速算达人是这样炼成的

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书名：速算达人是这样炼成的

ISBN：978-7-115-60475-0

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版　　权

著    朱用文

责任编辑 刘 朋

人民邮电出版社出版发行　　北京市丰台区成寿寺路11号

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内容提要

本书以通俗的文字深入浅出地介绍了加、减、乘、除等算术运算的速算方法，内容包括加减法速算、乘法一口清、两位数乘法速算、两位数乘多位数速算、多位数乘除法速算、九宫速算法。其中，乘法的剪刀积方法、梅花积方法、九宫速算法等内容是作者对速算理论的最新贡献。

本书实现了传统与创新融合、理论与实用兼顾、模块化与整体统一，可供中小学生、家长以及广大青年朋友阅读，亦可供教育工作者和有关研究人员参考。

序　言

朋友，你想了解最新的速算理论吗？你想提高自己的速算本领吗？你想让自己的孩子提高数学成绩吗？你想成为速算达人吗？你想要管窥数学之美吗？那么，请让本书奉献给你一些神奇且实用的速算技巧。

本书第1章讲述加减法速算，其中的基本思想是寻找和利用各种简单的模式。如果你掌握了幼学公式、弱冠公式、而立公式、不惑公式、五指公式、勾股定理、世纪之和、对称法求和等公式和方法，就可以从容心算众多数字的加减法，进而就可以像速算达人那样玩转众多多位数的加减法速算。

第2章告诉你如何练就乘法一口清本领，其中对于乘数2、3、4、9建议使用史丰收速算法，对于乘数5、6、7建议使用除法，对于乘数7、8、9建议使用减法（是的，对于乘数7、9有两种算法）。在对本书内容融会贯通之后，你还可以使用后面介绍的剪刀积与小小进位法等。

第3章介绍对于学生来说可能最为实用的两位数乘法速算技巧，根据两个乘数中四个数字的大小分为四小型、前一大型、后一大型、大大小小型、大小大小型、小大小大型、大小小大型、前一小型、后一小型、四大型等10种类型进行介绍。百川归海、万法同宗，这些分散的方法最终可以统一为退补积法和虚拟进位法，并且可以推广到任意多位数的乘法。

第4章介绍两位数乘多位数的速算方法，主要是在乘法速算基本公式的基础上介绍主部进位法、虚拟进位法、活动尺子法等方法。最后一种方法对于多位数乘以两位数的乘法特别有效，由两位数的恰当分解所获得的活动尺子在任意多位数的被乘数上逐位移动，所到之处就给出了乘积的结果。

第5章在最一般的意义下讲授乘除法，介绍了多位数乘除法速算技巧。除了简单介绍史丰收速算法的各种乘法口诀，推广前面的退补积法、虚拟进位法之外，重点推出了剪刀积、梅花积等方法。这些方法与小小进位法及微调法结合使用，成为多位数乘除法速算中最为新颖与神奇的武器。相对于乘法的史丰收速算法的26句口诀，梅花积方法仅有“三七同临，隔三岔五”8个字！

第 6 章简单介绍九宫速算法，这是从中国传统文化中发掘出来的算术方法，可视为“洛书上的数学”。由于九宫图是天然的记忆宫殿，由于加减法基本图示具有很强的直观性，由于加减法与乘法运算可以采用旋转不变性定理，更由于九宫图可以呈现完整的乘法表，九宫图成为加、减、乘、除等算术运算中最为纯粹的速算工具——九宫算盘。

本书注重学术性与通俗性的统一，通过深入浅出的介绍和相对独立的模块化展示，让你随便翻阅到哪一节都能学到一定的速算方法。然而，各个章节之间又有有机的联系，前后贯通，融合成几套系统的速算理论。这些理论既有传承，又有创新，如史丰收速算法是经典理论，而剪刀积方法、梅花积方法、九宫速算法等则是作者的最新贡献。九宫速算法可谓基于洛书的算术方法，是在我国传统数学成就上的创新。本书不仅讲述速算理论和方法，还同时融入心理学、教育学的技术，提供理解和掌握有关内容的方法，让读者鱼渔兼得。此外，无论是梅花积的优美性质还是小小进位法的简单快捷，无论是九宫图的旋转不变性还是普通乘法表在九宫图上的完整呈现，无不展现出数学的纯粹、奇特与美妙。

本书可供中小学生、家长以及广大青年朋友阅读，亦可供教育工作者以及有关研究人员参考。

在撰写本书的过程中，我得到了学院领导的大力支持，也得到了我的家人、相关同事和朋友的支持与帮助，在此一并表示衷心的感谢！

　　　　　　　　　　　　　　　　 2022年于烟台大学

第1章　加减法速算

2017年3月17日，江苏卫视综艺节目《最强大脑》第4季推出中日速算对决，中国“心算小魔女”钟恩柔挑战日本“心算大帝”土屋宏明！比赛规则为：随机选择9道题，每道题抢答正确时得1分，抢答错误时对方得1分，率先得5分者获胜。其中，第四道题是如下15个三位数混合加减法口算题：

752 + 149 + 385 + 751 − 492

 + 936 + 358 + 861 − 573 + 729

 + 148 + 782 + 514 + 167 + 623。

钟恩柔与土屋宏明看到题目后立刻计算出了结果，几乎同时抢答，都给出了正确答案6090。是不是很神奇？他们是怎么做到的呢？

当然，他们用的都是珠心算。所谓珠心算就是在心里打算盘，需要经过漫长时间的训练才能出成绩。本书介绍一些纯粹的算术方法，让你也能够秒算多位数的加减法。这些方法容易学习，你一旦掌握就会经久不忘。

第1节　巧用补数

目前，我们只讨论关于10的补数，因为善用它们可以极大地提高一位数加减法速算能力，而这是多位数加减法速算的基础。

如果两个数字的和等于10，那么我们就说这两个数关于10互为补数。伸出一双手，共有10根指头。如果弯曲1根指头，那么伸开的还有9根指头，因此1与9互为补数；弯曲2根指头，还有8根指头，因此2与8互为补数；弯曲3根指头，还有7根指头，因此3与7互为补数……我们可以将成对互补的数字列成下表：

为了方便心算，我们将这些补数对记为：<19>（读作一九）或<91>（读作九一），<28>（读作二八）或<82>（读作八二），<37>（读作三七）或<73>（读作七三），<46>（读作四六）或<64>（读作六四），<55>（读作五五）。

熟记这些补数对以后，就可以快速进行一位数的加法运算。例如，4 + 8 = 4 + (6 + 2) = (4 + 6) + 2 = 10 + 2 = 12。明白了其中的道理之后，我们可以在心里快速进行以下运算：4 + 8 → 4 + 6 + 2 → 12。注意，这里的4和6互为补数，其和为10。因此，当你默念4 + 6 + 2的时候，就已经知道答案是12了。显然，这里的加法记号会大大地影响心算速度。如果省略这些加号，而只读数字串，那么心算的速度就会大大提高。据此，我们将上述心算过程简写成：

