，不仅引出了著名的欧拉网络公式“交点数+区域数-连线数=1”，还介绍了“二人点连线”“画图形画”等游戏性质的活动，其中一些内容还被英国的《国际天才教育》选为专刊的封面图（Gifted Education International，Volume 12，No 2，1997）。

在认识了常见的几何图形的基础上，自然要引导孩子们学点推理。书中不仅介绍了实际的教学过程和宝贵的经验，还引进了有力的初等几何的新方法，特别是以三共定理为代表的面积法。

传统的几何推理方法以全等三角形和相似三角形为基础。如果图中没有现成的全等三角形或相似三角形，就要作辅助线，这就增加了解题的难度。此外，三角形全等要满足三个条件，三角形相似要满足两个条件，这样从三个或两个条件推出一个结论，给初学者带来了困难。

以三角形面积公式为基础的三共定理学起来容易（都是三角形面积公式的简单推论），用起来方便（一个条件一个结论，还不用作辅助线），解题效果显著，而且能够串通几何、代数和三角的知识，沟通孩子们学过的知识和将来要学的知识。许多重要的几何事实用三共定理来证明，立刻就变简单了。回忆自己在初中学三角形中线的性质，那时要作辅助线，用上平行四边形对角线的性质等知识；现在有了共边定理，将两个面积一比，马上就看出结果来了。这种方法具有一般性，把中点换成三分点或四分点，也能够算出相应的结果。书中除了这个例子，还举出了塞瓦定理等著名结论的简单推导，很有说服力。

在三共定理中，共高定理和共角定理早就有了，但共边定理在传统的教材和教参中未见提到。近年出版的一本高校用的初等几何教材提到过一个有趣的例子：大数学家华罗庚（1910—1985）用初中数学知识给出了射影几何的一条基本定理的证明，用了一页篇幅，但作者后来发现，用基于小学知识的共边定理，仅一行就推导出来了。实际上，共边定理的本质是确定两条直线交点的位置，代数意义就是求解二元一次方程组。这样一来，平面射影几何里所有涉及直线相交的定理用共边定理就都能证明。

另一方面，共角定理的发展直观而自然地引出了三角函数中的正弦，而且不用坐标就给出了涵盖钝角的正弦定义，实现了荷兰数学家、数学教育家弗赖登塔尔（1905—1990）提出的“提前两年学正弦”的设想。我国首创的这种“重建三角”的想法在初中阶段进入教学实验已有十几年，显示出了提升学生学习兴趣和解题能力的明显效果。这套小书向小学生讲正弦，也是一个大胆尝试。我国著名数学教育家张奠宙（1933—2018）在他的著作中写道：“如果能从小学就开始熟悉sin A，当然是一次重大的思想解放……如果三角学真的有一天会下放到小学的话，这大约是一个历史起点。”

综观这套小书，由浅入深，从观察到计算再到推理，从平面画图到制作立体模型，从生动有趣的游戏到大师的著名贡献（如七桥问题和欧拉公式），刘教授总是用浅显通俗的语言引入问题，启发孩子们去想象，诱导孩子们去思考和发现，让孩子们在快乐、惊奇甚至震撼中进入数学的新天地。

我没有教过小学，更没有对小学数学教学做过深入的考察研究。看了这套小书，我感到这样教孩子们学数学必然有好的效果，能够让孩子们爱上数学。当然，孩子们的具体情形各不相同，书中的具体内容也有需要进一步探讨、改进之处。但我希望并相信，千千万万的孩子会在老师或家长的关怀下从书中获益，从书中体会到数学是多么好玩，多么值得思考和探索。

2023年12月25日

前  言

数学是一门伟大的学问，也是人类智慧的最高体现，世界上任何现象的背后都隐藏着数学。我国有着悠久的数学传统，人们一直非常重视数学教育。在少儿的早期教育中，社会各界尤其关注数学启蒙教育。

目前，少儿接受数学教育的渠道很多，教育资源也很丰富。如果简单地把数学分为数与形两大部分，那么少儿在学习与算术和代数相关的内容的同时，很有必要接触和了解与图形相关的几何知识。只有数形结合，才能充分体会到数学的魅力，培养全面的数学思维能力。荷兰著名数学家和数学教育家弗赖登塔尔说：“从小时候起，我们就很熟悉物体的详细图形。这些图形是通过对实物进行放大或缩小而得到的，在数学上称为相似。不容置疑，从认知发展来讲，这种相似性是先于数的概念的。”他还说：“我确信，在个体发展中，几何甚至先于算术。” 我国著名数学家和数学教育家张景中院士首先提出并大力倡导“教育数学”思想，为教育改造数学，对数学原创成果和教材内容进行再创造，以便适合教与学。他主张将计算和图形串通起来，这样数学会变得更有趣和更容易。

然而，在少儿数学启蒙方面，人们所关注的多是算术方面的内容，而对几何的关注较少。原因有多种，其中不少人认为几何很“难”，少儿除了认识简单的几何图形外很难掌握那些深奥的几何知识。另外，目前适合少儿阅读的通俗几何读物很少。因此，出版一套符合少儿认知规律、富有启发意义的几何科普图书是我们的一大心愿。

本书作者刘治平教授自20世纪90年代开始从事少儿数学启蒙教育工作，创办数学启蒙教育学校，曾任北京市华罗庚学校特聘教授，先后受邀到北京市海淀区的十几所小学授课开展教学活动，多次被评为优秀教师，取得了可喜的成果，受到了社会各界的肯定和普遍赞誉。在教学实践中，刘治平教授遵从少儿的认知心理规律，通过生动有趣的课堂面授，促进少儿数学思维的形成和发展。他深刻地认识到，只有跑到“发展”前面的教学才是“好的教学”，而少儿对于几何的接受能力远超一般人的刻板印象，大多数少儿通过系统的学习就能快速掌握一些较为深刻的几何概念和有效的学习方法。这对于他们以后的数学学习大有裨益，尤其是能够改变他们对几何学习的认识。

这套图书是在刘治平教授多年来所使用的讲义的基础上编写而成的，其中既有详细的例题讲解，也有丰富的练习题目，体现了他一贯秉持的教育理念。这套图书一共包括四册，分别是《少儿几何启蒙 ：认识图形》《少儿几何启蒙 ：学会推理》《少儿几何启蒙 ：立体图形》《少儿几何启蒙 ：图形变换》。我建议小读者根据书中的内容安排，循序渐进地学习几何知识。当然，你也可以根据自己的兴趣，按照自己的方式，选取有关内容进行学习。在遇到困难或不懂的问题时，请不要放弃和回避，而是要坚持独立思考，并及时向家长、老师或高年级的同学请教。相信你的学习兴趣会越来越大。

