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本书围绕四则算术运算，在强调常规计算方法训练的重要性的基础上，有针对性地介绍了大量颇具特色的计算方法和技巧，具体内容包括20以内的加减法童子功、一位数加减法进阶、多位数加减法计算技巧、一位数的乘法技巧、多位数的乘法技巧以及除法的巧妙计算方法。另外，还介绍了中小学数学学习中常用的单位换算方法和其他重要内容。书中所涉及的速算和巧算原理通俗易懂，方法简洁实用，例题丰富，针对性强，可以帮助你快速提升基本算术运算能力。
本书可供中小学生阅读，也可供对速算感兴趣的读者参考。
书名：速算巧算快速入门
ISBN：978-7-115-64491-6
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编 著 朱用文
责任编辑 刘 朋
人民邮电出版社出版发行 北京市丰台区成寿寺路11号
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本书围绕算术运算展开，在强调常规计算方法训练重要性的基础上，有针对性地介绍了大量颇具特色的计算方法和技巧，具体内容包括20以内的加减法童子功、一位数加减法进阶、多位数加减法的计算技巧、一位乘数的乘法技巧、多位数的乘法技巧以及除法的巧妙计算方法等。另外，还介绍了数学中常用的单位换算方法和其他重要内容。书中所涉及的速算和巧算原理通俗易懂，方法简捷实用，例题丰富，针对性强，可以帮助你快速提升算术计算能力。
本书可供小学生阅读，也可供对速算感兴趣的读者参考。
源远流长千景好， 根深叶茂万花娇。
阿基牛顿南天远， 黎曼高斯北辰高。
符号神奇织锦绣， 语言美妙远尘嚣。
物皆数理凭计算， 事尽逻辑任推敲。
这是作者在2018年写下的《数学颂》，其中谈到数学的两个重要方面——计算与逻辑推理。事实上，由于数理逻辑的出现，逻辑推理也可以变成数学计算。可见，计算能力是学习数学的重要方面。
小学数学主要讲算术计算。可以毫不夸张地说，算术计算几乎是小学数学的全部。虽然小学数学中也有一些几何计算和一些简单的代数方程，但是其解决手段还是靠算术计算。也许有人会说，数学思维能力不是更重要吗？这个固然重要，但是在小学阶段，数学思维能力主要靠算术计算能力来培养和支撑。初中生学习代数时，会学到平方差公式、完全平方公式等大量优美的代数公式。可是，大家想过没有，这些公式有什么用处呢？除了更为普遍的意义外，它们是数的计算规律的总结，可以直接用于算术计算。换句话说，它们提供了算术计算的一些更为有效的方法。高中生会学习等差数列、等比数列等的求和方法，这些实际上是一些特殊情形下的加法速算方法，还是在进一步讲算术计算。到了大学的线性代数课程，所谓的行列式、方程组、矩阵等都涉及大量的算术计算。至于概率、函数、微积分、几何，尤其是解析几何，它们也都离不开算术计算。物理和化学概莫能外。
总之，算术计算能力对于所有层次的学生来说都很重要。小时候计算能力不过关的同学，基本上会被中高考所淘汰。即便是理工科大学生，倘若算术计算能力薄弱，也必然会为其所累。
计算能力不足往往表现为慢和错，要么计算速度跟不上，要么一算就错。计算能力不足还有一个表现，就是口算能力太差，对于像两个两位数的乘法、三个三位数的加法等如此简单的计算题，许多孩子还需要动笔，离开了计算工具就不知所措。
有些孩子和家长可能也知道计算的重要性，但就是不清楚该从何处下手加以改进和提高。一些速算视频的极端表演以及有关最强大脑的片面宣传，让很多人错误地认为速算达人是天才，计算能力是天赋。其实不然，速算达人要靠勤奋，计算能力要靠训练。当然，都要靠正确的理论和方法来指导。普通的学生不一定都要达到速算达人那种不可思议的计算速度，但是适当学习一点速算知识，在熟练掌握传统计算方法的基础上灵活运用一些计算技巧，从而提高计算的准确性和速度，是十分必要的，也是力所能及的。对于大部分孩子来说，只要正确理解数和运算的概念，懂得原理，掌握方法，适当练习，就可以轻松提升计算能力。这里所说的计算包括笔算和心算，也包括二者的结合。
正是基于以上想法，我非常愉快地接受了出版社的邀请来写作本书，以助渴望轻松、快速提升计算能力的孩子及其家长一臂之力。