<48> → <462> → 12

我们在读这些数的时候，只需要从左到右依次默念各个数字：四八，四六二，一二。当然，我们心里明白，最后的数字串12是所求的答案，它是一个两位数，代表的就是十二。请特别注意本书中尖括号的使用方法。我们规定，尖括号表示对其中的所有数字求和。例如，在上述例子中，<48> = 4 + 8，<462> = 4 + 6 + 2。

再看一个例子：4 + 8 + 9 = ？心算过程如下：4 + 8 + 9 → 4 + 6 + 2 + 9 → 4 + 6 + 2 + 8 + 1 → 21。注意，这里的4和6互为补数，其和为10；2和8也互为补数，其和也是10。因此，当默念4 + 6 + 2 + 8 + 1的时候，你就已经知道答案是21了。省略加号后，我们可以将上述心算过程描述为：

<489> → <4629> → <46281> → 21

同样，对于5 + 9 + 7 + 6 + 8 + 2，可以心算如下：

<59> → <554> → <5547> → <55461> → <554616> → <55467>

 → <554678> → <5546735> → <55467352> → <5546737> → 37

这里出现了三对补数，它们是5和5、4和6、7和3。因此，当默念<5546737>的时候，你就已经知道答案是37了。

我们看到，当用补数进行加法口算时，只要按照节奏默念补数口诀，就可以得到答案。这里的节奏很像三字经、五言诗句或者七言诗句的节奏。可见，加法口算可以像朗读诗歌一样轻松愉快！

如果是听算题（听到题目进行口算），那么我们就只能按照题目中数字出现的次序逐步进行计算，就像上面我们所做的那样。但如果是看算题（看到题目进行口算），求和的次序就可以灵活地变化。例如，8 + 9 + 2 + 4 + 6 + 5 + 1 = (8 + 2) + (9 + 1) +(4 + 6) + 5 = 10 + 10 + 10 + 5 = 35，也就是说我们可以默念数字串<8291465>，从而立即得到答案35。

再如，为了求数字串48934756中的所有数字之和，我们可以先读取前四个数字构成的串4893，观想它们的补数所形成的串6217，在该数字串的后续串4756中可以找到6和7，但是看不到1和2。于是，我们从4中拆出1和2后还多出1。将最后一个数字5计算进来，我们有1 + 5 = 6，从而得到结果的个位数为6。因为其中出现了4对补数，所以我们得到最后的总和为40 + 6 = 6。以上心算过程可以简单地表示为：

括号外面的4代表四对互为补数的数的总和40，数字上面的横线表示减号，如相当于 − 1 − 2。

为了计算众多数字的和，必须灵活运用补数。无论我们说出几个数字，都应该迅速在头脑中想到相应的补数是哪几个数字。比如，数字1、2、3的补数分别是9、8、7，数字串123的补数串是987。由于同时加上1、2、3相当于从30中减去补数9、8、7，我们将从数字串123到补数串987的变化过程简单地记为。同理，我们有，，，等等。

本节要点可以总结为关于互为补数的数对的口诀：

你是否熟练地掌握了这些口诀呢？可以通过以下练习题来自查。注意，只能口算，不可以使用任何计算工具，要求又快又准。

练习题

口算下列数字串中的所有数字之和：

（1）35986；

（2）74752；

（3）1236229；

（4）3967254；

（5）845369；

（6）7445488；

（7）333863；

（8）46926674；

（9）741922298；

（10）6543593443；

（11）574348293532；

（12）1235672348567894675。

练习题答案：（1）31；（2）25；（3）25；（4）36；（5）35；（6）40；（7）26；（8）44；（9）44；（10）46；（11）55；（12）98。你算对了吗？用时多少？

第2节　幼学公式

《礼记·曲礼上》：“人生十年曰幼，学。”这句话的意思是人生十岁称为幼年，正是开始学习的年纪。因此，可以称十岁为幼学之年。本节介绍<1234>公式及其变种，它们都是关于总和恰好等于10的一些公式，可以统称为幼学公式。

所谓<1234>公式（读作一二三四公式）就是指四个数字1、2、3、4之和等于10，即1 + 2 + 3 + 4 = 10。这是一个非常简单的公式，读者可以自行验证。但是，验证不是重点，这里的重点是你必须牢记并善于运用它。你会看到，这的确是一个非常实用的公式，一旦学会运用它，你的速算能力就会立马起飞。请看如下例子。

4 + 8 + 1 + 2 + 3 = ？因为1 + 2 + 3 + 4 = 10，所以可以见题出答案18。

5 + 1 + 2 + 3 = ？因为1 + 2 + 3 + 4 = 10，而5 = 4 + 1，所以可以见题出答案11。

8 + 1 + 4 + 3 = ？因为1 + 2 + 3 + 4 = 10，而8 = 2 + 6，所以可以见题出答案16。

1 + 2 + 4 + 7 = ？因为1 + 2 + 3 + 4 = 10，而7 = 3 + 4，所以可以见题出答案14。

1 + 2 + 4 + 4 + 3 + 2 + 2 + 3 = ？我们可以先挑出4个数1、2、4、3，剩下的四个数是4、2、2、3，而4 + 2 + 2 + 3比4 + 1 + 2 + 3多1，所以可以见题出答案：10 + 10 + 1 = 21。

下面研究<1234>公式的变种。

采用升降法，可以将1升为2，同时将4降为3，于是有1 + 4 = 2 + 3。因此，1 + 2 + 3 + 4 = (1 + 4) + (2 + 3) = (1 + 4) + (1 + 4) = (2 + 3) + (2 + 3)，故1 + 4 + 1 + 4 = 10，2 + 3 + 2 + 3 = 10。这里得到<1234>公式的两个变种<1414>公式和<2323>公式。为了帮助记忆，我们可以适当运用谐音编码的方法。<1414>可读作幺四幺四，这听起来像是“钥匙钥匙”，简单地说就是“两把钥匙”。因此，我们可以将<1414>公式称为两把钥匙公式。<2323>读作二三二三，可编码为“和尚和尚”（两个和尚）。因此，<2323>公式可以形象地称为两个和尚公式。另外，<2323>亦可以改写为<3322>，而后者恰好是成语“三三两两”。因此，我们又得到<3322>公式，称之为三三两两公式。

采用升降法，将2同时增减1，分别得到3和1，因此有2 + 2 = 1 + 3，从而可得1 + 2 + 3 = 2 + 2 + 2。可见，从1 + 2 + 3 + 4 = 10出发，可以得到2 + 2 + 2 + 4 = 10。于是，我们得到<1234>公式的另一个变种<2224>公式。<24>可编码为“盒子”，而<2224>可编码为“盒盒盒子”，我们简称其为“大盒子”。因此，我们可以将<2224>公式称为大盒子公式。

同样，采用升降法，将3同时增减1，分别得到4和2，因此有2 + 4 = 3 + 3，从而2 + 3 + 4 = 3 + 3 + 3。可见，从1 + 2 + 3 + 4 = 10出发，还可以得到1 + 3 + 3 + 3 = 10。于是，我们得到<1234>公式的又一个变种<3331>公式。根据读音近似的特点，我们可以将<31>编码为“鲨鱼”，于是，<3331>就是“鲨鲨鲨鱼”，简称为“大鲨鱼”。因此，<3331>公式也可以叫作大鲨鱼公式。此外，我们由3331容易想到贝多芬的命运主题。

