书名：数学糖果2 漫话趣味小知识
ISBN：978-7-115-49681-2
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著 胡顺鹏
绘 李 旭
责任编辑 王朝辉
人民邮电出版社出版发行 北京市丰台区成寿寺路11号
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本书为“数学糖果”系列的第2册，依然秉承“从发散性的思考中寻找乐趣，从系统性的总结中拓展认知”的原则，结合数学史料、趣味科普知识、实际生活经验，配以丰富的卡通图画，展示数学中的20个知识点。
本书内容包括3部分：第1部分包括无穷、最不利原则、递推等思维小知识；第2部分包括无理数、杠杆、方程等算术小知识；第3部分包括立体图形、皮克公式、帕普斯定理等几何小知识。
数学家牛顿曾称自己是在真理的海边拾捡漂亮贝壳的孩童。本书在选择知识点时向这个有趣的比喻致敬：在数学的海边堆积了一些有趣的小石头——书中20个知识点皆与小石头相关。希望在数学的海边漫步的各位读者，可从这堆小石头中收获拾捡钟意之物的乐趣。
美国作家房龙在《人类的故事》中讲述了这样一个诗一般的故事——
在遥远的北方
有一个地方
那里矗立着一块巨石
巨石高100英里[1]、宽100英里、长100英里
每隔1000年
便有一只小鸟飞来
在这巨石上磨喙
当石头被磨光的时候
对“永恒”来说
才似过了一天
[1] 1英里约为1.6千米。
● 故事中的“永恒”与数学中的一个概念相关：无穷。
● 无穷或称无限，意指没有尽头、没有边界。
● 想一个尽量大的数：1000、1000万、1000亿……但再大都不够大，无穷大是大到“没有边”，比任何所能想到的确定的数都要大。
● 无穷大或无穷小，强调的不是确定的数，强调的是一种概念。
● 无穷的数学符号为“∞”，形似一条默比乌斯带，但无穷的概念出现得比数学家默比乌斯早很多。
● 默比乌斯带由19世纪德国数学家默比乌斯和利斯廷几乎同时独立发现，但默比乌斯带的图形在2世纪左右的罗马镶嵌画中就曾出现过。
● 数学家默比乌斯曾师从德国数学家高斯。
● 取一根纸带，将一端旋转180度，再将两端粘接，可得一条默比乌斯带。普通的环形纸带有两个面，而默比乌斯带只有一个面。
● 数学史上的第一次数学危机、第二次数学危机都与无穷有关。
● 第一次数学危机：起因是无理数。危机在于无理数不能用整数或整数的商表示。从小数角度看，无理数属于无限不循环小数。
● 第二次数学危机：起因是无穷小量。危机在于无穷小量这个“量”究竟是不是0——若是0会有问题，若不是0仍有问题。
● 第三次数学危机：起因是集合论中具有自我指涉性的集合悖论——罗素悖论。悖论，通常指经逻辑推理后总得出对立结论的一类命题。
● 罗素悖论常借“理发师悖论”来解释：理发师宣布“只给不给自己刮胡子的人刮胡子”,那么他该不该给自己刮胡子?
● 集合论由数学家康托尔创立。康托尔提出无穷与无穷也是有区别的，并给出了比较无穷集合的方法。比较所使用的基本法则：一一对应。
● 无穷集合的大小关系与直观感受到的大小关系并不一样。例如由正整数构成的无穷集合{1,2,3,4,…}与由正偶数构成的无穷集合{2,4,6,8,…}一样大。
● 无限循环小数0.999…是被这样理解的：小数点右边有很多个9，多到永远也写不完。
● 无限不循环小数比有限小数、无限循环小数多得多——无理数远多于有理数。
● 一棵向日葵的真实高度、一只小狗的真实体重，往往是一个无限不循环小数，是难以被准确地度量的。真实值无法度量却需要描述，便产生了近似值、准确度等概念。
● 中国哲学家庄子在《庄子·杂篇·天下》中记有：至大无外，谓之大一；至小无内，谓之小一。一尺之棰，日取其半，万世不竭。这些描述都涉及无穷的思想。
● 英国诗人威廉·布莱克的诗句涉及过无限的概念：一粒沙里容世界，一朵花内见天堂，一掌之中纳无限，刹那之间存永恒……
● 瑞士数学家约翰·伯努利说：在无穷中领悟分分秒秒是多么快乐啊!从小小的数中感知到的浩瀚是多么神圣啊!