给小学生写书，并不是件容易的事。考虑到孩子们的阅读能力的局限性，在写作方式上就颇费思量。另外，小学一共有5年或6年，数学教材有10册或12册，要在一本书中比较全面系统地介绍与计算有关的内容，选材和呈现都是非常棘手的问题。
本书以别具一格的风格在较短的篇幅内比较全面系统地介绍了小学数学计算几乎所有的重要方面，内容包括20以内的加减法童子功、一位数加减法进阶、多位数加减法的计算技巧、一位乘数的乘法技巧、多位数的乘法技巧、除法的巧妙计算方法以及其他一些重要计算的关键内容。在不忽视常规计算方法的基础上，本书介绍了大量颇具特色的算术计算方法和技巧，其中既有传承又有创新，特别是九宫速算方法和梅花积方法是新时代速算理论的重要内容，也是我原创的方法。所有想要获得算术知识更新的朋友都可以从本书中获益。
第1章介绍20以内的加减法童子功，其中通过跷跷板来介绍加法的升降法，通过电梯的升降来讲同升同降减法，通过朋友分组来讲数字拆分法，通过五指来讲以5作为基准数的加减法，通过双手十指来讲以10为跳板的加减法以及补数的妙用，最后将加减法基本功归结为对于九九加法表的熟练掌握。
第2章是一位数加减法进阶，主要介绍非常直观高效的九宫图加减法速算理论，具体内容从九宫图数数方法开始，介绍加减法基本图式、从图上看补数对与进位的方法、九宫旋转法、众多一位数加减法心算、一些重要的加法图式、模式法在加减法速算中的应用、重心法等诸多新颖的内容。
第3章首先指出多位数加减法常规运算的关键点，然后重点介绍多位数加减法的一些别具特色的计算技巧，其中包括负数的加减法运算、大数字提前进位法与负数的运用、弃九弃十法、众多多位数的加减法心算、用九宫图心算多位数加减法的方法。最后，介绍一些简单数列的求和技巧与小数的加减法运算技巧。
第4章介绍一位乘数的乘法技巧，通过九九乘法表在九宫图上的完美表现给出快速记忆乘法口诀的诀窍以及运用九宫图计算多位数乘一位数的旋转法，通过负数得到乘法口诀的微改进，从而帮助孩子们提高乘法的计算速度。此外，还特别介绍了3，4，5，9这4个乘数的特殊乘法技巧。
第5章在强调常规方法训练意义的基础上介绍多位数的多种高效的乘法技巧，其中包括大智若愚法、利用负数做乘法的方法、平方的简便计算方法、乘法的基准公式、乘法速算基本公式、乘法的虚拟进位法以及任意多位数的乘法口算技巧，最后介绍小数乘法的方法和技巧。该章的大智若愚法是从传统的铺地锦方法发展出来的新方法，而虚拟进位法与梅花积乘法则是作者原创的系统方法。
第6章在强调常规方法训练意义的基础上介绍除法的巧妙计算方法，其中包括乘法口诀微改进的应用、利用负数做除法的方法、乘除转化法、分数（百分数）的计算、分数与小数的转化、利用分数约分做除法的方法、任意多位数的除法口算技巧以及小数的除法运算技巧。该章的梅花积除法与上一章的梅花积乘法一起构成梅花积速算理论。
第7章介绍其他一些重要计算的关键内容，主要包括一些常见单位的换算、一些几何计算和算术四则混合运算，最后还介绍了算术平均数的计算方法、乘积和与乘积倒数和的计算技巧。
本书的特点可以概括为“四个结合”，即常规与特色结合、原理与方法结合、方法与实例结合、系统性与分散性结合。本书主要讲特色方法，同时也强调常规方法的基础地位。在介绍特色方法时，也会考虑到孩子们的接受能力，将原理与方法结合起来讲解，以便孩子们在理解原理的基础上掌握方法。另外，遵循一般与特殊相统一的思维规律，将方法与实例结合起来进行讲解，让孩子们通过具体的实例理解一般的算理和方法。要特别注意，虽然本书中有大量例题，但是目的是通过例题来阐述方法和原理，后者才是重点。所谓系统性与分散性结合，是指本书中的一些计算方法和理论具有系统性和普遍性，但是往往被分散到不同的章节进行介绍，以便孩子们能够循序渐进地理解和掌握它们。比如，负数技巧不仅适用于加减法，也适用于乘除法，当然更是梅花积速算理论的基础。而梅花积速算理论不仅包括乘法的梅花积方法，也包括除法的梅花积方法。又如，九宫速算方法不仅可以用于加减法速算，也可以用于乘除法速算。这些理论和方法分散在不同的章节，合起来就形成了完整的系统性方法。