综上所述，<1234>公式有如下变种：<1414>（两把钥匙）、<2323>（两个和尚）、<3322>（三三两两）、<2224>（大盒子）、<3331>（大鲨鱼）。

请看下面的例子。

5 + 3 + 2 + 2 + 7 + 4 + 1 + 4 = ？注意，<5322>比<3322>多出2（因为5 − 3 = 2），而<7414>比<1414>多出6（因为7 − 1 = 6）。因此，根据三三两两公式和两把钥匙公式，我们立即得到所要求的和为10 + 2 + 10 + 6 = 28。

3 + 3 + 6 + 3 + 2 + 5 + 2 + 2 = ？注意<3363>比<3313>多出5（这是因为6 − 1 = 5），而<2522>比<2422>多出1（这是因为5 − 4 = 1）。因此，根据大鲨鱼公式和大盒子公式，我们立即得到所要求的和为10 + 5 + 10 + 1 = 26。

本节要点是你必须牢记以下这些幼学公式：

你是否熟练地掌握了这些公式？可以通过以下练习题来自查。注意，只能口算，不可以使用任何计算工具，要求又快又准。

练习题

口算下列数字串中的所有数字之和：

（1）1235；

（2）1834；

（3）1247；

（4）9234；

（5）32234117；

（6）72245422；

（7）33387333；

（8）22721441；

（9）23239222；

（10）5142354333；

（11）7123462223331；

（12）3214333442226233。

练习题答案：（1）11；（2）16；（3）14；（4）18；（5）23；（6）28；（7）33；（8）23；（9）25；（10）33；（11）39；（12）47。你算对了吗？用时多少？

第3节　而立公式

孔子曰：“三十而立。”这句话的意思是，人到了三十岁，就应该成家立业，就应该自立自强。本节介绍<6789>公式及其变种，它们都是关于总和恰好等于30的一些公式。因此，我们将这些公式统称为而立公式。

所谓<6789>公式（读作六七八九公式）就是指四个数字6、7、8、9之和等于30，即6 + 7 + 8 + 9 = 30。读者可以自行验证该公式的正确性，但这不是重点，重点是你必须牢记并熟练地运用它。与<1234>公式一样，<6789>公式也非常实用，请看如下例子。

7 + 9 + 7 + 8 + 6 = ？因为6 + 7 + 8 + 9 = 30，所以可以见题出答案37。

8 + 7 + 8 + 9 = ？因为6 + 7 + 8 + 9 = 30，而8 = 6 + 2，所以可以见题出答案32。

9 + 7 + 9 + 6 = ？因为6 + 7 + 8 + 9 = 30，而9 = 8 + 1，所以可以见题出答案31。

8 + 7 + 6 + 6 = ？因为6 + 7 + 8 + 9 = 30，而6 = 9 − 3，所以可以见题出答案30 − 3 = 27。

8 + 7 + 7 + 9 + 9 + 8 + 6 + 7 = ？由于<8779>比<8769>多出1，两次运用<6789>公式，立刻得到：原式 = 30 + 1 + 30 = 61。

8 + 1 + 2 + 7 + 6 + 9 + 4 + 3 + 8 = ？因为重新分组后可以得到(1 + 2 + 3 + 4) + (6 + 7 + 8 + 9) + 8，所以同时运用<1234>公式与<6789>公式，立即得到总和是10 + 30 + 8 = 48。

1 + 2 + 6 + 9 + 8 + 4 + 8 + 4 = ？因为重新分组后得到(1 + 2 + 4 + 4) + (6 + 8 + 8 + 9)，其中<1244>比<1234>多出 1，<6889>比<6789>多出 1，所以立即得到总和为10 + 30 + 1 + 1 = 42。

下面研究<6789>公式的变种。

采用升降法，可以将6升为7，同时将9降为8，于是有6 + 9 = 7 + 8。因此，6 + 7 + 8 + 9 = (6 + 9) + (7 + 8) = (6 + 9) + (6 + 9) = (7 + 8) + (7 + 8)。这里得到<6789>公式的两个变种<6969>公式和<7878>公式，即6 + 9 + 6 + 9 = 30，7 + 8 + 7 + 8 = 30。

根据数字谐音编码的方法，<69>可以编码为“辣椒”，而<78>可以编码为“西瓜”。所以，我们可以将刚才得到的两个变种公式分别叫作两只辣椒公式和两个西瓜公式。

采用升降法，将7同时增减1，分别得到8和6，因此有6 + 8 = 7 + 7，从而可得6 + 7 + 8 = 7 + 7 + 7。可见，从6 + 7 + 8 + 9 = 30出发，可以得到7 + 7 + 7 + 9 = 30。

于是，我们得到<6789>公式的第三个变种 <7779>公式。根据谐音法，<79>可以读作“气球”，<7779>就是“气气气球”，我们将其简称为“大气球”。因此，<6789>公式的第三个变种就是大气球公式。

同理，采用升降法，将8同时增减1，分别得到9和7，因此有7 + 9 = 8 + 8，从而可得7 + 8 + 9 = 8 + 8 + 8。可见，从6 + 7 + 8 + 9 = 30出发，又可以得到6 + 8 + 8 + 8 = 30。

于是，我们得到<6789>公式的另一个变种 <8886>公式。利用数字谐音编码的方法，<86>可以编为“菠萝”，<8886>就是“菠菠菠萝”，我们将其简称为“大菠萝”。因此，<6789>公式的第四个变种就是大菠萝公式。

综上所述，<6789>公式有如下变种：<6969>（两只辣椒）、<7878>（两个西瓜）、<7779>（大气球）、<8886>（大菠萝）。

请看下面的例子。

6 + 9 + 9 + 8 + 7 + 8 + 7 + 9 = ？<6998>比<6996>多出2（因为8 − 6 = 2），而<7879>比<7878>多出1（因为9 − 8 = 1），因此根据两只辣椒公式和两个西瓜公式，我们立即得到所要求的和为30 + 2 + 30 + 1 = 63。

7 + 7 + 7 + 9 + 5 + 8 + 8 + 8 + 8 = ？注意<8888>比<8886>多出2（这是因为8 − 6 = 2），运用大气球公式和大菠萝公式，我们立即得到所要求的和为30 + 5 + 30 + 2 = 67。

可以将而立公式与上一节介绍的幼学公式结合起来运用。贝多芬的《欢乐颂》第一句的简谱忽略节奏后可以写成如下音符序列：334554321123322。我们来口算这些数字的和。综合运用<6969>公式与<1234>公式，可得：

<334554321123322> → <6996123322> → <699612334>

 → <696912343> → 30 + 10 + 3 = 43

最后看一道更为复杂的例题。口算下列数字串中所有数字的总和：66992325787941426799。口算过程如下：从左往右看，首先<6699>等于30；其次，<2325>比<2323>多2，和是12，此时总和为42；再次，<7879>比<7878>多出1，和为31，此时总和为42 + 31 = 73；接下来，<4142>比<1414>多出1，等于11，此时总和为 73 + 11 = 84；最后，<6799>比<6789>多 1，和为 31，故最终的答案为84 + 31 = 115。稍加修改，上述口算过程可表述为：