作为少儿学习几何的启蒙读物，这套书对有的知识点只做了初步介绍。如果你想对有关问题进行更系统、深入的学习，可以阅读《平面几何新路》（张景中著）、《一线串通的初等数学》（张景中著）、《少年数学实验（第2版）》（张景中、王鹏远著）以及《仁者无敌面积法：巧思妙解学几何》（彭翕成、张景中著）等著作。

最后，感谢尧刚先生以及成都景中教育软件有限公司在本套图书的出版过程中给予的支持和帮助。

由于时间仓促，本书在编排过程中难免存在疏漏之处，欢迎广大读者朋友批评指正。

第1讲　认识图形（一）

第1节　点、线、角

第2节　典型例题讲解

第3节　我教“点连线”（一）

第4节　写给家长和老师的话

第5节　趣味游戏

附录1　牛顿喜欢的数学趣题

附录2　你也会提出的“点连线”猜想

第1节　点、线、角^[1]

[1]　参见《仁华学校奥林匹克数学课本（小学一年级）》（人大附中编，中国大百科全书出版社，2004年，第1版）。

这叫什么？这叫“点”^[2]。

[2][3]　墨子（名翟，约公元前476—前390）在其所著的《墨子》一书中说：“端，体之无厚而最前者也。”端即指“点”。欧几里得（约公元前330—前275）在其所著的《几何原本》一书中说：“点是没有部分的东西……线是没有宽的长……直线是其上均匀放置着点的线。”

用笔在纸上画一个点，可以画大些，也可以画小些。点在纸上占一个位置。

这叫什么？这叫“线段”。

沿着直尺用笔把两点连起来，就能画出一条线段。线段有两个端点。线段是直的。

这叫什么？这叫“射线”。

从一点出发，沿着直尺画出去，就能画出一条射线。射线有一个端点，另一边延伸得很远很远，没有尽头。射线是直的。

这叫什么？这叫“直线”^[3]。

沿着直尺用笔可以画出直线。直线没有端点，可以向两边无限延伸。直线是直的。

这叫什么？这叫“两条直线相交”。

两条直线相交有一个交点，而且只有一个交点。

这叫什么？这叫“两条直线平行”。

两条直线平行没有交点，无论延伸多远都不相交。

这叫什么？这叫“角”。

角是由一点引出的两条射线构成的。这个点叫角的“顶点”，射线叫角的“边”。角可分为锐角、直角、钝角等，如下图所示。

角也可以看成一条射线绕其端点旋转而构成的图形。当射线旋转到与其初始位置在同一条直线上而方向相反时，所构成的角叫“平角”^[4]；当射线旋转一周回到初始位置时，所构成的角叫“周角”，如下图所示。

[4]　“平角”这个词，乍一看怪怪的！怎么，平了还叫角？数学家怎么起了这样一个含有矛盾的名字呢？要学会“质疑”。

第2节　典型例题讲解

【例1】　骰子原为木制博具，也可用于一般游戏。我国宋朝程大昌（1123—1195）记述道：“骰子之制，即祖袭五木然。”唐时改用骨制作，故称“骰子”。

（1）看一看骰子上的数点是怎样排列的。

（2）下面的点群是由古希腊的毕达哥拉斯（哲学家和数学家，约前580—约前500）搞出来的，分别叫作“三角形数”和“正方形数”。

【例2】　认识数轴。

（1）如下图所示，美国人画的射线上带有箭头，他们这样画表明了什么意思？

解：箭头表示射线的方向。

（2）不知什么人想出了这种花样，在射线上画出了点，还标上了数，如下图所示。你觉得这样做有什么意思？

解：这叫“数轴”。

在射线的端点标上0作为原点，在0的右边的某一点标上1，然后以0到1之间的长度为单位，在1的右边等距离地标上2、3、4……这样规定了原点、正方向和单位长度的射线叫数轴。

其实，完整的数轴还有左边的另一半，代表负数。因此，完整的数轴又叫“数直线”。小朋友们以后会看到数轴大有用处呢！

（3）下面这条射线上的哪个点代表27这个数？

解：点T代表27。

【例3】　“点连线”。不知谁想出了下面的这种连法：在每两个点之间连接一条线段且只连接一条。

先看下面最简单的情况。

那么，你知道在5个点之间能连接出多少条线段？6个点呢？

解：注意箭头仅表示线段的起止方向。

想下去，想开去，10个点、100个点、1000个点……呢？

【例4】　下面我们研究“线交点”。有一道经典试题：两条直线相交有1个交点，3条直线相交可以有3个交点，4条直线相交可以有6个交点，5条直线相交最多可以有10个交点。11条直线相交最多能出现多少个交点？

提示：请你试着画一画，找一找，并且要动脑筋想一想，怎样画才能使交点的数量多起来呢？但不要空想、呆想，也不要只画不想，而是要边画边想，也就是要在活动中反思，要在做中学。

解：为了求出多条直线相交时交点的最多个数，我们尝试改变一下画图方式，如下图所示。

请记住弗赖登塔尔的话：“更重要的是应该引起学生的疑问，老的方法不行了，是否有新的看法（方法）？只有这样才能促进思维的发展……”

为了求出多条直线相交时交点的最多个数，对前面的数据进行分析，以期发现规律。

发现递推规律，运用它求得答案：

我们还发现了用算式表达的以下规律。

2条： 1=1

3条： 3=1+2

4条： 6=1+2+3

5条： 10=1+2+3+4

6条： 15=1+2+3+4+5

7条： 21=1+2+3+4+5+6

可见n条直线相交时出现的最多交点个数N为：

N=1+2+3+…+(n-1)

可知n=11时，有：

特别地，这里我们提出一个“线交点”的反问题（逆向思维）。^[5]

[5]　物理学家陈难先（1937—）说：“提出反问题是提问题的一种重要方法……反问题研究是创造新事物的过程。”

请你在右图中的4个点1、2、3、4和另外4个点1′、2′、3′、4′之间用4条线1-1′、2-2′、3-3′、4-4′进行连接，但其中的任何两条线都不能出现交点，试试看。

解：此题的答案如右图所示。

小朋友们可以学着提出反问题，这可是一件大事！

数学家丘成桐（1949—）说：“中国人通常不太会找问题。我觉得解决问题的能力固然很重要，但是训练寻找问题的能力似乎更重要。会主动寻找问题的人才是第一流人物。训练寻找问题的能力必须从小培养起。”

【例5】　“线串点”。又有一道经典试题：右图中有9个点，请一笔画出由4条线段首尾相连而形成的折线，把这9个点都串联起来。

解：依题意要求，试着画一画，你可能会画出下面的几种不同的折线，但很快就会发现它们都不符合要求。

这时就该停下来进行总结，更确切地说，就是要对前面所做的工作进行批判性审察了。

如何审察？需要做两件事：一是重新仔细地看看题目，已知什么，要求我们做什么；二是反省自身，想想刚才做题时支配自己的不自觉的“下意识”是什么。（下意识又叫潜意识，它在“不知不觉”地支配着你做事时的行为，不审察是很难发现的。）这个批判性审察是要费时间的，很不容易。