下面谈一下关于本书的使用与学习方法。很多计算技巧很实用，但是涉及分数和负数，可是关于分数和负数的概念一般要在小学高年级或初中才介绍，因此我们在相关章节的标题后标注星号，以示区别。建议孩子们分3个阶段阅读本书：小学低年级时阅读不带星号的章节并加以练习，小学高年级时阅读带有星号的章节并加以练习，最后在学习完全书的基础上再完整地通读，加以系统化整理并进行综合训练。读书时，一要注意方法与实例结合，不仅要善于通过实例理解方法，而且要善于将方法用于更多的实例；二要注意常规训练与特色训练的结合，一定要在熟练掌握常规方法的前提下学习特色方法，不然就是本末倒置；三要加强训练和练习，如果只是纸上谈兵而不加以练习，就不能有效地掌握方法，更不可能真正提升计算能力；四要将单项训练与综合训练结合起来，因为不进行单项训练就失去了综合训练的基础，而不进行综合训练就不能融会贯通，也就失去了实现计算能力飞跃的机会。最后，对于不想花费太多时间来学习的孩子，还有一个选择性学习的方法，但是一定要注意方法的系统性，尽量融会贯通。比如，你只想学习乘除法的负数技巧，或者只想学习梅花积速算方法，这都是可以的，因为它们各自具有普遍的适用性。书中可能只讲了较为简单的例子，但是你要善于将所学的方法用于更一般的情形。
好了，万事俱备，只欠东风。工具和方法都有了，剩下的就靠你自己了。只要你能够参考上述建议，按部就班地进行学习和练习，就一定能够提升自己的计算能力。
最后，感谢我的家人，他们任劳任怨的付出使我能够远离烦琐的家务，从而专注于研究和写作。感谢本书的责任编辑刘朋，他为本书的编写提供了富有启发性的建议并做了大量细致耐心的编辑工作。感谢广大读者朋友，你们的鼓励和期待是我编写本书的灵感源泉和不竭动力。
2024年7月于烟台大学
小朋友们在玩跷跷板的时候，在一升一降中就可以体会到数学的美妙。本节从该游戏出发讲解加法的升降法技巧。
如下图所示，如果支点刚好在横杆的中点，那么一端升高多少，另一端就必然降低多少；反之也一样。
由于升高多少与降低多少互相抵消了，两端距地面的高度（以下简称高度）之和是不变的。
假设跷跷板刚开始时处于水平状态，而跷跷板支架的高度是3分米。此时，两端的高度都是3分米（见下图），两端的高度之和就是6分米，这是因为3+3=6。
若左端降低1分米，则其高度就变成2分米；与此同时，右端必然升高1分米，其高度就变成4分米，如下图所示。现在两端的高度之和就是2分米加上4分米，结果还是6分米。我们得到3+3=2+4。
假设左端再次降低，降低的幅度仍然是1分米，这一端的高度就变成1分米；而右端又升高1分米，其高度就变成5分米，如下图所示。我们得到2+4=1+5。
若左端再降低1分米，高度就变成0分米（触地了）；而右端必然再升高1分米，其高度（达到最高）就变成6分米，如下图所示。我们进一步得到1+5=0+6=6。
综上所述，我们得到
3+3=2+4=1+5=0+6=6。
同理，倘若让左端升高而右端降低，就可以得到
3+3=4+2=5+1=6+0=6。
可以将上述所有等式通过下列示意图表示出来，其中每条线段两端的数字之和相等。
以上介绍的升降法直观地呈现出有关加法的一条规律：当一个数增加一定的量，而另一个数（可以与第一个数相同）减少同样的量时，它们的和不变。
为了练习升降法，我们可以随意选择几个连续的数，比如0，1，2，3，然后将它们前后依次配对。请看下图。
上图表明
3+0=2+1=1+2=0+3。
还可以选择两组不同的连续数字进行交叉配对，使它们的和相等。比如，选择3，4，5与7，8，9两组数，其配对情况如下图所示。
由上图可知
3+9=4+8=5+7。
升降法也可以通过分糖块来理解。
假设要将一定数量的糖块分给甲乙两位小朋友，不管起初每人得到多少糖块，如果甲从自己的糖块中拿出一块送给乙，那么甲就少了一块糖，而乙就必然多了一块糖。无论谁多谁少，甲乙两位小朋友总的糖块数没有改变。例如，糖块的总数等于5，开始时甲分得3块，乙分得2块，后来变成甲有2块，而乙有3块，如下图所示。
有了升降法，就可以将一个加法算式灵活地转化成另一个加法算式，从而避免运算的僵化。下面我们用升降法来做一些加法演算。
【例1】9+6=？
解：利用升降法，将9升高1得到10，这是因为9+1=10；同时将6降低1得到5，这是因为6-1=5。因为升降过程中两个数的和不变，所以，
9+6=10+5=15。
【例2】8+5=？
解法1：利用升降法，将8升高2得到10，这是因为8+2=10；同时将5降低2得到3，这是因为5-2=3。因为升降过程中两个数的和不变，所以，
8+5=10+3=13。
解法2：连续运用升降法，每次升降1，于是得到