<66992325787941426799> → <6699, 2323, 2787941426799>

 → <6699, 2323, 987941426799> → <6699, 2323, 9876, 341426799>

 → <6699, 2323, 9876, 3412, 46799>

 → <6699, 2323, 9876, 3412, 6789, 41>

 → <6699, 2323, 9876, 3412, 6789, 5>

 → 30 + 30 + 30 + 10 + 10 + 5 = 115

本节的要点就是必须牢记如下而立公式：

你是否熟练地掌握了这些公式呢？可以通过以下练习题来自查。注意，只能口算，不可以使用任何计算工具，要求又快又准。

练习题

口算下列数字串中的所有数字之和：

（1）36789；

（2）69663；

（3）699634878；

（4）887746699；

（5）777929777；

（6）88869888；

（7）697878789966；

（8）977787776777；

（9）388848886888；

（10）6788788869996789；

（11）123456789987654321；

（12）222468883333777743327889。

练习题答案：（1）33；（2）30；（3）60；（4）64；（5）62；（6）63；（7）90；（8）86；（9）85；（10）123；（11）90；（12）124。你算对了吗？用时多少？

第4节　弱冠公式

《礼记·曲礼上》有言：“二十曰弱，冠。”这句话的意思是20岁成年，当进行加冠礼（古代的成人礼）。因此，弱冠之年是指20岁的年纪，也就是刚刚成年。本节所谓的弱冠公式是指总和刚好凑成20的一些公式，其中包括<785>、<893>、<956>等公式。

因为7、8的补数分别为3、2，而3、2之和为5，所以我们有7、8、5之和为20，即得到<785>公式：

7 + 8 + 5 = 20。

同理，可以得到<893>公式：

8 + 9 + 3 = 20。

可以得到<956>公式：

9 + 5 + 6 = 20。

还可以得到<992>、<884>、<776>、<668>、<974>等公式。以上这些都是弱冠公式。

为了便于记忆，我们采用数字谐音编码法，将这些弱冠公式编码为：<785>（骑马舞）、<893>（芭蕉扇）、<956>（酒葫芦）、<992>（绣球儿）、<884>（搭巴士）、<776>（细细柳）、<668>（绿喇叭）、<947>（酒司机）。下面的例题展示了这些公式的威力。

例如，8 + 9 + 4 = 8 + 9 + (3 + 1) = (8 + 9 + 3) + 1 = 20 + 1 = 21。该运算过程可以简写成：

<894> → <8931> → 21

这里出现<893>（芭蕉扇），运用<893>公式得到20，故最后的和是21。同理，因为：

<7863> → <78513> → <7854> → 24

所以我们得到：7 + 8 + 6 + 3 = 24。因为：

<95762> → <95672> → <9569> → 29

所以我们得到：95762中的所有数字之和为29。

下面看两个稍微复杂一点的例子。

为了求数字串668948885中的所有数字之和，可以进行以下心算：

<668948885> → <668, 947, 1, 885> → <668, 947, 884, 11>

 → 20 + 20 + 20 + 2 → 62

这里出现了<668>（绿喇叭）、<947>（酒司机）和<884>（搭巴士），分别运用<668>、<947>、<884>等公式，得到三个20，因此最后的总和为20 + 20 + 20 + 2 = 62。

为了求数字串993678784769中的所有数字之和，可以进行以下心算：

<993678784769> → <992, 776, 893, 866, 3>

 → 20 + 20 + 20 + 20 + 3 → 83

这里出现<992>（绣球儿）、<776>（细细柳）、<893>（芭蕉扇）和<668>（绿喇叭），分别运用<992>、<776>、<893>、<668>等公式，得到四个 20，因此最后的总和为20 + 20 + 20 + 20 + 3 = 83。

也可以将弱冠公式与而立公式等结合起来使用。小提琴协奏曲《梁祝》的主题句的音符序列（忽略节奏）是356126155165352，我们可以心算这一串数字。运用<668>与<6789>公式，可得总和为56，心算过程如下：

<356126155165352> → <86612155165352> → <866, 9665352>

→ <866, 96687> → <866, 6789, 6> → 20 + 30 + 6 → 56

现在，大家是不是开始感觉公式有点多呢？

当今时代，人工智能（AI）技术得到了很快的发展。所谓人工智能就是机器模仿人的思维过程，它能够通过学习不断提高自身的技能。其实，反过来，人也应该向机器学习，任劳任怨地记忆一些东西，通过知识积累不断提高能力。速算可以成为人机互相学习的一个很好的例子。无论是机器还是人，只要记得多、算得多，就会算得快。因此，尽管速算公式有点多，但还是值得去努力记住的。记住其中的一些，运算速度就会跟普通人大不一样；而且记得越多，算得越快。当你记得足够多的时候，你就能够算得特别快，你就是速算达人！

为了帮助大家记忆本节中众多的弱冠公式，我们编了一个故事：我本想搭巴士（884），不料碰到一个酒司机（947）拿着酒葫芦（956）。谁敢乘坐他的车呀！我只好步行20里，来到细细柳（776）旁，看到20岁的小伙子跳着骑马舞（785），吹着绿喇叭（668），还有20岁的姑娘摇着芭蕉扇（893），抛撒着绣球儿（992）。

本节的要点总结为如下弱冠公式：

你是否熟练地掌握了这些公式呢？可以通过以下练习题来自查。注意，只能口算，不可以使用任何计算工具，要求又快又准。

练习题

口算下列数字串中的所有数字之和：

（1）678；

（2）895；

（3）957；

（4）994；

（5）887；

（6）778；

（7）669；

（8）948；

（9）679796；

（10）957569；

（11）7794866692；

（12）22268788395589。

练习题答案：（1）21；（2）22；（3）21；（4）22；（5）23；（6）22；（7）21；（8）21；（9）44；（10）41；（11）64；（12）82。你算对了吗？用时多少？

第5节　五指公式

如果连续的5个数字关于大小居中的那个数——中位数对称，那么我们就知道这5个数字之和等于中位数乘以5，也就是说等于中位数乘以10再除以2。如果我们伸出一只手，用5根指头分别代表这5个数，那么中指恰好代表中位数。此时，5个数的总和就由中指决定。因为用一只手确定5个数的和，所以可以说一手定乾坤！而这种求5个数的和的公式就叫作五指公式。