你也可能突然就醒悟了：为什么自己总是失败呢？原因是题目本来对4条线段的“连接地点”没有限定，而你自己“下意识”（不知不觉）地总是在“点”上拐弯转向。这是你束缚自己的附加条件。试试去掉这个附加条件，结果会怎样呢？哈哈！果然成功了（见下图）！记下一条经验教训：失败时，学会批判性地审察自己所做的工作，挖出内心深处潜在的“下意识”指导思想，丢掉它的束缚，你就会成功！

下面的提问是进行“复杂化”思考！也很重要哦！

（1）如下图所示，请你一笔画出5条首尾相连的折线，把这12个点串联起来。

（2）请你一笔画出6条首尾相连的折线，把下图中的16个点串联起来。

这两道题的答案如下。

【例6】　下面学习“点共线”（又称“种树成行”）问题。

解：通过巧妙地挖坑，可使种好的树从不同的方向去看（横看、竖看或斜看）时都成行，如下图所示。

提示：在观察此题的不同画法时，体会一下发散性思维——“我就是不要与你相同”！发散性思维又叫求异思维，它不要求符合一致的“标准”，而是强调独树一帜、求异创新、与人不同。它是创造性思维的非常重要的一个方面。

请思考下面的几个问题。

（1）现有10棵树，你能否用一种巧妙的方法将它们种成5行、10行或12行？

（2）有人把12棵树种成了6行，每行4棵，请你也试一试。

（3）有人把16棵树种成了10行和15行，每行4棵，请你也试一试。

（4）有人把21棵树种成了11行和12行，每行5棵；又种成了14行，每行4棵。请你也试一试。

（5）有人把22棵树种成了21行，每行4棵，请你也试一试。

解：请看下面的解答。

（1）10棵树。

（2）12棵树。

（3）16棵树。

（4）21棵树。

（5）22棵树。

观察下面的图形，进一步思考。

【例7】　下图中的每一条线段代表一根小棍，请你看看小棍的摆法有什么讲究。

解：（1）1根小棍的摆法有2种：横、竖。

（2）2根小棍的摆法有4种：横横、横竖、竖横、竖竖。

（3）3根小棍的摆法有8种：横横横、横横竖、横竖横、竖横横、横竖竖、竖横竖、竖竖横、竖竖竖。

（4）4根小棍有16种不同摆法。

①采用枚举法，画出每种具体摆法。

1+4+6+4+1=16（种）

②整理数据，发现递推规律，继而能直接写出更多小棍的摆法数量。

每增加1根小棍，摆法数量增加1倍，也可以写成如下形式：

n+1根小棍的摆法数量=n根小棍的摆法数量×2

③再进一步思考，可以发现n根小棍的摆法数量N就等于n个2的连乘积，即：

④我们将来还会学到n根小棍的摆法数量N可用下式计算：

当n=4时，有：

计算结果与枚举法相同。

回顾与反思：小朋友，数学好玩！这道题竟有4种不同的解法，后来的算法更简单，力量更大。学会了它们，就能计算更大的数，本领就更大了！你不妨再算一算10根小棍的摆法数量。

【附】小朋友们知道抗日战争时期“消息树”的故事吗？

在影片《鸡毛信》中，某地抗战村民在日本鬼子的炮楼附近的小山头上竖起了两棵小树，一名小英雄负责监视和报告敌人的动向。他们有以下约定。

（1）若两棵小树都倒了，则表示日本鬼子和伪军都来了，大家要做好准备。

（2）若只有左边的小树倒下了，则表示伪军来了。

（3）若只有右边的小树倒下了，则表示日本鬼子来了。

（4）若两棵小树都立着，则表他们都没有出来，平安无事!

【例8】　垂直相交是两条直线相交的一种特殊情况。观察下图，回答以下问题。

（1）两条直线垂直相交时形成    个直角。

（2）“田”字图中有    个直角。

（3）“曲”字图中有    个直角。

解：（1）两条直线垂直相交时，人们相信会形成4个直角，如下图所示。

（2）“田”字图中有16个直角，如下图所示。

（3）“曲”字图中有28个直角，如下图所示。

进一步观察和思考，以下汉字中分别有多少个直角？好好数一数！

【例9】　在心中想着锐角、直角和钝角的样子（“概念意象”），你能在自己周围的环境中找到这样的角吗？

解：剪刀张开时可以出现锐角！还有……

门窗、书本上都有好多直角！

钟面上的两根指针可以形成钝角！

【例10】　“在纸上画两条直线，二者要么相交，要么平行”就好比说“在人群中找出两个人，二人的性别要么相同，要么不同”，对不对？

如果不说“在纸（平面）上画”这几个字，而说“空间中的两条直线既不相交也不平行”，这有可能吗？用两只手在空中比画一下，或在现实生活中找一找。右边的图形叫作“三棱柱”，它的上面有“既不相交也不平行”的两条棱吗？再想想立交桥！^[6]

[6]　“老师，有没有两条直线既不相交也不平行的情况？”记得有一次一位小朋友这样问我，我高兴地、大大地表扬了他敢“质疑”的精神和做法，而且因此讲了上面这段话。

解：“空间”中（非平面上）的两条直线可以出现既不相交也不平行的情况，如立交桥便是!

右图表示直线a在平面内，而直线b斜穿该平面，这两条直线既不相交也不平行，数学家给它俩起名叫作“异面直线”。三棱柱上有这样的两条棱。

【例11】　在纸上画出3条直线，可能会出现以下4种不同的情况，你能把它们都画出来吗？

（1）3条直线“没有”交点，或者说“有0个”交点。

（2）3条直线相交于同一点。

（3）3条直线有两个交点。

（4）3条直线有3个交点。

你有画3条直线产生4个交点的本事吗？

解：在纸上画3条直线时出现的4种情况如下图所示。

画不出4个交点就对了。按规则办就有限制，就有办不成的事！（直线要画“直”！）

【例12】　如果规定每两个人要握一次手且只握一次手，那么你一定很容易知道：3个人共握手3次。再往下想一想，4个人、5个人呢？

提示：解此题有几种思路，一是依题意组织小朋友们做握手活动实验；二是采用画图法，即用一个点“•”代表一个人，画一条线段把两个点连起来代表两个人握一次手；三是采用计算法，先按人头统计每个人握手的次数，然后依题意对数据进行处理。

解：（1）画图法。通过画图可知，4个人握手6次，5个人握手10次，如下图所示。

（2）计算法。比如，计算4个人握手的次数时，具体思路如下。

①每个人都要和其他3个人各握手一次，一共要握手3次。

②4个人总共握手12次，即3×4=12。

③前面我们把每两个人握手都算了2次，故实际握手次数为6次，即3×4÷2=6。

同理，5个人握手10次，即5×4÷2=10。

【例13】　请你画出一幅由8个点以及连接它们的若干条线段组成的图形，使得其中每个点恰好引出4条线段，且任意两条线段不在内部相交。右图给出了一幅包含6个点的、符合上述要求的图形，供你参考。

