谁开启了数学的新篇：近现代数学群星录（下）

书名：谁开启了数学的新篇：近现代数学群星录（下）

ISBN：978-7-115-67420-3

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著    黄 钢

责任编辑 郭 家

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本书以非欧几何的诞生和第三次数学危机为起点，深入探讨了哥德尔不完全性定理等数学史上的重大事件，还追溯了世界各国数学学派的辉煌历程，特别介绍了陈省身、华罗庚、陶哲轩等华人数学家对数学领域的卓越贡献，展现了他们如何在全球数学舞台上留下自己的印记，从而推动数学领域的多元发展和创新。

本书适合对近现代数学感兴趣的读者阅读，无论其数学背景如何，都能从本书中收获全景式的数学知识和哲学思考。

对普通人而言，数学意味着什么？

是定义、定理、公式、计算，还是思想、逻辑、推理、体系？

是美丽、奇妙、严谨、创造，还是复杂、抽象、枯燥、深奥？

有人说，数学是一种语言，可以精确描述大千世界。

有人说，数学是一种工具，能够帮助解决实际问题。

有人说，数学代表着一种思维，它提升认知、启迪智慧。

有人说，数学呈现为一门艺术，它赏心悦目、充满想象。

有人把它当作自然科学，因为它需要实验、观察和证明，就像一个应对物质世界难题的百宝箱。

有人把它当作一种哲学，因为它更偏重宏观、抽象和指引，好似一把开启各个学科大门的钥匙。

正如宋代大文学家苏轼写的诗句：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同。”我们每个人看到的数学面貌如此不同，感受也大相径庭。

对于数学，有些人甘之如饴，有些人则味同嚼蜡。有些人觉其美妙，有些人感到艰深。

也许，我们每个人看到的数学都不是真正的数学，至少不是全面的数学。

事实上，要深入了解数学，特别是近现代数学，是不容易的事。数学家贝叶斯曾言：“随着教育与娱乐的发展，我们能够期待有更多的人欣赏音乐与绘画。但是，能够真正欣赏数学的人是很少的。”

我的初衷是用普通人看得懂的语言来描述数学，期望用一种较为轻松的方式，一种几乎没有公式、没有复杂图表、没有定理、没有证明的方式向大家讲点数学史话。这套书所面向的读者是对数学感兴趣的各界人士。

这套书从近现代数学家的故事出发。

数学家并不像人们想象中的那样不善交际、着装随便、行为怪异。他们是普通人，有喜怒哀乐，也有爱恨情仇；但他们也许有一些异于常人的性格特征，比如对严密逻辑推导的某种偏执。

这套书主要讨论的是近现代数学，也就是说，是从牛顿和莱布尼茨的微积分学开始的，没有追溯古代数学的辉煌成就。

这套书分为上下册，分别命名为《谁点亮了数学的星空：近现代数学群星录》和《谁开启了数学的新篇：近现代数学群星录》。上册更多地涉及分析学、代数学、几何学、拓扑学等经典数学分支的发展。下册则增加了更多的维度，介绍了第三次数学危机、不同国家的数学学派。华人数学家集中在“华夏之光”篇在下册中统一呈现。

我希望这套书能够达到以下效果。

（1）体现一定程度上的整体性。通过阅读这套书，读者能对近现代数学的整体面貌有初步了解，而不只是接收一些不成体系的碎片化信息。为此，我参考了不少图书和网络资料。

（2）重视数学家之间的联系、影响与互动，这往往在描述单个数学家的事迹时容易被忽略。

（3）在介绍数学家的生平事迹的同时，尽量增加一些与其相关的思考与感悟。

（4）通过介绍数学思想，让不同类型的读者都能从中有所收获。

我勉强算得上数学科班出身。上学再加上教书，差不多在纯数学领域“熬”了二十多年。但是，苦于天赋不足，学问有限，试图用简单和通俗的语言描述数学家及其工作，也颇有力不从心之感。如有不准确、不深刻、不全面、不到位之处，在此道一声遗憾与抱歉。