例如，2 + 3 + 4 + 5 + 6 = ？这里的中位数等于4，因此，

2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 40 ÷ 2 = 20。

同理，有：

3 + 4 + 4 + 4 + 5 = 40 ÷ 2 = 20；

4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 60 ÷ 2 = 30；

3 + 4 + 6 + 8 + 9 = 60 ÷ 2 = 30；

3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 50 ÷ 2 = 25；

5 + 5 + 7 + 9 + 9 = 70 ÷ 2 = 35。

五指公式十分简单，前提条件是所要求和的5个数字必须关于中位数对称，判别的方法是：对于5个数中的任意一个数，如果它比中位数大（或者小）几，那么在这5个数中就一定有另外一个数与之对称，即它比中位数小（或者大）几。比如，当中位数等于4时，有5就必然有3，因为它们分别比4大1和小1，此时我们说3和5关于4对称，而且3的个数与5的个数必须相等。同样，2和6也关于4对称，有几个2就应该有几个6。1和7也关于4对称，有几个1就应该有几个7。这里要特别注意，4与4关于4也是对称的，因此当4是中位数时，4的个数必须是奇数才能保证对称性。

下面给出一些关于4对称的数字串：23456、22466、24446、14447、12467、11477、22466、44444。对于这种长度为5的对称数字串，求和才能用五指公式。在上面所给的这些数字串中，数字之和都是40 ÷ 2 = 20。

12345、11355、23334、33333是关于 3 对称的数字串，数字之和都等于30 ÷ 2 = 15。

34567、24568、14569、45556、35557、25558、15559、55555是关于5对称的数字串，数字之和都等于50 ÷ 2 = 25。

45678、35679、56667、46668、36669、66666是关于6对称的数字串，数字之和都等于60 ÷ 2 = 30。

56789、57779、77777是关于7对称的数字串，数字之和都等于70 ÷ 2 = 35。5个数字组成的关于8对称的数字串只有77899、78889、88888三个，数字之和都等于80 ÷ 2 = 40。5个数字组成的关于9对称的数字串只有一个，它是99999，数字之和等于90 ÷ 2 = 45。

对于长度为5的非对称数字串，我们可以找到与之最接近的对称数字串，从而间接应用五指公式。例如，数字串23457不是对称的，但是数字串23456是对称的，因此，

2 + 3 + 4 + 5 + 7 = 2 + 3 + 4 + 5 + (6 + 1) = (2 + 3 + 4 + 5 + 6) + 1 = 40 ÷ 2 + 1 = 21。

该心算过程可以简单地表示为：

<23457> → <23456, 1> → 21

类似地，14449中的所有数字之和等于22，这是因为：

<14449> → <14447, 2> → 22

下面看一个稍微复杂一点的例子。求数字串5666834568中的所有数字之和。因为：

<5666834568> → <56667, 134568> → <56667, 44568>

 → <56667, 44566, 2> → 30 + 25 + 2 → 57

所以，5666834568中的所有数字之和为57。

本节的要点就是应用长度为5的对称数字串求和的五指公式。

你是否熟练地掌握了五指公式呢？可以通过以下练习题来自查。注意，只能口算，不可以使用任何计算工具，要求又快又准。

练习题

口算下列数字串中的所有数字之和：

（1）45678；

（2）12345；

（3）23457；

（4）25568；

（5）33699；

（6）34688；

（7）69369；

（8）88789；

（9）2333467778；

（10）5468733699；

（11）234456666842；

（12）4444487888956785。

练习题答案：（1）30；（2）15；（3）21；（4）26；（5）30；（6）29；（7）33；（8）40；（9）50；（10）60；（11）56；（12） 99。你算对了吗？用时多少？

第6节　不惑公式

子曰：“四十而不惑。”这句话出自《论语·为政》，意思是孔子说人到40岁时遇到事情不再感到困惑。后人就将40岁的年纪称为不惑之年。本节介绍的不惑公式是指那些和为40的典型公式。这些公式与前面学过的幼学公式、弱冠公式、而立公式等一样，看起来简单，用起来方便，对于加法的速算十分有效。

例如，8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 40，7 + 8 + 8 + 8 + 9 = 40，7 + 7 + 8 + 9 + 9 = 40。用这些公式求和的数字串都是以 8 为中位数的对称数字串，因此运用五指公式立即得到其和等于80 ÷ 2 = 40。或者只看第一个公式，根据乘法口诀，5 × 8 = 40。利用升降法，将8分别增减1得到9和7。因此，从第一个公式出发，很容易推导出后面两个公式。上述公式的应用条件都是以8为中位数，故可以总结为“五指八中”。

进一步运用升降法，还可以推导出如下一些不惑公式：6 + 8 + 8 + 9 + 9 = 40，6 + 7 + 9 + 9 + 9 = 40，5 + 8 + 9 + 9 + 9 = 40，4 + 9 + 9 + 9 + 9 = 40。

最后一个公式很好记，因为9的补数是1，4个9补上4当然就是40了。所以，最后一个公式可记为“四九补四”。

上述第一个公式含有<88>（爸爸）、<99>（舅舅）、<6>（留或绿）、<89>（芭蕉），故可按以下谐音编码的方法进行记忆：<88699>，爸爸留舅舅（吃饭）；<99688>，舅舅留爸爸（吃饭）；<89689>，芭蕉绿芭蕉。

还记得芭蕉扇公式吗？8 + 9 + 3 = 20。注意到<89689> = <893893>，因此<89689>也可以理解为<893893>（芭蕉扇芭蕉扇，即两把芭蕉扇）。

第二、三个公式都含有3个9（旧或久），而<67>听起来有点像“楼梯”，<85>听起来像“巴乌”（一种吹奏乐器），因此<99967>、<99985>这两个不惑公式可以分别叫作旧旧旧楼梯公式和久久久巴乌公式。

下面我们来看不惑公式的一些应用。

例如，数字串7978932416中的所有数字之和显然为56，这是因为：

<7978932416> → <77899, 3241, 6> → 40 + 10 + 6 → 56

这里对于数字串77899运用了五指八中公式，得到数字和为40；对于数字串3241应用了<1234>公式，得到数字和为10。

再如，数字串668859996799926898941中的所有数字之和为147，这是因为：

<668859996799926898941> → <668, 85999, 67999, 68989, 241>

 → 20 + 40 + 40 + 40 + 7 → 147

这里首先对于数字串668运用绿喇叭公式，接着连续三次应用不惑公式，即对于数字串85999应用久久久巴乌公式，对于67999应用旧旧旧楼梯公式，对于68989应用芭蕉绿芭蕉公式。

本节要点可以归纳为如下5个不惑公式。

你是否熟练地掌握了这些不惑公式呢？可以通过以下练习题来自查。注意，只能口算，不可以使用任何计算工具，要求又快又准。

练习题

口算下列数字串中的所有数字之和：

（1）778999；

（2）99995；

（3）99969；

（4）99988；

（5）89789；

（6）979797999959996；

（7）8968978889299997；

（8）9988699966889889；

（9）994998998959879322；

（10）9999467897858888877999；

（11）123499995777989988988894；

（12）67859999992558886787899967。

练习题答案：（1）49；（2）41；（3）42；（4）43；（5）41；（6）122；（7）125；（8）129；（9）128；（10）171；（11）169；（12）192。你算对了吗？用时多少？

