书名：数学史这样教
ISBN：978-7-115-65245-4
本书由人民邮电出版社发行数字版。版权所有，侵权必究。
您购买的人民邮电出版社电子书仅供您个人使用，未经授权，不得以任何方式复制和传播本书内容。
我们愿意相信读者具有这样的良知和觉悟，与我们共同保护知识产权。
如果购买者有侵权行为，我们可能对该用户实施包括但不限于关闭该帐号等维权措施，并可能追究法律责任。
著 吴建成
责任编辑 谢晓芳
人民邮电出版社出版发行 北京市丰台区成寿寺路11号
邮编 100164 电子邮件 315@ptpress.com.cn
网址 http://www.ptpress.com.cn
读者服务热线：(010)81055410
反盗版热线：(010)81055315
数学史见证了人类从对数量和形状的懵懂认知，到构建起精妙绝伦的数学理论体系的历程。将数学史融入数学教学，是为了赋予数学以生命和灵魂，让学生明白，数学并非枯燥的数字和字母等的堆砌，而是解决实际问题的有力工具。那么，全球数学史教学的情况如何？作为教师，我们应该如何将数学史有效地融入日常的教学中？
本书从理论和实践两方面入手，深入剖析数学史在小学数学教学中的实际应用；分析人教版、北师大版和苏教版三个版本小学数学教材中数学史的编排，揭示数学史在不同教材中的呈现方式；同时，为教师提供了发挥数学史价值的教学路径；最后，通过丰富的案例和实践经验，为教师的数学史教学提供了有效的参考和指导。
读完本书，读者不仅能领略到数学史的博大精深，感受到数学与人类文明的紧密联系，更能获得丰富的教学启发。
《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课标》）强调：“数学不仅是运算和推理的工具，还是表达和交流的语言。数学承载着思想和文化，是人类文明的重要组成部分。”《课标》的“课程实施”部分提到应将数学史融入教学中。这样可以提升学生学习数学的兴趣，让学生欣赏数学文化之美、体会数学家治学严谨的态度。可见，在小学数学课堂中融入数学史教学是《课标》的要求之一。教师引导学生对数学史进行追溯和思考这一做法，不仅能帮助学生更好地理解数学的发展脉络，培养学生的批判性思维和跨学科综合能力，还能带给教师不一样的教学体验。因此，探究如何将数学史的相关材料自然、有效地融入小学数学教学过程，是值得重视的课题。
没有经历“火热的思考”过程，数学就成了“冰冷的美丽”。因此，教师在进行教学设计时，应考虑带领学生经历数学家发明或发现数学知识的过程，重走数学知识的形成之路，经历探索、归纳、概括、交流和内化，并顺应学生的好奇心，让其在学习过程中感受数学知识产生的过程，激发学生的学习兴趣，调动学生主动学习、自主建构数学知识的积极性。正如美国学者比德韦尔所言：“在教学中融入数学史，可以将学生从数学的孤岛上挽救出来，并将他们安置于一个生机勃勃的新大陆上，这个新大陆包含了开放的、生动活泼的、充满人情味的并且总是饶有趣味的数学。”
或许你会好奇，数学史究竟如何与小学数学教学联系起来？又或者你会思考，教师通过了解和应用数学史，能为学生带来什么？吴建成老师及其团队对“数学史是否能够真正有效融入小学数学教学”展开了系统的理论和实践研究，并结合自己的教学实践和感悟给出了回答。某种意义上说，《数学史这样教》就是他们的答案。
相关学者对数学史的研究，主要有三种价值取向：为历史而数学史、为数学而数学史、为教育而数学史。但一直以来，“为教育而数学史”的研究相对滞后。究其原因，有这样几点：一是“依考定教”的现象妨碍了数学史在教学中的应用；二是教师对数学史和数学史的教育价值缺乏深层次的理解，在如何发挥数学史的教育价值以提高教学实效方面经验不足；三是缺乏结合数学史的小学数学教学经典案例……认识上的模糊肤浅必然导致行动上的参差不齐。因而，“数学史如何教？”的问题成为小学数学教学改革的一块短板，一块教师感到“难啃”的“硬骨头”。本书所关注的正是数学史的教育形态，是一门需要对数学史进行加工、雕琢和再创造的艺术，兼具学术和教育的价值。