感谢编辑老师为该套书的最终出版做出的许多努力和贡献。

谨以此书献给始终关心爱护着我的亲人和挚友。

黄　钢

第一章
  第五公设探究深入，
非欧几何蓬勃而出

欧几里得的公理化探索使他领先了自己的时代好几百年。

《几何原本》一直是世人公认的典范。在人们的心目中，物质世界一定是欧几里得式的，它是唯一的、必然的、完美的、毋庸置疑的。

大哲学家康德认为，欧几里得几何是人类心灵中内在固有的，因而对于“现实”空间来说，它在客观上是合理的。

前人看似牢不可破的理论可不可以突破？

在高斯、鲍耶，特别是罗巴切夫斯基的手中，非欧几何诞生了！尽管在当时，它显得那么离经叛道。

第五公设

通俗地讲，公设或者公理是公认的，不证自明的。而定理是需要证明的，是在承认公理的基础上通过逻辑推导出来的。

既然欧几里得几何是完美的，那么大家都希望它的公设简单明了。

在欧几里得列出的5个公设中，前四个都简单明了，唯独第五个不太像一条公理，而更像一条定理。

第五公设又被称为平行公设，它说：“给定一条直线，通过此直线外的任何一点，有且只有一条直线与之平行。”

在《几何原本》中，前28个命题的证明中都没有用到第五公设。很自然地，它引起人们的思考：第五公设是否可由其他的公设推出，换句话说，平行公设是冗余的吗？

在这一点上，欧几里得本人似乎也有所怀疑。之后的一代代数学家，都试图从其他四个公设演绎出第五公设。或者，构建一个更基本的公设，从中可以推导出第五公设。

人们开始试图用反证法进行证明。假设平行公设不成立，看是否能由此推出一些矛盾的地方。

高斯的顾虑

三位背景完全不同的数学家在非欧几何的探索道路上艰难地行走着。

他们彼此独立，却殊途同归。

他们要挣脱的是一个信仰，即世界上只存在一种绝对的几何学。

第一位就是大数学家高斯，他很早就思考了平行公设不成立的情形。

高斯曾经试图以实验的方法来检验非欧几何存在的可能性。他在汉诺威公国的大地测量中，通过三个远距离的山头所构成的三角形来测量三角形的内角和。这个想法很有创意，但无论实验结果如何，都不会得到数学上真正需要的证明。

高斯终于意识到，当平行公设不成立时，不会造成前后矛盾，而是会平行地诞生另外一个显得另类的几何学——非欧几何。

但是，他没有发表他的研究成果。1829年，在给友人的信里，高斯解释了他不敢发表的原因。他说，这种“大逆不道”的论点很可能会伤及他的名声。

后人并不知道高斯是从什么时候开始研究非欧几何的，但这一时间肯定早于1824年。当时，高斯在给同事的信中写道：“这个三个内角之和小于180°的假设会导致一个奇妙的几何学出现，它和我们现在的几何学非常不同，但又完全讲得通。”

鲍耶的勇气

名声是成名者的压力，无畏是创新者的特质。

亚诺什·鲍耶——一位年轻的匈牙利火炮官，没有受到这种所谓名声的羁绊。

鲍耶的父亲法尔卡斯·鲍耶和高斯是哥廷根大学的同学和一生的好友，他也曾研究过平行公设，但一无所获。

吃过亏的父亲建议儿子不要在这上面浪费太多时间，多次写信规劝鲍耶：“老天啊，希望你放弃这个问题。”“希望你不要再尝试了，我知道的所有方法都到了尽头，并且我在这里埋没了人生的一切亮光、一切快乐。”“我希望你在第五公设的研究上止步，你即使耗费所有的时间，也不可能证明这个问题的，我的青春和快乐已经空抛在这里。这个地狱将葬送无数个像牛顿一样聪明的巨人。这个漫漫长夜永远不会出现黎明。”