解：这里所说的“两条线段不在内部相交”指的是它们的交点为线段的端点，而不是线段上的其他点。

类似地，对于8个点，可画出符合要求的图形，如右图所示。

请想一想：10个点的情况又怎样呢？

【例14】　下图中的每个小实线正方形连同其内的点线分别表示一个数字，每行的3个小实线正方形都表示一个三位数，它们是791、125、612、275、362。请按图中标注的顺序把它们排好。

解：首先看到4个三位数中612、362、275、125中都有数字2，而4个小正方形中都有图形，因此我们知道这个图形就是2。

这样，可知第四层图形代表275，因为这一层最左端的图形是。由此可知代表7，所以第三层图形代表791。

接下来可知代表1，第二层图形代表125。因此，第一层图形代表612，第五层图形代表362。

提示：解此题的“关键一招”可称为“从找共同点开始”，这种方法能用来解其他类似的题目吗？

【例15】　有人用三个点和一条线段或两个点和两条线段组成的密码表示0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，例如7的密码是“”。

有一次，别人得知他用密码发出了不大于9的自然数的平方数并抄录下来，如下图所示。请你破译这组密码，并用密码写出2014。（注意，每行最左边的①、②……是行号，密码左边是十位数字，右边是个位数字。）

解：首先考察数字。我们知道，1～9这9个数的平方数依次为01、04、09、16、25、36、49、64、81，其中两个数的个位上出现1，两个数的个位上出现4，两个数的个位上出现9，两个数的个位上出现6，一个数的个位上出现5，三个数的十位上出现0，但十位上没有出现5、7、9。同时，1～9这9个数的平方数各不相同。上图中②、③、⑦这三行左边的符号相同，我们可知“”代表0。

然后，易知④行右边的符号“”代表5（因为这组符号只出现过一次），进而得知“”代表2。

01、04、09中的数字1、4也出现在其他平方数的左边，而数字9没有出现在平方数的左边，而②行右边的符号“”没在其他行的左边出现，所以我们可知“”代表9，即②行为09。于是，可知⑥行为49，故“”代表4。这时，可知⑦行为04，③行是01，且“”代表1，于是可知①行是16，进而得知“”代表6。因此，⑧行是81，从而可知“”代表8，⑤行是64，⑨行是36，且“”代表3。

这样，可知2014对应的密码如下：

【例16】　用点表示数。

（1）如下图所示，用点表示数。仔细观察，大胆猜测，你能发现规律吗？

（2）根据你发现的规律，在下图中用点表示数。

（3）根据你发现的规律，写出下图中的点表示的数。

解：（1）略。

（2）解答如下。

（3）解答如下。

【例17】　英国密码专家弗里曼孙发明了一套密码，他将下图中的九宫格和两种十字符号拆解成简单的图形，用这些简单的图形分别表示10个阿拉伯数字和四则运算符号。例如， 表示 。

假如你已经掌握了弗里曼孙的密码，那么请把下列三行密码译出来，并用密码将计算结果写在相应的括号内。

（1） （　　）

（2） （　　）

（3） 　　　（　　）

解：破译过程如下。

（1）9÷3×2-4+7=9（）

（2）5+6÷3×1-2=5（）

（3）8-10÷2+9=12（）

【例18】　根据下面给出的线索破译密码。

待破译的密码如下。

解：破译结果如下。

【例19】　你能根据下面的信息破译这份情报吗？

解：这份情报的内容是united states of america。

不是所有的字母都在所提供的密码中，你可以通过已经找出的密码所代表的字母来猜测，从而破译这份情报。比如，“”代表f，“”代表r。

【例20】　有一座五层楼，各层窗户的4块玻璃都涂上了红点，每个窗户上的红点都代表一个数字，每层的3个窗户由左到右都表示一个三位数。五层窗户上的红点表示的5个三位数是408、791、275、362、612。

问：（1）第二层表示的三位数是什么？

（2）其他各层表示的三位数是什么？

（3）填出1~9及0对应的红点。

解：此题的实质是找“点群”和“数字”的对应关系。

①经观察可见，362和612的个位数字都是2，看点群就可以发现“ ”是2。

②进而可以发现“ ”是6。

③可知“ ”是3，“ ”是1。

④可知“ ”是7，“ ”是5，“ ”是9。

⑤最后可知“ 　　 ”是408。

1~9及0对应的红点如右图所示，这一系列点群称为布莱叶盲文数字。^[7]

[7]　路易·布莱叶（1809—1852）是法国伟大的盲文发明者，小时双眼因故失明。虽有残疾，但他坚持上学，1821年开始边学习边揣摩一种盲人通用的简便文字。到15岁时，他的盲文系统已经研究成功了。

第3节　我教“点连线”（一）

题目：请在下列各图中每两点间连出一条且只连一条线段，各能连出多少条线段？

师：（教学生读题领会题意，要学习“数学中的语文”。）

同学们，每做一题，首先要弄清题意。要弄清题意，就要“咬文嚼字”，就是要抠抠字眼。大家看“每两点间连出一条且只连一条线段”是什么意思？谁要是懂了，就马上把图①对应的这道题做了。

（我下讲台看，发现每个学生都做对了，其结果如图⑤所示。）

好，都做对了。接下来，请做图②对应的题。注意“每两点间”都要连出一条线段……

（我边说边看，发现每个学生也都做对了，其结果如图⑥所示。）

好！你们都连出3条线段，对了。那就往下做图③对应的这道题吧。

（我仍边说边看，发现有不少学生只画出了个正方形，如图⑦所示。我予以提示。）

有的同学要特别注意了，你只是绕着圈画了边框。按着题目中每两点间都连线的要求，还没有画完吧？

（有几个学生一听就把正方形的两条对角线连出来了，如图⑧所示。）

现在还有同学没有把对角上的两个点连起来吗？

（听到这句话，最后几个学生也完成了。）

【评注】数学内容的学习也是一种语言学习。中小学数学题中的词语是介于日常的自然语言与数学的形式语言之间的过渡形态，我们可把它称为“准（或半）数学语言”。在课堂教学的过程中，老师要用心阐释，使学生明白它们和语文课的“味道”大大不同。所以，我常常对学生讲，要注意学习数学中的语文。

从教一、二年级开始，我就注意抓住时机训练学生使用较为严谨的、带数学味的语言。此处即为一例。

师：同学们，请接着做图④对应的这道题，它有5个点……

[我在台下巡视，看到绝大多数学生还是先连周边的5个点，画出了五边形框图。后来偶尔有几个学生再连出一两条线段来（见图⑨），但也找不全！我想，这大概就是到达了“最近发展区”（维果斯基语）的边缘的表现吧。他们都是刚入学的6岁儿童呀！]

师：同学们，请大家停下来吧。

（大家都抬起了头。）

师：同学们看到了这些图中的点数一个比一个多，第四个图中有5个点，你们做起来感到困难了吧，是不是？

众生：是——

师：我告诉大家，一般遇到这种情况时，就要动动脑筋，想想新招了。

某生：老师，你是不是有什么新招教我们呀？

师：对，请跟我学。大家先在草稿纸上重新画出5个点，画好了吗?