本书的独特之处在于它不仅论道，更起而行之。基于数学史在小学数学教材和教学中的现实境遇，本书探索了数学史的教育价值和融入方式，提供了一种新颖的教学思路和方法，丰富了小学数学教学的内涵，也拓宽了其广度。本书介绍的研究成果具有一定的理论价值和实践意义，主要体现在以下几个方面。
第一，本书从三个视角，包括“我们”眼中的数学史——数学史在小学数学教学中的现实情况，“他人”眼中的数学史——国内外数学史研究的基本情况，理想者眼中的数学史——数学史融入小学数学教学的构想，深入剖析了数学史在小学数学教学中的实际应用。
第二，本书选择人教版、北师大版和苏教版三个版本的小学数学教材，揭示了数学史在三个版本教材中的分布情况、内容设计和渗透方式等，以更好地帮助教师读懂教材，更好地进行教材的对比、加工、重组，实现教材内容选择的最优化，在一定程度上帮助教师有效地进行数学史教学。
第三，本书提出了发挥数学史价值的基本原则，为教师指明了一条深入进行小学数学教学的路径，并据此，透过一个个具体的教学案例进行阐述。每一个教学案例都是对数学史教学理念的生动诠释，呈现了一幅生动而立体的教学画面。
第四，本书以贴近课堂现实的方式，通过教学案例，展示了数学史在小学数学教学中的应用：从“数与代数”“图形与几何”“概率与统计”“综合与实践”四个领域分别选取了一个教学案例，为教师提供有关数学史的素材和融入数学史的教学设计；结合课程改革需求，选择“圆”这一主题，探讨了融入数学史的单元整体化主题教学设计，能在一定程度上帮助教师创造性地进行小学数学史教学资源的开发和利用。
总之，本书介绍的研究成果为教师在小学数学教学中运用数学史提供了素材、案例和理论指导，从而提升了数学史的实践价值，加强了数学史和小学数学教学之间的联系，促进了数学史与数学文化在数学教育界的传播。读完本书，我既领略到了数学史的博大精深，又感受到了数学史带给人们的思维启迪和文化提升。
教育工作永无止境。数学史与数学教学关系的研究在现代中国还是一块尚未被充分开发的沃土。为了更有效地将数学史融入学生的数学学习、教师的数学教学，数学教育工作者需要齐心合作，不断开拓，不断创造。吴建成老师及其团队知难而进，大胆探索，编写了《数学史这样教》。本书紧扣《课标》培养学生核心素养的要求，结合学生数学学习的需求，提高学生学习数学的兴趣；同时结合教师教学需要，为其提供了丰富的教学案例，有很强的实用性。在此，我由衷感谢吴建成老师及其团队对小学数学教学工作的深入探索和巨大付出。他们的工作不仅丰富了小学数学教学资源，也为我们揭示了小学数学教学的新境界。相信一定会有更多的数学教育工作者能够从本书中获得启发。
张春莉
北京师范大学教育学部课程与教学研究院院长、教授、博士生导师
2024年6月于北京师范大学
当这部凝聚着你心血与智慧的数学史教学作品呈现在我眼前时，我内心满溢着欣慰与期待。作为你的师父，我一路见证着你在数学史教学领域不懈探索的历程，深知这背后所蕴含的无尽艰辛与坚守。
数学，这一既古老又充满活力的学科，恰似一座蕴藏着无尽智慧的宝库。其历史，宛如一幅波澜壮阔的人类不断挑战未知、执着追求真理的宏伟篇章。从远古文明中人类最初对数字的懵懂摸索，到现代科技里人类对数学模型精妙绝伦的运用，数学始终如一地伴随着人类文明演进的每一步，并发挥着关键作用。
在这部作品中，你以令人赞叹的深度和广度挖掘了数学史教学的宝贵价值。你对数学史教学中涉及的各个历史时期数学发展的关键节点把握得精准无误，对那些重要数学理论的演变剖析得入木三分。你清晰且有条理地梳理了小学数学教材中的数学史料，并巧妙地将其与教学紧密融合，展现出了非凡的洞察力和深厚的学术造诣。你的研究成果不仅极大地丰富了教师对于数学史的认知，更为关键的是，为教师开辟了崭新的视野，提供了教学参考。
正如《礼记·学记》中所阐述的：“独学而无友，则孤陋而寡闻。”在数学史教学这个广袤无垠的世界里，交流与分享无疑是推动数学史教学持续发展和广泛应用的强大动力。
你能够全身心地投入数学史教学的研究中，这种无畏的探索精神和坚定的决心实在值得高度赞扬，作为师父的我也深感欣慰。在漫长的研究与创作过程中，想必你遭遇了许多困难与挑战，但你凭借着内心对数学的炽热喜爱和扎实的专业功底，一路披荆斩棘，坚韧不拔地走到了今日。