第7节　勾股定理

所谓直角就是互相垂直的两条直线所形成的夹角，它是四等分一个圆周所得到的角，因此其度数为 90°。比如，方桌、电视机、书本的角通常都是直角。含有直角的三角形叫作直角三角形，其中两条直角边分别叫作勾和股，斜边叫作弦。所谓勾股定理是指在任意一个直角三角形中，两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方，如下图所示。我们的目的是利用勾股定理进行速算。为此，我们想要寻找边长为整数的直角三角形。

勾股定理的一个特别简单的情形是：若勾长、股长分别为3和4，则弦长一定等于5，正所谓勾三股四弦五，这是因为，即。

如果将上述三角形的尺寸扩大一倍，则得到的仍然是一个直角三角形，此时勾、股、弦的长度分别为6、8和10，于是得到，即。

上述两个具体的公式分别叫作三四五勾股定理和六八十勾股定理，也可以简称为<34>勾股定理和<68>勾股定理。

根据数字谐音编码方法，<9>可以记忆为“酒”，<16>为“杨柳”，<25>为“二胡”。因此，三四五勾股定理9 + 16 = 25可以形象地记忆为“酒醉杨柳闻二胡”。

因为16 = 8 + 8 = 9 + 7，所以9 + 16 = 9 + 8 + 8 = 9 + 9 + 7 = 25。于是，我们可以将三四五勾股定理变化为<889>（呱呱叫）与<799>（气球球）。

另外，由于9 = 3 + 3 + 3，16 = 4 + 4 + 4 + 4，所以三四五勾股定理可以变化成<3334444>（三个3与四个4）。

我们来看一些应用。

例如，数字串944443中的所有数字之和为 25 + 3 = 28，这里用到勾股定理之<889>（呱呱叫）公式，可以将心算过程表示为：

<944443> → <988, 3> → 25 + 3 → 28

又如，数字串889889中的数字之和显然等于25 + 25 = 50，这里两次运用<889>（呱呱叫）公式，可以将心算过程表示为：

<889889> → <889, 889> → 25 + 25 → 50

再如，数字串799889799中的所有数字之和显然等于25 + 25 + 25 = 75，这里三次运用勾股定理，其中<889>（呱呱叫）公式运用了一次，<799>（气球球）公式运用了两次。该心算过程可以表示为：

<799889799> → <799, 889, 799> → 25 + 25 + 25 → 75

最后看一个稍微复杂一点的例子。求数字串89932417996789中的所有数字之和，心算过程如下：

<89932417996789> → <799, 1324, 1, 799, 6789>

 → <799, 1234, 799, 6789, 1> → 25 + 10 + 25 + 30 + 1 = 91

其中，除了用到<799>公式之外，还用到了<1234>公式与<6789>公式。

下面分析六八十勾股定理：6² + 8² = 10²，即36 + 64 = 100。也就是说六个6与八个8之和为100，我们可以得到公式<66666688888888> = 100，将其减半，得到三个6与四个8之和为50，即<6668888> = 50。

由于64 = 32 + 32，六八十勾股定理可以变化为36 + 32 + 32 = 100。这里是四个9加上四个8，再加上四个8。简言之，就是四个<889>（呱呱叫）。根据呱呱叫公式，<889> = 25。四个25的和当然等于100。因此，六八十勾股定理的一个变种是四次<889>（呱呱叫）。

根据气球球公式，<799> = 25。而四个25的和等于100，因此，四个<799>的和也是100，由此我们得到六八十勾股定理的又一个变种：四次<799>（气球球）。

我们来看六八十勾股定理的一些应用。

例如，数字串68686868686898中的所有数字之和为101，这是因为：

<68686868686898> → <686868, 686868, 98>

 → <686868, 686868, 88, 1> → 101

这里用到了六个6与八个8，也就是用到了六八十勾股定理。例如，数字串8888999988993中的所有数字之和为105，这是因为：

<8888999988993> → <8888, 9999, 8888, 113> → 105

这里用到了四个<898>，也就是四次<889>。

例如，数字串99997777999966中的所有数字之和为112，这是因为：

<99997777999966> → <9999, 7777, 9999, 66> → 112

这里用到了四次<799>公式。

本节要点就是掌握勾股定理及其变种。

你是否熟练地掌握了勾股定理呢？可以通过以下练习题来自查。注意，只能口算，不可以使用任何计算工具，要求又快又准。

练习题

口算下列数字串中的所有数字之和：

（1）8449；

（2）8984；

（3）899；

（4）9795；

（5）998997；

（6）889888；

（7）799889；

（8）8997998895；

（9）9979968893；

（10）888999888799；

（11）7998998898993422；

（12）8997996996789785。

练习题答案：（1）25；（2）29；（3）26；（4）30；（5）51；（6）49；（7）50；（8）81；（9）77；（10）100；（11）113；（12）125。你算对了吗？用时多少？

第8节　世纪之和

前面探讨了许许多多求和公式，那么如何综合运用它们呢？这里就有一个章法问题。本节讨论众多数字加法口算的整体框架问题，特别是看看如何求得总和100的整体构思。因为100年是一个世纪，所以我们将和为100的加法称为世纪之和。我们来研究如何综合运用前面讲的各种公式来获得世纪之和。

将<3322>公式（3 + 3 + 2 + 2 = 10）扩大10倍，我们立即得到30 + 30 + 20 + 20 = 100，这是一个世纪之和。由此看到，要得到世纪之和，可以在十位上运用以前介绍的幼学公式。在刚才的例子中，我们在十位上运用<3322>公式。同理，我们也可以在十位上运用其他幼学公式，比如<1234>公式、<1414>公式等。

选择在十位上运用幼学公式之后，接着只需按照公式的指引，在个位上依次运用相应的求和公式。假如选择在十位上运用<3322>公式，这就意味着我们将在个位上使用而立公式和弱冠公式各两次。例如，数字串67898886893787中的所有数字之和为102，这是因为：

<67898886893787> → <6789, 8886, 893, 785, 2>

 → 30 + 30 + 20 + 20 + 2 = 102

其中用到了<6789>公式、<8886>公式、<893>公式和<785>公式，整体运用了<3322>公式。因为<3322> = <334>，所以我们也可以考虑在整体上运用<334>公式，即在个位上运用两次而立公式与一次不惑公式。据此，刚才的例子也可以按以下过程进行心算：

<67898886893787> → <6789, 8886, 78889, 2>

 → 30 + 30 + 40 + 2 = 102

如果我们考虑在整体上运用<3331>公式，那么在局部上就要三次运用而立公式，一次运用幼学公式。据此，刚才的例子也可以按以下过程进行心算：

<67898886893787> → <6789, 8886, 8787, 91, 2>

 → 30 + 30 + 30 + 10 + 2 = 102

我们还可以在整体上运用勾股定理。因为 36 + 64 = 100，所以我们可以在整体上运用一次六八勾股定理。又因为25 + 25 + 25 + 25 = 100，所以我们也可以连续三次运用三四五勾股定理或五指五中公式，以获得四个25。例如，666888899888836中的所有数字之和为109，这是因为根据六个6与八个8公式可得：