众生：画好了！

师：仔细看，第一步从最上面的这个点向其他4个点连线。

一、二、三、四，共连出4条。（我边说边画，见图⑩。）

接着在这个点旁写个“4”，写好了吗？

接着做第二步，从下一个点向其他3个点连线，但最上面的那个点不要再连了。

一、二、三，共连出3条（为了区别于刚才所连的线段，也可以把它们画成波浪线），接着就在旁边写个“3”（见图⑪），做好了吧？类似地，第三步从下一个点连出两条线，写上“2”。

第四步从下一个点连出一条线，写上“1”，然后在最后一个点旁写上“0”（见图⑫）。最后一步就完成了。

某生：老师，我发现中间出现了一个五角星！

师：对，共连出了多少条线段呢？不用数了，一算就出来了！

众生：4+3+2+1=10。

师：好，下面我领大家再连出一个有6个点的图吧！这叫强化练习，每个同学都要按我教的方法认真做。

（学生都按要求做了，结果见图⑬。）

师：最后，算一算6个点连出了多少条线段呢？

众生：5+4+3+2+1=15。

【评注】关于以上这种“点连线”的新方法，我的主张是直接由老师教给孩子们。可能有人会说我是在“灌输”，我也承认。请注意，我在刚才的教学过程中还给孩子们“灌输”了一种“解决问题”的意识呢！碰到新的困难，要想想新招去解决，不能一味地沿着老思路、老方式往下走。不但如此，我还运用了行为主义心理学中的强化操作训练，达到让孩子们形成熟练技能的目的。

在下面的教学过程中，要教孩子们“发现规律”，即填写下表。

师：同学们，接下来要做的是填表。大家仔细看这个表，它有两行，上面一行是已经写好的点数，我们要做的是在下面一行的空格里填上由这些点能连出的线段条数。当然，每两点间连出一条且只连一条线段。对于开头的几格，大家肯定能很快填出来，因为这是前面刚刚做过的事。

我到台下巡视，看见很多学生都填到点数为6的格了，见下表。

师：同学们，知道往下该怎样填吗？

甲生：老师，我看出来了。1、3、6、10、15……是三角形数，我记得后面的数应该是21、28、36、45、55。

师：好，说得很对。我告诉大家，学数学也要背。这位同学背得好，大家给他鼓掌。

乙生：老师，我会找规律。从头开始，1+2=3，3+3=6……

（我赶紧按他说的意思在黑板上画出以下内容。）

师：这位同学能通过比较相邻两个数的差看出规律，大家鼓掌。

丙生：老师，我也能看出规律，比他的方法还要省事。

师：好！你说说看。

（他一言不发，走上讲台，在黑板上画了起来。）

丙生：老师，我这样做不是更简单吗？

师：很好，我同意你的看法。同学们，他创造了一个符号“”，这个符号连接了3个数，如“”表示1+2=3，或是说“”表示a+b=c。反复使用这种方法，就把线段条数挨个找出来了。这叫作递推法。大家鼓掌。

丁生：老师，我也有了自己的找法。你看，5个点时，4+3+2+1=10；6个点时，5+4+3+2+1=15。可见，往后不论有多少个点，线段条数都可以算出来。7个点时，6+5+4+3+2+1=21；8个点时，7+6+5+4+3+2+1=28……11个点时，10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55。

师：太好了！大家鼓掌。从头开始就是下面这样。2个点时，1=1；3个点时，2+1=3；4个点时，3+2+1=6。可见，开头的数最小，它等于点数减1。当然，这个算式也可以倒过来写成下面的样子。

点连线公式（每两点间连出一条且只连一条线段）：

线段条数=1+2+3+…+（点数-1）

这样的式子就叫公式，有了它，我们遇到多少个点都不怕了。

12个点时，1+2+3+…+10+11=66；13个点时，1+2+3+…+10+11+12=78；14个点时，1+2+3+…+10+11+12+13=91；15个点时，1+2+3+…+10+11+12+13+14=105。

同学们，这种找出公式的方法叫归纳法，以后咱们还要学它、用它。这是发现规律的很好的方法。我们如果会发现规律，就会变得更聪明。

【评注】这是关于“点连线”的教学，我给刚入学不久的一年级小学生讲过很多遍了。总体来说，效果都很好。这总是令我时常回忆起美国著名教育心理学家布鲁纳（1915—2016）在其名著《教育过程》中的一段话：“我们一开始就提出这个假设：任何学科都能够用在智育上是诚实的方式，有效地教给任何发展阶段的任何儿童。这是个大胆的假设，并且是思考课程本质的一个必要的假设。不存在同这个假设相反的证据；反之，却积累着许多支持它的证据。”

将“点连线”问题视为握手、比赛等一类实际问题的数学模型是适宜的，这样可使学生把解应用题的水平提高到“数学模式论”的高度上来。

【例】6个小朋友见面互相握手，每两人都握一次，共握多少次手？

解：此题可看成联系生活实际的数学应用题。对于学习了“点连线”的学生来讲，就应当把其归类于相应的数学模型来解。他们应学会如下考虑。用“点”代表人，用两点间连一条线段表示两人握一次手。这样一来，求6个人握多少次手的问题就转化成了已经会解的6个点之间可连多少线段的问题，如右图所示。握手次数=5+4+3+2+1=15（次）。

【评注】现代的数学观认为，数学是关于模式的科学，大自然中充满模式。这种观点反映到数学教学中来，就是我们必须重视探求模式，建立数学模型，将实际问题数学化，运用数学模型进行求解。在上述的“点连线”教学中，我的意图即在此。

“点连线”问题既可以引向排列组合概念里的组合数公式，又可作为图论的入门知识。现在，图论已成为数学中以点和线组成的图为研究对象的分支。但图论里的图不同于欧几里得几何里的图形，它不管“形状”“大小”，也不计算“面积”和“体积”，只看图形中有多少个点和多少条边，关注点和边的连接方式或关系结构。通俗地说，就是研究一个点连着几条边，以及它们如何连接。

【练习1】甲、乙、丙、丁与小强进行象棋比赛，按规则要求每两个人都要比赛一盘。比赛进行到现在时，甲已赛过了4盘，乙已赛过了3盘，丙赛过了2盘，丁赛过了1盘，问现在小强赛过了几盘？