鲍耶偏偏“不听老人言”，他踏出了父亲没敢踏出的那无畏的一步。他证明了非欧几何的存在。

看到儿子的成果，老鲍耶很高兴，他将儿子的研究成果作为自己一本著作的附录发表了，并寄给了高斯，希望得到高斯的赏识。

没想到，高斯的回复是：“我无法赞美他，赞美他等于赞美我自己。因为这项研究的一切内容，包括你的儿子所采用的方法和他所得到的一切结果，几乎和我在30多年前已开始的部分思考相符合。关于我自己的著作，一小部分已经写好，但我本来是一生都不愿意发表的，因为大多数人对于其中所讨论的问题都抱着不正确的态度。”

对鲍耶而言，高斯的回复让他大失所望。大人物高斯不仅缺乏发表新发现的勇气，还顺带打击了一个满怀抱负的年轻数学家的自信心。

后来，鲍耶得知了另外一个数学家——沙皇俄国罗巴切夫斯基的相同成果居然早在两年前就已经发表，自视甚高的他从此拒绝发表任何论文。

鲍耶是个悲剧性的人物，终其一生，他都没有让自己的成果广为人知。他留下了两万多页包含了许多闪光点的研究手稿，郁郁终生。

真知灼见

非欧几何的荣光最终归于罗巴切夫斯基。

1826年2月23日，在喀山大学物理数学系的学术会议上，年轻的罗巴切夫斯基宣读了世界上第一篇关于非欧几何的论文。这篇论文的问世，标志着非欧几何的诞生。

与高斯和鲍耶一样，罗巴切夫斯基同样运用了处理数学问题常用的一种逻辑方法——反证法。他首先对第五公设加以否定，然后用这个否定命题和其他公设组成新的公理系统，展开逻辑推演。

在推演过程中，他得到了一连串似乎完全不合乎常理的命题。但是，经过仔细核验和分析，他没有发现它们之间存在任何逻辑矛盾。

罗巴切夫斯基因此大胆断言，这个并不存在任何矛盾的新公理系统构成了一种新的几何学，它的逻辑完整性和严密性完全可以和欧几里得几何媲美。

至此，世界上出现了两种几何学：一种是有唯一平行线的欧几里得几何；另一种是存在多条平行线，被称为罗巴切夫斯基几何（简称罗氏几何）或双曲几何的非欧几何。

欧几里得几何不再是几何世界里唯一的真理。

1893年，喀山大学为罗巴切夫斯基建立了大型塑像，以纪念他在人类认识史上的伟大贡献。

几何学中的哥白尼

遗憾的是，非欧几何的理论迟迟没有得到学术界的认可。在相当长的一段时间内，这一重大突破遭到了“正统”数学家的冷漠对待和针对。

在那些数学家看来，罗巴切夫斯基基于否定第五公设而给出的一系列命题显得离奇古怪，与人们的常识大相径庭。

1829年，罗巴切夫斯基撰写了一篇论文《论几何学原理》，全面阐述非欧几何的体系。此时，他已担任喀山大学校长。出于对校长的“尊敬”，《喀山通报》才发表了这篇论文。

1832年，根据罗巴切夫斯基的请求，喀山大学学术委员会将这篇论文呈送给圣彼得堡科学院，由著名数学家奥斯特罗格拉茨基院士进行评审。奥斯特罗格拉茨基一点都不客气，对罗巴切夫斯基进行了公开的指责和攻击。他甚至粗暴地断言：“罗巴切夫斯基的这篇论文谬误连篇，因而不值得科学院的关注。”

这不是个别人的态度，当时学术界对非欧几何的普遍看法是，任何时候也不会存在与欧几里得几何本质上不同的另外一种几何。

在创立和发展非欧几何的艰难历程中，高斯退缩了，鲍耶灰心了，“孤勇者”罗巴切夫斯基没有同行者，甚至没有公开的支持者。

高斯看到罗巴切夫斯基的成果后，内心是充满矛盾的。一方面，他高度称赞罗巴切夫斯基是“沙皇俄国最卓越的数学家之一”；另一方面，他从不以任何公开形式对罗巴切夫斯基的工作加以评论。高斯的沉默客观上纵容和助长了保守势力对罗巴切夫斯基的攻击。