8+5=9+4=10+3=13。
【例3】7+8=？
解法1：利用升降法，前升后降。将7升高3得到10，这是因为7+3=10；同时将8降低3得到5，这是因为8-3=5。因为升降过程中两个数的和不变，所以，
7+8=10+5=15。
解法2：利用升降法，后升前降。将8升高2得到10，这是因为8+2=10；同时将7降低2得到5，这是因为7-2=5。因此，
7+8=5+10=15。
解法3：连续两次运用升降法，每次升降1，我们得到
7+8=6+9=5+10=15。
【例4】5+7=？
解法1：利用升降法，前升后降。将5升高5得到10，这是因为5+5=10；同时将7降低5得到2，这是因为7-5=2。因此，
5+7=10+2=12。
解法2：利用升降法，后升前降。将7升高3得到10，这是因为7+3=10；同时将5降低3得到2，这是因为5-3=2。因此，
5+7=2+10=12。
解法3：连续3次运用升降法，每次升降1，于是有
5+7=4+8=3+9=2+10=12。
解法4：运用升降法与简单的乘法运算，于是得到
5+7=6+6=6×2=12。
以下例题都通过升降法将所有的加数变成一样大，然后利用简易的乘法进行运算，会背乘法口诀的小朋友就可以学会。如果你目前还不会背乘法口诀，可以暂时忽略这些例子。
【例5】1+2+3=？
解：利用升降法，将1升高1得到2，同时将3降低1也得到2，于是，
1+2+3=2+2+2=2×3=6。
【例6】2+3+4=？
解：利用升降法，将2升高1得到3，同时将4降低1也得到3，于是，
2+3+4=3+3+3=3×3=9。
【例7】1+4+7=？
解：利用升降法，将1升高3得到4，同时将7降低3也得到4，于是，
1+4+7=4+4+4=4×3=12。
【例8】3+5+7=？
解：利用升降法，将3升高2得到5，同时将7降低2也得到5，于是，
3+5+7=5+5+5=5×3=15。
小朋友们在做一些集体游戏的时候，可能需要将大家分成2个组、3个组、4个组乃至更多的组。朋友分组，这是学习数字拆分的最好机会。首先考虑分成两个组的情况。
假设有小刘、小关、小张3位小朋友。若要分成两个组，则可以是小刘单独为一个组，小关与小张两人为另一个组；也可以是小关或小张单独为一个组，而另外两人构成一个双人组。参看下列示意图。
如果两个组不分先后，那么一共就有上述3种分组方式。无论哪一种分组方式都必然有一个单人组和一个双人组。由此我们得到数字3的拆分方式：
3=1+2。
现在假设有晓春、晓夏、晓秋、晓冬4位小朋友。若要分成两个组，则可以将其中任何一位小朋友单独分成一个组，而其余3位小朋友为另一个组，具体的分组方式如下：
以上分组方式都是一个单人组加上一个三人组。于是，我们得到数字4的一种拆分方式：
4=1+3。
也可以将每两个人分为一个小组，其中晓春可以与其他三人中的任何一人同在一个小组，具体的分组方式如下：
以上分组方式都是每组有两个人。由此我们得到数字4的另外一种拆分方式：
4=2+2。
综上所述，当不考虑顺序时，数字4共有两种拆分方式：
4=1+3=2+2。
类似地，数字5，6，7，8，9也可以拆分成两个数字之和，小朋友们一定要熟悉这些拆分方式。
5=1+4=2+3，6=1+5=2+4=3+3，7=1+6=2+5=3+4，
8=1+7=2+6=3+5=4+4，9=1+8=2+7=3+6=4+5。
我们容易看出，双数（偶数）可以拆分成两个相同的数字之和，如6=3+3，而单数（奇数）可以拆分成一个单数与一个双数之和，如5=1+4=2+3。
10和20之间的双数（含10和20）可以进行如下拆分：
10=5+5，12=6+6，14=7+7，16=8+8，18=9+9，20=10+10。
将上述每个等号左右两端都加上1，就得到11和21之间的单数（含11和21）的一种拆分方式：
11=5+6，13=6+7，15=7+8，17=8+9，19=9+10，21=10+11。
下面考虑将一群小朋友分成3个组。
假设有木成、火成、土成、金成、水成5位小朋友。为了将他们分成3个组，首先考虑每个组至少分得一个人。剩下的两个人可以分别加入其中两个不同的组，也可以加入同一个组。
在前一种情况下，得到一个单人组与两个双人组，例如：
而在后一种情况下，得到两个单人组与一个三人组，例如：