<666888899888836> → <66699, 88888888, 36>

 → <666666, 88888888, 36> → 100 + 9 = 109

55555889799445667中的所有数字之和为107，这是因为：

<55555889799445667> → <55555, 889, 799, 44566, 7>

 → 25 + 25 + 25 + 25 + 7 = 107

其中用到了五指公式、呱呱叫公式和气球球公式。

世纪求和的核心思想是按照和为 100 进行整体构思，即使我们所求之和不足100，也能在100的框架之内知道所求之和大概处于什么位置。如果两次运用三四五勾股定理，我们就知道和为25 + 25 = 50，这是100的一半；如果三次运用三四五勾股定理，我们就知道和为25 + 25 + 25 = 75，离100还缺少25；如果两次运用而立公式，一次运用弱冠公式，我们就知道和为30 + 30 + 20 = 80，离100还差20……这里我们仅举一个例子来说明问题。88934567999中的所有数字之和为77，这是因为：

<88934567999> → <889, 34567, 889, 11> → 25 + 25 + 25 + 2 = 75 + 2 = 77

其中，我们两次运用三五四次勾股定理，一次运用五指五中公式，从而得到三个25，也就是75。

我们将世纪之和的整体设计方法总结为：

练习题

口算下列数字串中的所有数字之和：

（1）8997998895；

（2）9979968893；

（3）88888888666666788；

（4）86868686868689；

（5）9797979799995；

（6）9799799799796685；

（7）8989898988887；

（8）8988988988989746；

（9）9979979979982348；

（10）8888888866666699937；

（11）1237985676654566889855；

（12）9934889688997445336688944。

练习题答案：（1）81；（2）77；（3）123；（4）101；（5）105；（6）125； （7）107；（8）126；（9）118；（10）137；（11）129；（12）161。你算对了吗？用时多少？

第9节　对称法求和

第5节所介绍的五指公式针对的是长度为5的对称数字串求和。现在，我们考虑任意长度的对称数字串求和。对称总是给人以美感，而数字串的对称性使得求和方法变得十分美妙。

首先要善于识别对称数字串。我们可以将数字串中的数字按照从小到大的顺序进行排列，然后观察数字增大与减小的幅度是否对称。例如，数字串7345531可以重新排列为1334557。从左往右看，数字从1到3增大了2；对称地，从右往左看，数字从7到5减小了2。类似地，从3到3没有变化；对称地，从5到5也没有变化。从3到4增大了1；对称地，从5到4减小了1。综上所述，数字串1334557是一个对称数字串。相应地，该数字串的任意重新排列（比如 7345531）也叫作对称数字串。

上述数字串的长度为7，这是一个奇数。此时，该数字串的中位数恰好为正中间的那个数4，因此该数字串中所有数字的总和为4 × 7 = 28。接下来，我们在上述数字串中删除中位数4，得到133557。这仍然是一个对称数字串，但是此时数字串的长度为偶数。中间的两个数为3和5，也称为该数字串的中位数。这两个中位数3和5的平均数为4，这也是整个数字串的平均数。因此，数字串133557中的所有数字之和为4 × 6 = 24。综上所述，对称数字串中的所有数字之和等于中位数或者平均数乘以数字串的长度。这就是用对称法求和。

对于任意的非对称数字串，可以通过适当的变化得到与之最接近的对称数字串，从而运用对称法求和。例如，1334558不是对称数字串，但1334557是对称数字串，因此，我们可以利用后者来计算前者：

<1334558> → <13345571> → 4 × 7 + 1 → 29

即1334558中的所有数字之和为29。

下面看一个稍微复杂一点的例子。为了求数字串9478342656中的10个数字之和，可以先按从大到小的顺序读出5个数字98766，再按从小到大的顺序读出剩余的5个数字23445。我们很容易看出所给数字串不是对称数字串。为了得到一个与之最接近的对称数字串，我们可以将数字串23445改写为23455，而<23455>比<23445>大1。由于对称数字串9876655432的中位数为5和6，它们的平均数为 (5 + 6) ÷ 2 = 5.5，因此该数字串的和为5.5 × 10 = 55。因此，原数字串9478342656中的所有数字之和为55 − 1 = 54。

本节要点为用对称法求和，可分为以下两种情况：

你是否熟练地掌握了该方法呢？可以通过以下练习题来自查。注意，只能口算，不可以使用任何计算工具，要求又快又准。

练习题

口算下列数字串中的所有数字之和：

（1）6456768；

（2）13152433425；

（3）52344187；

（4）65563478；

（5）3434697692；

（6）6533456688；

（7）4956686777；

（8）2234455677；

（9）4488576；

（10）8533994884；

（11）6772323629；

（12）4873369659。

练习题答案：（1）42；（2）33；（3）34；（4）44；（5）53；（6）54；（7）65；（8）45；（9）42；（10）61；（11）47；（12）60。你算对了吗？用时多少？

第10节　众多数字的加减法速算

本节讨论众多数字的加减法混合运算的速算方法。其实，只要掌握了前面的各种速算方法，问题就会变得比较简单。

既然是混合运算，就既有加法也有减法。我们可以采用正负项分别求和的方法，即把要做加法的数字相加，从而得到一个和；把要做减法的数字也相加，又得到一个和；将上述两个和相减，就可以得到最终答案。例如，7 − 6 − 5 + 8 + 9 − 7 − 8 + 6 + 9 = (7 + 8 + 9 + 6 + 9) − (6 + 5 + 7 + 8) = 39 − 26 = 13。

以上是一种混合运算方法，下面还有一种化减为加的方法，也就是利用补数将减法全部转化成加法，以完成混合运算。例如，6与4互为补数，故6 + 4 = 10。因此，减去6就是减去10再加上4。可见，为了减去6，可以在十位上减去1，同时在个位上加上4。一般地，我们得到：

依照这个原理，可以将所有的减法都转化成加法。例如，上面的例子可以重新按以下方法进行计算：

7 − 6 − 5 + 8 + 9 − 7 − 8 + 6 + 9 = 7 + 4 + 5 + 8 + 9 + 3 + 2 + 6 + 9 − 40 = 53 − 40 = 13。

在加法占优（也就是减号比较少）的混合运算中，也可以在适当的时候直接计算各个减法算式。例如：

9 − 8 + 2 + 3 + 6 + 7 − 2 + 5 + 4 = 1 + 2 + 3 + 6 + 7 − 2 + 5 + 4

 = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 7 − 2 + 5 = 10 + 6 + 5 + 5 = 26。

最后，我们再举一个稍微复杂一点的例子。口算下列加减混合算式：6 − 9 − 2 + 8 − 3 + 8 + 9 − 1 − 4 + 3 − 8 + 3 + 7 + 5 + 8 − 3 + 8 + 8 − 5 + 4。我们采用正负项分别求和后再求差的方法，得到最终结果为42，计算过程如下：