罗巴切夫斯基的发现不但没能赢得普遍承认和赞美，反而遭到种种怀疑、歪曲和攻击。他并没有因此而灰心丧气。他充满信心地指出，新的几何逻辑严谨，拥有和欧几里得几何同等存在的权利。

晚年的罗巴切夫斯基的身体变得越来越差，视线逐渐模糊，最终什么也看不见了。

即使身处困境之中，罗巴切夫斯基也没终止对非欧几何的研究。他的最后一部著作《泛几何学》是他在去世的前一年于双目失明的状态下口授完成的。

1856年，罗巴切夫斯基在郁闷中走完了他生命的最后一程。

喀山大学的师生为他举办了隆重的追悼会。追悼会上，许多同事和学生高度赞扬他的卓越功绩，可是不约而同地，谁也没有提及他的非欧几何。因为当时人们还普遍认为非欧几何纯属无稽之谈。

历史是公允的，它终将做出正确的裁决。

罗巴切夫斯基因其无畏的科学精神被后人誉为“几何学中的哥白尼”。

三种几何学

罗氏几何出现不久，另一种非欧几何也出现了。

当时的数学家曾断言，如果假设“过一个定点，不存在与给定直线平行的线”，将会导致矛盾。

1854年，黎曼重新检验了所谓“矛盾”，发现它是可以避免的。所谓会产生“矛盾”的前提，在本质上与前四个公设是相容的。

因此，如果把新的5个公设放在一起，则会出现另外一种几何学——黎曼几何。其中，三角形内角和会大于180°。

黎曼的研究是以高斯绝妙定理作为基础的。在黎曼几何中，最重要的一种对象就是所谓的常曲率空间。三维空间中，有以下三种情形：曲率恒等于零，过直线外的一点有且只有一条平行线，即欧几里得几何；曲率为负常数，过直线外的一点至少有两条平行线，即罗氏几何；曲率为正常数，过直线外的一点没有平行线，这就是狭义的黎曼几何。

欧几里得几何、罗氏几何、黎曼几何是三种各自独立、互有区别的几何学。这三种几何学各自的所有命题都构成了一个严密的公理体系，各公理均满足和谐性、完备性和独立性。

适用范围

罗巴切夫斯基、高斯、鲍耶和黎曼等所有非欧几何的创建者们都不否认欧几里得几何很适合描述我们所在的宇宙。他们只是秉持如下观点：欧几里得的前四个公设，无法确定平行公设的三个可能性的真假，这是因为每一个可能性都会导致一种新的几何学产生。

三种几何学大不相同，但它们都是真理。它们均是人类用来描述和掌握宇宙的有效理论。关键要看这些理论应用到什么范围之内，应用到何种问题之上。

正如牛顿力学和相对论的关系一样，在以地球为尺度的空间范围内，牛顿力学和欧几里得几何无疑是正确的。但是，在一个更大的范围内，如从太阳系到银河系以及更大的宇宙空间，爱因斯坦的相对论就提供了比牛顿力学更接近真实情况的架构。当把宇宙当作一个整体来描述时，非欧几何也就更为恰当。黎曼几何为广义相对论提供了思想基础和有力工具，使人们对客观世界的认识产生了质的飞跃。

非欧几何的创立是一场革命，不但冲破了传统观念，而且突破了人类千百年来的思想习惯。

非欧几何还引起了人们对数学本质的探讨和对几何学基础的深入研究。几何学的研究从以图形为主进入了一个以抽象为特征的崭新阶段，也从以直观为基础的时代进入了以理性为基础的时代。公理化成为大家关注的目标，并由此产生了希尔伯特的新公理化运动。

爱因斯坦说：“大量事实已经证明，从非欧几何发展起来的思想是无可限量的。”