解：把5个人看成5个点，若两个人赛过一盘，就在这两个点之间连出一条线段；若没赛过，则不连。一个人与其他人赛过几盘，就从该点连出几条线段。这种连线的办法就叫“图论法”。如右图所示，我们画出了满足题设条件的连线后，可知到现在小强赛了2盘。

【练习2】请把“七桥问题”的示意图变成“点线图”。

解：古代格尼斯堡的普莱格尔河里有一个小岛A，在小岛与3块陆地B、C、D之间共有7座桥（见右图）。当地居民热衷于解这样一个难题：一个人能不能从某处出发，把这7座桥都走过一遍，并且每座桥只能走一遍。

1736年，瑞士大数学家欧拉（1707—1783）由解此问题而创立了图论这门学科。他做的第一步就是把它画成了“点线图”。他把小岛A和陆地B、C、D画成点，把它们之间的桥画成了连线，如右图所示。

【练习3】请画出有6个点的不同结构的树形图。

解：所谓树形图，可看成除原点外，每条连线的末端都有一个自己的点的图形，如下图所示。

分别有1个、2个、3个、4个、5个点的不同构造的树形图如下。

6个点的不同构造的树形图有如下6种。

【评注】“树”的比较严谨的概念是借助“通路”和“回路”的概念来表述的。所谓图中的一条通路是指从一个点出发，经各点一次且仅仅一次而到达另外一个点的路线。而当它的起点和终点重合时，这条路线叫回路。“树”是这样的一种类型的图：任意两个点之间都有一条通路，就是说它是连通的图；但同时还要求图里没有回路，即图里的任意两个点之间不能有两条不同的通路。

教学时，若要求学生画某些点的树形图，开始最好采取“模糊”策略，不要把树形图的“定义”以及不同构造的含义说得那么清楚，而是要帮学生逐步建构知识。

有7个点的不同构造的树形图共有以下11种。

第4节　写给家长和老师的话

一、看！大家来说“点”

1.“点”究竟是什么

R.柯朗（1888—1972）在其名著《什么是数学：对思想和方法的基本研究》中说：“世世代代以来，数学家一直把他们研究的对象，例如数、点等，看成实实在在的自在之物；但是，准确地描述这些实体的种种努力总是被这些实体自身给否定了。19世纪的数学家逐渐开始懂得，要问当作实体的这些对象究竟是什么。这是没有的，即使有的话，也不可能在数学范围内得到解决。所有适合它们的论断都不涉及这些实体的现实，而只说明数学上‘不加定义的对象’之间的相互关系，以及它们所遵循的运算法则。至于点、线、数‘实际上’是什么，这不可能也不需要在数学中加以讨论。可验证的事实只是结构和关系：两点决定一条直线，一些数按照某些规则组成其他一些数，等等。基本的数学概念必须抽象化，这一见解是近代公理化发展过程中最重要和最丰富的成果之一。”

2.小孩看不到精确的点、线……

著名数学家和哲学家怀特海（1861—1947）在著名演讲《数学与善》中说道：“在实践中，没有人遵循着任何一个精确的数学概念。请考虑上述在学习几何时的那个小孩吧，他决不会看到一个精确的点或一条精确的线，或精确的线的直性，或一个精确的圆。这样的一些事物，是在那个小孩的思想中不能实现的理想。很多这样的理想将被有理性的人所承认……”

怀特海又说，一个小孩容易观看他的老师画在黑板上的直角三角形，但他的意识中并没有各边上的正方形的概念。换言之，一个确定的模式（如直角三角形）并不把它的各种错综复杂的性质直接显示给人的意识。理性意识的这个奇特的局限性是认识论的基本事实。小孩知道老师所讲的、用粗粉笔在黑板上十分清楚地画出的直角三角形，但是这小孩并不知道隐含于其中的无限多的性质。他还说道，在这个小孩对他在黑板上看到的直角三角形所产生的概念中，主要要素是点、线、线的直性、角等。离开无所不包的空间，所有这些概念都没有什么意义。

3.“点”只不过是个空架子

爱因斯坦（1879—1955）在《几何学与经验》中说：“在公理学的几何中，‘点’‘直线’等词语只不过是代表概念的空架子。”他还说，通过空间里的两个点，总有一条且只有一条直线。这条公理在古代和近代意义上是怎样解释的呢？

古代解释：大家都知道什么是直线，什么是点。这种知识究竟是来自人类的一种精神能力还是来自经验，是来自二者的某种结合还是有其他来源，这不是由数学家决定的，他们把这个问题留给哲学家。上述这条公理是以这种先于一切的数学知识为依据的，它像别的一切公理一样，是自明的。也就是说，它是这种先验知识的一部分表述。

近代解释：几何学所处理的对象是以直线、点等这类词语来表示的。对于这些对象，并不需要假定有任何知识和直觉，而只是以公理（如上述的那条公理）的有效性为前提。这些公理在纯粹形式的意义上得以解释，即丝毫没有任何直觉的或经验的内容。

这些公理是人的思想的自由创造。在公理学的几何中，“点”“直线”等词语只不过是代表概念的空架子，至于给它什么内容，那是与数学无关的。

二、关于“问答语句”与“指认方式”

我为什么采用问答语句，以指认方式说明什么是“点”“线段”“直线”等几何的初始概念呢？

我认为用问答语句和指认方式对少儿进行启蒙是人们在日常生活中所采用的最普遍、最自然的一种方式，大概也是唯一可行的方式。试想，当大人教一个小孩认识一只猫时，他除了指着猫对小孩说“这是什么？这是猫”以外，还能有别的什么方法吗？

在此，我想起著名逻辑经验主义学派哲学家石里克（1882—1936）在《意义和证实》一文中曾说过：“最简单的一种实指定义就是一个与某词的发音相联系的指点手势。例如，我们教小孩了解‘蓝’这个语音的意义时，就指着一个蓝色的东西让他看。”为什么人们要采用这种方式呢？石里克解释说：“很明显，为了理解一个词的定义，我们必须事先知道那些用来解释的词的意义；唯一无需任何事先的知识就能达到目的的解释就是实指定义。”英国著名哲学家和数学家罗素（1872—1970）说：“我们可以把‘实指定义’定义为任何一种‘人们无须借其他的词而学会理解另一个词的意义的方法’。”

三、什么是儿童信息几何^[8]

[8]　参见刘治平、曹昌琳所著的《“儿童信息几何”课程设计》，发表于“中国超常儿童心理发展与教育研究20周年国际学术研讨会”（1998年8月19～21日）。该文又刊载于台北市立师范学院期刊《创造思考》第11期（部分刊发）。

什么是儿童信息几何？可以这样说，它的研究对象是以自身作为载体蕴含着某些信息的几何图形及其组合。本书不但在直观上揭示图形本身的几何性质，更重要的是要使儿童通过观察产生顿悟，获得那些图形及其组合所蕴含的信息内容。