根据以上分组，若不计较顺序，则将数字5拆分成3个数之和的方式如下：
5=1+1+3=1+2+2。
类似地，可以得到其他数的拆分方式，例如：
3=1+1+1，4=1+1+2，6=1+1+4=1+2+3=2+2+2，
7=1+1+5=1+2+4=1+3+3=2+2+3，
8=1+1+6=1+2+5=1+3+4=2+2+4=2+3+3，
9=1+1+7=1+2+6=1+3+5=1+4+4=2+2+5=2+3+4=3+3+3。
由于满10需进位，10的拆分在加减法速算中非常有用。
首先，可以将10拆分成两个数之和：
10=1+9=2+8=3+7=4+6=5+5。
其次，也可以将10拆分成3个数之和：
10=1+1+8=1+2+7=1+3+6=1+4+5=2+2+6=2+3+5=2+4+4=3+3+4。
最后，还可以将10拆分成4个数之和：
10=1+1+1+7=1+1+2+6=1+1+3+5=1+1+4+4=1+2+2+5=1+2+3+4
=1+3+3+3=2+2+2+4=2+2+3+3。
没事的时候，小朋友们可以在头脑中练习数字的拆分。熟悉了数字的各种拆分方式，便可以提高加减法运算的速度。
【例1】5+8=？
解：10可以拆分成5与5之和，而8可以拆分成5与3之和，因此，
5+8=5+(5+3)=(5+5)+3=10+3=13。
【例2】1+2+3+2=？
解：既然6可以拆分成1，2，3之和，就有
1+2+3+2=(1+2+3)+2=6+2=8。
【例3】3+3+4-2=？
解：既然10可以拆分成3，3，4之和，又可以拆分成2与8之和，就有
3+3+4-2=(3+3+4)-2=(8+2)-2=8。
【例4】4+3+2+1+9=？
解：既然10可以拆分成1，2，3，4之和，就有
4+3+2+1+9=(4+3+2+1)+9=(1+2+3+4)+9=10+9=19。
【例5】15+4-3-2-5+2+4=？
解：既然10可以拆分成2，4，4之和，也可以拆分成2，3，5之和，就有2+4+4= 2+3+5。因此，
15+4-3-2-5+2+4=15+(2+4+4)-(2+3+5)=15+10-10=15+0=15。
一只手有5根手指，两只手便有10根手指。可见，5在计数中有特殊的作用。
中国传统的算盘采用5升制，即5颗下档珠等同于1颗上档珠，如下图所示。
首先，我们要善于将5拆分成两个数之和。伸出一只手的5根手指，若弯曲一根，则还剩下4根；若弯曲两根，则还剩下3根。因此，
5=1+4=2+3。
借助一只手，也很容易从5开始做减法。
5-1=4，5-2=3，5-3=2，5-4=1，5-5=0。
其次，我们要善于将大于5的数拆分成5与其他数之和。为了表示数6，可以先伸出一只手的5根手指，然后伸出另一只手的一根手指；为了表示数7，可以先伸出一只手的5根手指，然后伸出另一只手的两根手指……因此，
6=5+1，7=5+2，8=5+3，9=5+4。
下面通过例子说明如何利用5作为基准数进行加减法速算。
【例1】5+6=？
解：5+6=5+(5+1)=(5+5)+1=10+1=11。
【例2】5+7=？
解：5+7=5+(5+2)=(5+5)+2=10+2=12。
【例3】9+5=？
解：9+5=(4+5)+5=4+(5+5)=4+10=14。
【例4】6+7=？
解：6+7=(5+1)+(5+2)=(5+5)+(1+2)=10+3=13。
【例5】7+9=？
解：7+9=(5+2)+(5+4)=(5+5)+(2+4)=10+6=16。
【例6】8+9=？
解：8+9=(5+3)+(5+4)=(5+5)+(3+4)=10+7=17。
【例7】4+4=？
解：4+4=(5-1)+(5-1)=(5+5)-(1+1)=10-2=8。
【例8】4+6=？
解：4+6=(5-1)+(5+1)=(5+5)+(1-1)=10+0=10。
【例9】3+8=？
解：3+8=(5-2)+(5+3)=(5+5)+(3-2)=10+1=11。
【例10】9-3=？
解：9-3=(9-5)+(5-3)=4+2=6。
【例11】9-6=？
解：9-6=(5+4)-(5+1)=4-1=3。
【例12】13-5=？
解：13-5=(13+5)-(5+5)=18-10=8。
【例13】6+8+5=？
解：6+8+5=(5+1)+(5+3)+5=(5+5+5)+(1+3)=15+4=19。