怎样尝试理解1=0.999…？
【分析1】
假设1≠0.999…，则存在一个数 A,满足1>A>0.999…(两个不相等的数之间总存在其他数，例如两者的平均数)。
发现找不到满足1>A>0.999…的有限小数或无限小数A。
所以假设不成立。
即1=0.999…。
【分析2】
1÷3=0.333…，同时
，那么
。
或是
。
即1=0.999…。
【分析3】
已知一个小数×10,其小数点向右移动一位。
令A=0.999…，
则10A=9.999…，
10A-A=9.999…-0.999…，
得9A=9，A=1，
即1=0.999…。
在《北欧神话》中有这样一则故事——
天地初创，诸神追随众神之神奥丁来到永不封冻的伊达沃特平原建设家园阿斯加德。
阿斯加德的建设耗尽诸神的精力，致使他们再无余力修建最后的围墙。
这时，一位霜巨人前来应聘，他自信能在3个冬天内修筑完高耸入云、绵延千里的围墙。条件是给他：爱神、太阳和月亮。
诸神认为霜巨人在开玩笑，所以反以戏弄——同意霜巨人的要求，但附加更苛刻的条件：在一个冬天内完工，且不可假借他人之手；若违约，霜巨人需要支付违约金——他的性命。
霜巨人仍然同意了。
工程的进度超出诸神的预测，秘诀在于霜巨人有匹工作效率极高的神驹。在合约期限的最后时刻，巍峨的围墙已将阿斯加德封闭式环绕，唯欠城门上的最后一块石头。
这时，一匹漂亮的小马欢快地跳跃到连续工作的神驹面前，吸引它玩耍、打闹，配合它追逐，带它消失在了远方。
最终，工程因“最后一块石头”没有完工。
霜巨人因此违约，不得不支付违约金：自己的性命。
● 上述“最后一块石头”的问题与数学中的一个概念相关：最不利原则。
● 最不利原则，常称最倒霉原则、最差原则……指考虑最不利于一件事情成功发生的情况。
● 最不利可理解成“事情离成功仅差最后一步的状态”。以下是关于最不利的几个例子。
①霜巨人完成了绝大部分工作，离完工仅差最后一块石头。该工作状态即属于最不利状态。
②考60分可得到一件梦寐以求的礼物，结果考了59分。该状况即属于最不利状况。
③拿口袋里的一串钥匙开锁，结果试到最后一把才把锁打开。该选择即属于最不利选择。
● 最不利原则不是为了拦截一件事以阻止它成功发生。相反，它展示了“保证”一件事成功发生的底线：一件事如果在最不利的情况下成功发生了，那么在其他情况下也一定可以成功发生。
● 数学中与最不利原则密切相关的内容是抽屉原理，又称鸽巢原理、鸽笼原理、狄利克雷原理。
● 抽屉原理1:把n个苹果放进m个抽屉，若n>m,则至少有一个抽屉含有的苹果数大于或等于2。
● 抽屉原理2:把多于nm个的苹果放进m个抽屉，则至少有一个抽屉含有的苹果数大于或等于n+1。
● 抽屉原理由德国数学家狄利克雷提出。
● 狄利克雷曾师从高斯，在高斯去世后，他继任了高斯在德国哥廷根大学的教授席位。
● 狄利克雷去世后，数学家黎曼接替了他的教授席位。
● 一道小题：4个足球队互相比赛一场，胜者积3分，平局各积1分，败者积0分。若只有两个队可以出线，请问：保证出线的分数至少为多少分?
小题解答：构造最不利出线的情况，即第三名得分最高的情况——第三名得分与第一、二名得分一样，第四名得0分。此情况下第三名最高可得6分，故保证出线的分数至少为7分。
不透光的口袋里装有：3个红球、4个蓝球、5个橙球、6个绿球。所有球的大小、重量、手感完全相同，仅颜色不同。要求：一次性地从口袋中摸出若干球。
问题1：至少从口袋中摸出几个球，可以保证一定摸到绿球?
问题2：至少从口袋中摸出几个球，可以保证一定摸到4种颜色的球?
问题3：至少从口袋中摸出几个球，可以保证一定有2个球的颜色是相同的?
【问题1】
【分析】最不利状态是摸出所有不是绿球的球：3个红球、4个蓝球、5个橙球。只需在此基础上多摸1个球即可。
【解答】至少需：(3+4+5)+1=13（个）。
【问题2】
【分析】最不利状态是摸出如下3种颜色的球：4个蓝球、5个橙球、6个绿球。只需在此基础上多摸1个球即可。
【解答】至少需：(4+5+6)+1=16（个）。
【问题3】
【分析】最不利状态是摸出4种颜色的球，且每种颜色的球各1个。只需在此基础上多摸1个球即可。
【解答】至少需：(1+1+1+1)+1=5（个）。