众所周知，以图形作为信息载体由来已久，比如中国古代的象形文字。

另外，还有八卦图符。

八卦图符实际上就是一些长短线段的排列组合，但古代的创制者使其负载了丰富的信息内涵，至今仍为学者发掘和诠解的对象。更值得一提的是，我国独创的拼形文字——“方块字”就是一套绝妙的图形系统，堪称“中国的第五大发明”（安子介语）。若再举其近者，当数莫尔斯电码，它们也是由点“”和线段“”按一定的规则组合而成的，能适应发报要求，代替拼音和拼形文字来传递信息。1977年，美国发射航天器“旅行者一号”和“旅行者二号”，它们除了向人们期望找到的外星人发射问候信号外，还发射了一组由数点组成的点阵图，如右图所示。这组图中蕴含着人类的智慧，期待外星人可以破译。

再如，第四套人民币上印刷有盲文数点，如下图所示。

后来，第五套人民币上的盲文数点被改进为如下形式。

你能写出500和1000的盲文数点吗？

请看下面这组阿拉伯数点（布莱叶盲文数字）。

下面是专为盲人设计的点字法字母表。

四、赞扬质疑：线段上的点有多少个^[9]

[9]　我们应教学生敢于质疑，反对让学生“确信无疑”的教学态度。我国古代教育家张载说：“于无疑处有疑，方是进矣。”

有一次，我听到了两位学生的对话，震惊不已！

甲：我最近发现任何一条线段上必定有奇数个点。

乙：我知道，你说的奇数个点就是指1个、3个、5个、7个等，即单数的意思。请问这是为什么，你能解释一下吗？

甲：好！我说说理由。首先任何一条线段（如线段AB）必定有一个中点，如下图中的点M。其次，如果在AM上任取一点A₁，那么在MB上就会有一个点B₁使得AA₁=B₁B（B₁是A₁关于点M的对称点），这说明在线段AB上，除去中点M之外，其他的点必定是成对出现的，它们的数量为偶数。由于偶数加1是奇数，故而线段上的总点数必是奇数无疑！

乙：你说的有一定道理，不过让我想想……我想如果还有一条线段CD呢？它也应该有奇数个点，是不是？

甲：当然！CD上也会有奇数个点。

乙：现在，我们进一步往下想。如果我们让线段CD左侧的端点C紧紧挨着AB右侧的端点B连接成一条大线段AD，则会怎样呢？

甲：啊？我倒没有这样想过。

乙：你看，如下图所示，线段AB上有奇数个点，线段CD上也有奇数个点。根据奇数+奇数=偶数，我们就会推出大线段AD上就应当有偶数个点了，这不就和你所说的“任何一条线段上必定有奇数个点”矛盾了吗？

甲：啊！看来是这样，你的质疑有理！不过，难道说线段上有偶数个点就对吗？

乙：好像也不对，因为你开始说的话也是有道理的。

甲：由此说来，我们说一条线段上有奇数个点不对，有偶数个点也不行，那么它的上面到底有多少个点呢？除了0之外，整数不就是分为奇数和偶数两种吗？

甲、乙：太不可思议了！怎么办？

五、四点连三线：向小学生展示数学题的解法不止一种

数学家丘成桐说：“数学题的每种解法都会有其深刻的意义，你要领会用不同的方法来解决问题……我听说很多小学或中学老师希望学生用规定的方法进行学习，得到老师规定的答案才给满分。我觉得这是错误的。”下面看一道例题。

在下图所示的4个点中，任意两点之间可连出一条线段，请你用3条线段把4个点都连起来，问有多少种不同的连法？

提示：和是符合题意的连法，而和不符合题意。

解法一：下面采用分类枚举法。

考察两点之间的连线，可分为4种情况。

故由分类枚举法可知共有16种不同的连法。

（1）两横一竖和两竖一横（即无斜线）。

（2）两横一斜和两竖一斜。

（3）一横一竖一斜。

（4）两斜一横和两斜一竖。

解法二：下面采用组合数法。

（1）4个点中每两个点之间可以连一条线段，一共可以连出6条线段，如右图所示。

（2）在6条线段中选3条构成一种连法，则共有20种连法，即 （种）。（此法以后会学到。）

（3）在上一步中会产生一个孤立点（即其他3个点构成三角形，如右图所示），因此有4种连法不符合题意。

（4）符合题意的连法有16种，即20-4=16。

第5节　趣味游戏

数学家J. E.李特伍德（1885—1977）说：“一个好的数学游戏胜似一打平常的学术论文。”

米盖尔·古斯曼是西班牙数学家与数学教育家，于1990—1994年担任国际数学教育委员会主席。他的一段关于“数学与游戏”的讲话很重要。他说：“游戏的规则是事先确定的，而游戏本身又允许有不少变着，所以在游戏过程中，往往需要用头脑进行分析，而这种智力活动就其性质而言是跟数学思维很类似的。”

从这样的观点来看，数学确实就是一种游戏，它和其他的智力游戏一样，以同样的方式激励着我们的智力活动。

基于这些理由，我们对下面的情况就完全不会感到惊讶了：各个时代的许多大数学家，如莱布尼茨、高斯等都很热衷于对一些游戏进行考察，他们乐此不疲，耐心地做了长期的研究。^[10]

[10]　摘自古斯曼著《数学探奇》，周克希译，上海教育出版社，1999年2月。

一、憋牛

人数：2人。

棋盘：由5条线段和5个交点构成，如下图所示，整体看起来像长着两个犄角的牛头。

棋子：共有4枚，包括黑子2枚和白子2枚。

布棋：下棋之前，将4枚棋子按照上图所示方式放好。

走棋：二人轮流走棋，每人每次沿图中的线段走一步，由一个交点走到相邻的另一个交点。

胜负：当一个人设法用2枚棋子挡住了对方的2枚棋子，使其无法移动棋子时，则该方获胜（右图表示执黑子者获胜）。

憋牛游戏简单有趣，在我国农村地区曾经很流行，尤其为孩子们所喜欢。用一根小树枝在地上画好棋盘，一个人捡两个石子，另一个人捡两个土坷垃（小土块），就能玩起来了。请你也玩玩看！

二、争排四点成直线

人数：2人。

用具：黑白围棋子若干，以及一块画有方格的硬纸板（作为棋盘）。

规则：二人轮流在棋盘上摆放棋子，棋子可以横向排列，也可以纵向或斜向排列。首先将4枚棋子排成一条直线者获胜。

这个游戏可以随时随地进行。在没有棋子和棋盘的情况下，也可以在纸上画上方格，二人轮流画点“”和“×”，谁先将4个“”或“×”排成一条直线谁就获胜。例如，下图中画“”者获胜。

三、二人点连线

1967年2月21日午后，英国剑桥大学萨西克斯学院的数学研究室里，两个年轻人正坐在一张桌旁喝茶聊天。他们一边海阔天空地谈论着，一边无意识地在纸上你一笔我一笔，互相补充着画一些鸡鸭之类的小动物。原来，他们是在等他们的老师约翰·康威教授^[11]。