【例14】6+6+7=？
解：6+6+7=(5+1)+(5+1)+(5+2)=(5+5+5)+(1+1+2)=15+4=19。
【例15】7+8-4=？
解：7+8-4=(5+2)+(5+3)-4=(5+5)+(2+3-4)=10+1=11。
【例16】9-3+8=？
解：9-3+8=(5+4)-3+(5+3)=(5+5)+(4+3-3)=10+4=14。
一般人恰好有10根手指，也刚好有10根脚趾。在计数的时候，满10就进位，否则无须进位。可见，10是一个很特殊的数。本节介绍以10为跳板的加减法运算。
11就是10加上1。如果用全部脚趾代表10，再用一根手指代表1，它们合起来就是11。同理，12就是10加上2，可以用全部脚趾和两根手指来代表。也可以类似地表示13，14，15，…，20。因此，
11=10+1，12=10+2，13=10+3，14=10+4，
15=10+5，16=10+6，17=10+7，
18=10+8，19=10+9，20=10+10。
利用一双手10根手指的屈伸，容易计算10减去1~10中的任何一个数。比如，伸出10根手指代表10，若要减去2，就弯曲两根手指，剩下的8根手指就是所要求的差，即10-2=8。下面给出所有这样的减法算式：
10-1=9，10-2=8，10-3=7，10-4=6，10-5=5，10-6=4，
10-7=3，10-8=2，10-9=1，10-10=0。
当被减数大于10且其个位上的数小于减数的时候，它们的差可以通过把10当作跳板来进行计算。比如，因为12=10+2，且10-9=1，所以，
12-9=(12-10)+(10-9)=2+1=3。
我们也可以按照如下方式来书写：
12-9=(2+10)-9=2+(10-9)=2+1=3。
还可以将减数9拆分成2与7之和，然后做两次减法运算，即
12-9=12-(2+7)=(12-2)-7=10-7=3。
总之，当被减数大于10而其个位上的数小于减数的时候，可以拆分被减数，也可以拆分减数，然后将它们都归结为10参与的加减法运算，这就是以10为跳板的减法运算。下面看更多的例子。
【例1】11-2=？
解法1：11-2=(11-10)+(10-2)=1+8=9。
解法2：11-2=(1+10)-2=1+(10-2)=1+8=9。
解法3：11-2=11-(1+1)=(11-1)-1=10-1=9。
【例2】12-5=？
解：12-5=(12-10)+(10-5)=2+5=7。
【例3】11-9=？
解：11-9=(1+10)-9=1+(10-9)=1+1=2。
【例4】12-8=？
解：12-8=(12-10)+(10-8)=2+2=4。
【例5】13-8=？
解：13-8=13-(3+5)=(13-3)-5=10-5=5。
【例6】17-8=？
解：17-8=17-(7+1)=(17-7)-1=10-1=9。
【例7】15-6-7=？
解：15-6-7=(15-10)+(10-6)-7=5+4-7=9-7=2。
下面是一些加减法混合运算的题目，我们做以10为跳板的减法，其中要特别注意10可以拆分成两个5之和。
【例8】7+8-9=？
解：7+8-9=(5+2)+(5+3)-10+(10-9)=(5+5-10)+(2+3+1)=0+6=6。
【例9】5+9-6=？
解：5+9-6=5+(5+4)-6=4+(5+5-6)=4+(10-6)=4+4=8。
【例10】14-9+7=？
解：14-9+7=(4+10)-9+7=4+(10-9)+7=4+1+7=5+7=5+(5+2)=(5+5)+2=10+ 2=12。
对于比较大的两个数，我们也可以10为跳板来做加法运算。
【例11】9+9=？
解：9+9=(10-1)+(10-1)=(10+10)-1-1=20-1-1=19-1=18。
【例12】8+9=？
解：8+9=(10-2)+(10-1)=(10+10)-2-1=10+(10-3)=10+7=17。
【例13】7+7+9-5=？
解：7+7+9-5=7+(10-3)+(10-1)-5=(10+10)-(3+1+5)+7=20-9+7=11+7=18。
下面的例题中有加有减，我们可以5为基准数并以10为跳板进行计算。
【例14】6+7-9=？