本节要点可以归纳为加减混合算式的如下速算方法。

你是否熟练地掌握了这些方法呢？可以通过以下练习题来自查。注意，只能口算，不可以使用任何计算工具，要求又快又准。

练习题

口算下列加减法混合算式：

（1）9 − 3 − 2 + 9 + 9 − 1 + 3 − 4；

（2）6 − 7 + 9 + 1 + 2 + 8 − 3 + 7 + 5 + 3；

（3）5 − 6 − 6 + 3 + 9 + 1 + 2 + 9 + 5 + 7；

（4）7 + 9 − 8 + 6 + 8 − 7 + 3 + 4 + 8 − 5；

（5）6 + 2 − 3 + 6 + 8 − 2 + 3 − 4 − 1 + 3；

（6）3 − 4 − 4 − 1 + 9 + 6 − 2 + 3 + 3 + 8；

（7）9 + 5 − 6 + 9 + 1 + 2 + 9 − 8 + 3 + 5 − 7 + 2 + 6 + 6 − 9；

（8）2 + 3 + 4 − 8 + 9 + 1 − 7 + 2 + 9 − 8 + 3 + 2 + 6 + 5 − 8；

（9）6 + 7 − 9 + 3 + 3 + 5 + 8 − 7 + 8 + 8 − 6 + 4 − 2 − 2 + 8 − 6 + 8 + 7 − 5 − 4；

（10）4 + 2 − 8 − 3 + 9 + 7 − 9 + 3 + 9 + 5 + 9 − 3 + 8 + 8 − 6 + 5 + 7 − 2 + 8 − 3；

（11）9 + 8 − 7 + 9 + 4 + 5 − 6 + 4 + 2 + 3 − 1 + 8 − 7 + 6 − 6 + 4 + 4 + 7 + 8 − 7 + 7；

（12）2 + 3 − 2 − 3 − 5 − 6 + 7 + 8 + 5 + 5 + 8 + 8 − 9 + 9 − 8 − 7 + 6 + 6 − 5 − 8 + 3 + 1。

练习题答案：（1）20；（2）31；（3）29；（4）25；（5）18；（6）21；（7）27；（8）15；（9）34；（10）50；（11）54；（12）18。你算对了吗？用时多少？

第11节　多位数加减混合速算综合演练

当我们学会了众多一位数的加减法混合速算的时候，多位数的加减法混合速算就变得十分容易，因为只要逐位进行一位数的加减法运算就可以了。

先看一个简单的例子。为了计算286 + 167 + 568 + 459 − 182，我们可以依次在各个数位上进行加减法混合运算。在个位上，6 + 7 + 8 + 9 − 2 = 30 − 2 = 28。此时得到最终结果的个位数是8，并临时进位2到十位，这是十位上计算的起点。在十位上，2 + 8 + 6 + 6 + 5 − 8 = 20 − 1 = 19。此时得到最终结果的十位数是9，并进位1到百位，这是百位上计算的起点。在百位上，1 + 2 + 1 + 5 + 4 − 1 = 2 + 1 + 5 + 4 = 12。此时得到最终结果的百位数是2，进位1到千位上。由于千位上没有其他数字，故千位上的最终结果就是1。综上所述，我们得到286 + 167 + 568 + 459 − 182 = 1298。可以将刚才的心算过程写成如下竖式：

注意，由于是心算，计算过程中出现的进位（即虚实两条线之间的数字1和2）实际上是不需要写出来的。

我们来口算本章开头提到的中日速算对决中的那道15个三位数加减的混合算式752 + 149 + 385 + 751 − 492 + 936 + 358 + 861 − 573 + 729 + 148 + 782 + 514 + 167 + 623。首先，个位数字串是2951( − 2)681( − 3)982473。读前5个数字，由于2 − 2 = 0，我们有<2951( − 2)>→ <951> → <96>。接着往下读数，得到<96681> → <9687>，对此运用<6789>公式，刚好得到30。后面还剩下数字串( − 3)982473，其中 − 3与3刚好相互抵消，因此<( − 3)982473> → <98247> → <9867>。再次运用<6789>公式，又得到一个30。因此，个位数字的总和等于30 + 30 = 60。故个位上的数字是0，进位6到十位，后者是十位上计算的起点。

十位数字串（包括计算个位时的进位）现在是65485( − 9)356( − 7)248162。读前6个数65485( − 9)，由于5 + 4 − 9 = 0，我们得到<65485( − 9)> → <685>。继续往下读数并计算，得到<685356( − 7)> → <6885( − 1)> → <6884>。再继续读数，得到<6884248> → <6888424> → <8886424>。根据<8886>公式，<8886>等于30，记住30。继续读数并计算，得到<424162> → <4672> → 19。加上前面的30，得到十位数字的总和为49。可见，最终结果的十位上的数字等于9，同时进位4到百位上，这是百位上计算的起点。百位数字串（包括计算十位时的进位）为47137( − 4)938( − 5) 717516。读前5个数字，由于4 − 4 = 0，我们得到<47137( − 4)> → <7137> → <837>。接着往下读数并计算，得到<837938( − 5)> → <87963>。根据<6789>公式，<6798> = 30。从3开始继续读数并计算，可得<3717516> → <378516> → <678135> → <6789> → 30，其中用到了<6789>公式。因此，百位上的数字的总和为30 + 30 = 60。故最终结果的百位数等于0，千位数等于6。综上所述，我们得到最终答案是6090。可以将刚才的心算过程写成如下竖式，其中实线与虚线之间的数字表示临时进位，最后一行是最终结果。

我们将多位数加减混合运算的心算过程总结为：

你是否熟练地掌握了上述方法呢？可以通过以下练习题来自查。注意，只能口算，不可以使用任何计算工具，要求又快又准。

练习题

一、口算下列多位数加减法混合算式：

（1）679 + 687 − 854；

（2）536 + 678 + 239 − 345 + 788；

（3）469 − 266 + 432 + 889 − 415；

（4）869 + 869 − 799 + 793 − 465 + 678；

（5）569 + 964 + 234 + 878 + 889 − 238 − 652；

（6）693 + 978 + 778 + 887 + 779 − 297 + 778 − 886 + 988 + 678；

（7）235 + 419 − 345 + 746 + 836 + 987 + 749 + 864 − 283 + 972 + 672 + 483；

（8）861 + 782 − 974 + 743 − 846 + 716 + 938 − 747 + 827 + 757 − 629 − 246；

（9）1234 + 3888 + 4888 + 6888 + 6789 + 7654 + 2365 + 4578；

（10）6278 − 3217 + 3978 + 4583 + 6893 − 4745 + 6788 + 7654 − 4531 + 9876；

（11）623 + 567 − 728 + 387 + 259 − 263 + 674 + 356 − 278 + 857 + 324 + 638 − 543 +  625 − 356 + 834；

（12）123 + 456 − 789 + 987 + 654 − 321 + 344 + 783 − 322 + 357 + 222 + 468 − 793 +  818 + 321 − 379 + 764 + 433 + 278 − 289。

二、口算下列加法算式：

712 + 945 + 187 + 423 + 359 + 837 + 985 + 374 + 581 + 623 + 259 + 612 + 743 + 271 +  754，此为《最强大脑》第4季中日速算对决抢答题的第7题。

练习题答案：一、（1）512；（2）1896；（3）1109；（4）1945；（5）2644； （6）5376；（7）6335；（8）2182；（9）38284；（10）33557；（11）3976；（12）4115。二、8665。你算对了吗？每道题用时多少？