[11]　约翰·康威（1937—2020），英国利物浦人，数学家，毕业于剑桥大学。曾运用数学理论设计了许多游戏，如著名的《生命游戏》。2020年4月11日因患新冠肺炎去世。康威年少时就对数学有兴趣。在他4岁时，母亲发现他会背诵2的n次幂。11岁升入中学时，他被问及长大后想干什么。他回答说想在剑桥大学当数学家，后果然实现了儿时的愿望。

不一会儿，从外头来了一位学者，他正是康威教授。学生们立即起身迎接。教授一眼看到纸上画的东西，以为他们此刻正在玩什么游戏。动问之后，他才知道纸上的这些小动物是他们二人你一笔我一笔随意画出来的。这时，一个突发的灵感在教授的脑海中泛起：能否设计一种既简单又有趣的连线游戏？这种游戏只需一张纸一支笔，谁都可以玩个痛快！于是师生三人立即动手进行分析，一种绝妙的连线游戏就这样被创造出来了。

第二天，这种连线游戏开始在萨西克斯学院传开，旋即流行于英伦三岛，继而传遍了世界各地。

下面看看康威教授发明的另一种游戏。在纸上先画3～6个点，两人轮流连线，连线规则有如下三条。

（1）任意两点之间可连一条线（从一点出发画一个圈回到该点也可以），连线后在刚才所画的线上画一个新点，如下图所示。

（2）连线时，线条不能相交，如右图所示。

（3）同一个点最多只能连3条线（一个点有3口“气”），如下图所示。

最后不能连线者输。

四、再玩点连线

这种游戏是由美国布朗大学的戴维·盖尔教授发明的，是一种两个人玩的“点连线”游戏。

一方拿黑笔在纸上画12个黑点，另一方拿红笔在对方画的黑点中间画12个红点，如左图所示（红点用“○”代表）。

以上是准备阶段，该游戏的玩法如下。

先手画出一条水平或竖直的线段，把与自己的笔同色的相邻两点连接起来。后手也如此连线，把与自己的笔同色的相邻两点连接起来。二人轮流进行。

黑方的目标是形成一条连续的线路，该线路从最上面的一行黑点抵达最下面的一行黑点。这条线路不必是笔直的，它可以任意转弯。红方的目标与此相似，尽快从最左侧的一列红点连出一条到达最右侧的红点的线路。

当然，每一方都可以用自己的线路去阻拦对方的去路。

谁先完成自己的目标线路谁获胜，右图表示红方获胜（用虚线表示）。这种游戏不会产生和局。

五、玩形状游戏

安东尼·布朗（1946—）是英国著名画家，他在5岁的时候经常和哥哥玩一种游戏。他说：“我曾经以为这是我们发明的，后来我发现世界各地的孩子们都在玩这种游戏。”这种游戏很简单，一个人随便画一个形状或者线条，另一个人在此基础上添几笔，将它变成一个新的东西。这有点像画画的接龙游戏，安东尼把它叫作“形状游戏”。这“是一种非常简单的游戏，但是本质、核心是创造力”。安东尼说他发现孩子们总能把形状游戏玩得很好，成年人却感叹画不出来，不知道怎么画。

形状游戏对安东尼的职业生涯是如此重要，他甚至认为所有的艺术家实际上都是在玩形状游戏。他说：“如果你仔细看的话，就会发现毕加索也在玩形状游戏，他用的技巧就是让一个事物看起来像另外一个事物。事实上，达·芬奇（1452—1519）也在玩形状游戏。达·芬奇有一段非常有名的话，他说看一段很老很旧的墙，看它的裂缝，看它上面的污渍，如果你看的时间足够久，就会发现有怪兽、战斗等各种景象，整个世界都可以从这段墙上的痕迹里面看出来……看下面这个例子。

第一个人随意画一个形状，如下图所示。

第二个人接着添几笔，便得到一个新图形，如下图所示。

两人或多人可以轮流画下去，看看最终能得到什么有趣的图形。

附录1　牛顿喜欢的数学趣题

牛顿（1643—1727）是英国伟大的科学家、数学家，他在科学研究之余喜欢思考一些轻松的数学趣题，如下面这道“种树成行”问题。现有9棵树，每行种3棵，最多可以种几行？牛顿得出最多可以种10行。牛顿还发现，若有10棵树，每行种3棵，则可以种12行。原来，这样的问题不是我们平常熟悉的算术计算问题，而是几何计算问题。不过，我们现在也可以用它做发散性思维练习。比如，将10棵树种成5行，每行4棵，你能想出多少不同的种法？

19世纪业余数学家山姆·劳埃德（1841—1911）用很长时间研究出了一个“现有20棵树，每行种4棵，最多种几行”的问题。当时，他给出的最好答案是18行，如下面的左图所示。在电子计算机出现后，有两位学者利用计算机给出了20行的种法，见下面的右图。想一想，行数如何数？这也是个问题！我们在前面介绍过相关例题，你可以回顾一下。

附录2　你也会提出的“点连线”猜想^[12]

[12]　摘自[英]西蒙·辛格所著的《费马大定理：一个困惑了世间智者358年的谜》，薛密译，上海译文出版社，1998年。

要学会“猜想”，敢“猜想”。牛顿说：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。”G.波利亚（1887—1985）说：“要成为一个好的数学家，你必须首先是一个好的猜想家。”美国名著《人人关心数学教育的未来》提到“在某种程度上，每个人都是数学家”，“他们（孩子）本能地对待数学，发现模式，并基于观察做出各种猜测”。

下面这个猜想的内容是：在任意多个彼此之间都有直线相连的点之间必有一条其上只有两个点的直线，或者说若在每两个点之间都画一条直线相连，不可能画出每条直线上至少有3个点的点线图。（所有的点都在同一条直线上的情形除外。）

我们先看几个简单的点线图，你会发现这个猜想似乎是对的。下面的左图中有5个点、6条直线，其中4条直线上只有2个点，因此这种点的布局不满足所有直线上都有3个点的要求。

若增加一个点和一条附加的直线，如上面的右图所示，那么图中没有3个点的直线就减少了2条，但又增加了一条，故有3条直线上只有2个点。

倘若我们再加上一个点，如下图所示，则必然增加两条直线（如虚线所示），不满足要求。

总之，不论你试图怎样进一步修改这个点线图，企图使得所有直线上都有3个点，似乎都是办不到的。也就是说，总会出现只有2个点的直线。当然，这个“猜想为真”是还需要证明的。

几代数学家曾试图对这个看上去很简单的“点连线”猜想进行证明，但都失败了。更令人生气的是，最终找到的这个“猜想为真”的证明居然只涉及极少的数学知识，再加上几分智巧。

此处，证明从略，有兴趣的读者可以参看这部分内容所引之书。