解：由于6=5+1，7=5+2，5+5=10，我们得到
6+7-9=(5+1)+(5+2)-9=(1+2)+(5+5)-9=3+10-9=3+(10-9)=3+1=4。
至此，也许有的小朋友会问：以上介绍的例题都很简单，完全可以直接口算结果，为什么要这么做呢？我们这么做的主要目的是介绍一些速算方法的思想，以便帮助小朋友们在学习后面介绍的内容之前打下基础。希望小朋友们仔细体会这些方法的思维方式。
当一个人在电梯中直立时，其头顶相对于地面的高度减去其脚底相对于地面的高度恰好等于其身高，如下图所示。
无论电梯如何升降，只要人相对于电梯不改变姿势，上述的差就不会改变。这告诉我们一个道理：被减数与减数同时改变相同的量，其差不会改变。利用这个原理来做减法运算的方法就叫作同升同降法，其中的道理也很像水涨船高、水落船低。
例如，被减数6与减数4每次同时减少1，我们得到
6-4=5-3=4-2=3-1=2-0=2。
被减数6与减数4每次同时增加1，我们得到
6-4=7-5=8-6=9-7=10-8=2。
下面看更多的例子。
【例1】5-2=？
解：由被减数和减数同降可得
5-2=4-1=3-0=3。
【例2】9-5=？
解：由被减数和减数同升可得
9-5=10-6=4。
【例3】11-5=？
解：由被减数和减数同降可得
11-5=10-4=6。
【例4】12-7=？
解：由被减数和减数同降可得
12-7=11-6=10-5=5。
【例5】19-3=？
解：由被减数和减数同升可得
19-3=20-4=10+(10-4)=10+6=16。
以上例子中每次升降的幅度都是1，以下例子中升降的幅度都超过1。
【例6】13-6=？
解：由被减数和减数同降可得
13-6=(13-3)-(6-3)=10-3=7。
【例7】16-8=？
解：由被减数和减数同降可得
16-8=(16-6)-(8-6)=10-2=8。
【例8】15-9=？
解：由被减数和减数同降可得
15-9=(15-5)-(9-5)=10-4=6。
我们看到，当被减数个位上的数小于减数时，降低的幅度可以恰好等于被减数个位上的数。
下面的例子中有加有减，且前两个数的个位上的数都比后面的两个减数小，我们将使用两次同升法。
【例9】15+16-8-9=？
解：由被减数和减数两次同升可得
15+16-8-9=15+(16+2+1)-(8+2)-(9+1)=15+19-10-10=(15-10)+(19-10)
=5+9=5+(5+4)=(5+5)+4=10+4=14。
如果两个数的和为10，那么这两个数就（关于10）互为补数。例如，因为3+7=10，所以3与7互为补数。熟悉并巧妙地运用补数，可以极大地提高加减法运算的速度。
根据升降法，或者利用双手十指数数，不难得到
10=1+9=2+8=3+7=4+6=5+5。
可见，1与9互为补数，2与8互为补数，3与7互为补数，4与6互为补数，5与5互为补数。我们将这些成对的补数列成下表。
注意，补数对中的两个数是可以颠倒顺序的。例如，<46>与<64>是相同的对子，都是指4和6这一对补数。熟记这些补数对，是用其进行速算的关键。
为了帮助大家更好地记忆这些补数对，我们可以观察下图，发现中心点5与自身构成补数对，而其余补数对则关于中心点左右对称。
下面来看如何运用补数进行加法速算。
【例1】2+9=？
解法1：被加数是2，而2的补数是8，可是加数不是8而是9。于是，可以将9拆分成8与1。因此，
2+9=2+(8+1)=(2+8)+1=10+1=11。
解法2：加数是9，而9的补数是1，可是被加数不是1而是2。于是，可以将2拆分成1与1。因此，
2+9=(1+1)+9=1+(1+9)=1+10=11。
注1：以上两种解法都是可行的，但是我们提倡用第一种方法，因为该方法使得我们从一开始就去想补数对，而且所得到的10在前面，零头在后面。
注2：为了方便口算或速算，也就是不动笔进行快速计算，我们可以不读加号，而直接读数字序列，这样可以提高计算的速度。比如，为了口算2+9，先读取<29>，接着默念补数口诀<28>并在心中拆解9，从而读取<281>，最后直接读出答案11。该口算过程可以表示为
【例2】口算4+8。
解：由于<46>是补数对，而8可以拆分成<62>，因此，
即4+8=12。
【例3】口算3+6。
解：由于<37>是补数对，而7可以拆分成<61>，因此，
即3+6=9。
注意，数上面的短横线表示减号，即1表示减去1。
如果是更多的数相加，那么可以连续运用补数对。
【例4】口算7+8+6。
解法1：由于<73>是补数对，而8可以拆分成<35>；紧接着，<55>是补数对，而6可以拆分成<51>，因此，
即7+8+6=21。
注意，这里要有节奏地读数，就像读诗句一样，如<73551>读作<73,55,1>。
解法2：由于<73>是补数对，而<82>也是补数对，因此我们在读出前两个数<78>后可以直接读出它们的两个补数所构成的数对<32>。注意，6可以拆分成<321>。因此，
也得到7+8+6=21。注意，上述<78321>可以按照<78, 32, 1>这种节奏默念。
虽然这里的答案超过了20，但是我相信小朋友们能够理解。融会贯通之后，小朋友应该能够用补数计算更复杂的加减法，可参看《速算达人是这样炼成的》（人民邮电出版社，2023年）第1章。
为了避免题海战术，掌握加法技巧的关键是会背如下的九九加法表。
上表中的汉字既分别代表运算区行、列的编号，也分别代表被加数和加数。一加一等于几？只要看运算区的第一行与第一列交叉处的数字2，便知1+1=2。二加三等于几？只要看运算区的第二行与第三列交叉处的数字5，便知2+3=5。
上表的主对角线上的数如下图所示。
这些数都是一个数（行号与列号相同）与其本身的和，因此都是双数。例如，位于第三行与第三列交叉处的数6等于3+3，位于第四行与第四列交叉处的数8等于4+4，等等。
九九加法表的每一行中的数都依次增加1，这是因为被加数固定为相同的行号，而加数（列号）依次增加1。如该表第一行中的数是被加数1与1~9的和，因此和依次是
该表第二行中的数是被加数2与2~9的和，因此和依次为
注意，每一行结尾的数都是两位数，而其个位上的数比行号小1。如第一行结尾的数是10，其个位上的数0比行号一小1；第二行结尾的数是11，其个位上的数1比行号二小1；第三行结尾的数是12，其个位上的数2比行号三也小1……想一想，这是为什么呢？这是因为最后一个加数是9，它比10小1。
九九加法表运算区的每一列中的数也都依次增加1，这是因为加数固定为相同的列号，而被加数依次增加1。比如，该表第四列中的数是被加数1，2，3，4分别与加数4相加的和，它们依次为
我们注意到每一列结尾的数恰好在主对角线上。
现在请小朋友们在九九加法表中寻找10，看看它在什么位置。不难发现，10都位于运算区的副对角线上（见下图）。
这是因为1与9之和等于10，根据升降法，可得
10=1+9=2+8=3+7=4+6=5+5。
九九加法表中两两相加为10的数刚好对应着5对补数。当行号增加1而列号减少1的时候，和不变，始终等于10。
根据同样的道理，其他和也满足类似的规律，即相同的和位于同一条斜线上。比如，和9所在的斜线平行于和10所在的斜线，也平行于和11所在的斜线，如下图所示。
总之，位于同一条左低右高的斜线上的和是相同的。
了解了上述规律，就很容易记住九九加法表。可以逐行背诵：运算区第一行，一加一得二，一加二得三，一加三得四……一加九得十；第二行，二加二得四，二加三得五……二加九得十一；等等。也可以逐列背诵：第二列，一加二得三， 二加二得四；第三列，一加三得四，二加三得五，三加三得六；等等。还可以按照左低右高的斜线来背诵。比如，和等于12的情况如下。
12(=2+10)=3+9=4+8=5+7=6+6。
我们并不提倡死记硬背，但是按照九九加法表来做加法练习比盲目做题要好，因为这样的训练更加全面，也更有规律。
由于减法是加法的逆运算，我们也可以利用九九加法表来全面地做20以内的减法练习。
比如，既然12=5+7，就有12-5=7，也有12-7=5；既然11=5+6，就有11-5=6，也有11-6=5。从九九加法表来看，被减数恰好是表中的和，而减数和差分别是行号与列号。
根据同升同降法，有
14-9=13-8=12-7=11-6=10-5=5。
在九九加法表中，这就是第五行。
还是根据同升同降法，有
10-5=9-4=8-3=7-2=6-1=5。
在九九加法表中，这就是第五列。
总之，可以借助九九加法表练习减法，而且既可以按纵向或横向练习，也可以按斜向练习，还可以综合运用前面学过的各种方法。熟悉了九九加法表，就算练成了20以内的加减法童子功。