展望未来，我满怀信心地相信，你在数学史教学与研究的漫漫征途中必将行稳致远。或许在不远的将来，你能够凭借独特且富有魅力的方式，让众多教师深切感受到数学史教学的迷人魅力，进而培育出一代又一代优秀的教学人才；又或许你能将数学史教学的研究提升到前所未有的高度，为解决纷繁复杂的实际问题贡献出极具创新性的方法和思路。不管前方等待着你的道路是怎样的曲折与未知，我始终坚信，你定能凭借着坚定不移的信念和持之以恒的努力奋勇开拓。
衷心希望这部作品能够成为一个为更多人敞开的窗口，让他们得以窥探数学史教学的奇妙世界，从而激发起他们内心对数学史教学的浓厚兴趣和无限的创新思维。同时，也期望你能以此为全新的起点，继续在数学史教学的辽阔天地里辛勤耕耘，永不停歇地探索未知的领域，为数学史教学的蓬勃发展与广泛应用源源不断地贡献出更多的智慧和强大的力量。
作为你的师父，我将始终如一地关注你的每一步成长与进步，满心期待着你在未来创造出更加璀璨夺目的辉煌成就！
王彦伟
北京市东城区教育科学研究院小学研修部主任、特级教师
2024年2月
数学，这一古老而深邃的学科，宛如一座巍峨的智慧大厦，其基石深埋于人类文明的土壤，其架构承载着无数智者的思考与探索。《论语》中有言：“学而不思则罔，思而不学则殆。”在学习与探索数学的过程中，思考的价值至关重要。在数学发展的历史长河中，最终沉淀下来的成果正是前人经过缜密思考和检验后获得的，它们可以为后人的进一步思考与学习提供帮助。
数学发展的历史，即数学史，不仅仅是一系列事件和人物的罗列，更是一部充满激情与智慧的传奇。它见证了人类从对数量和形状的懵懂认知，到构建起精妙绝伦的数学理论体系的伟大历程。我国古代数学家刘徽曾说：“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”这体现了古人在数学研究中的执着与深入。
回溯数学发展的长河，我们便能清晰地看到，每一个重要的数学概念、定理和方法都并非凭空出现，而是在特定的历史背景下，由无数数学家辛勤耕耘所孕育。
将数学史融入数学教学，是为了赋予数学以生命和灵魂。教师要让学生明白，数学并非枯燥的数字和字母等的堆砌，而是人类智慧的结晶，是解决实际问题的有力工具，更是推动社会进步的重要力量。正如古希腊哲学家柏拉图所说：“数学是一切知识中的最高形式。”通过了解数学史，学生能够置身于那些伟大数学家的思考之中，感受他们所面临的挑战，体会他们的坚持与突破。
建成校长作为优秀青年教师的代表无疑是值得赞扬的。他以无畏的勇气和坚定的决心投身于这部数学史融入小学数学教学作品的创作，这是一项值得称赞的壮举。数学的世界广袤无垠，他勇敢地踏上了探索其历史脉络的征程，这需要极大的热情和毅力。这部作品旨在梳理数学史在小学数学教学中应用的途径和策略，探寻其演进的轨迹。它将带领读者穿越时空，与那些伟大的数学家相遇，聆听他们的思考，感受他们的激情，领悟他们的智慧。而年轻的建成校长则是这奇妙旅程的引路人。
当前市面上也有一些相关的作品，但更多的是教育工作者从宏观角度的阐述，且偏重理论，缺乏出自教学一线的实践经验和紧密结合实际的生动教学案例。而本书的独特之处在于，它不仅深入挖掘了数学史的丰富内涵，而且将重点聚焦于如何切实有效地将数学史融入日常教学之中。
本书精心挑选了众多具有代表性的数学史教学案例，并详细阐述了如何巧妙地将其转化为生动有趣、易于理解的教学素材；同时还提供了一系列切实可行的教学方法和策略，帮助教师在课堂上引导学生通过数学史来领悟数学的本质，培养数学思维和创新能力。
在当今的教育环境中，我们应当积极倡导数学史与数学教学的有机融合。教师应当深入研究数学史，精心设计教学方案，以生动有趣的方式将数学史呈现给学生。正如荀子所云：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海。”让我们共同努力，使数学教学不再是单纯的知识传授，而是一场跨越时空的智慧之旅，让学生在数学史的光辉照耀下，更加热爱数学，更加善于思考，为未来的发展奠定坚实的数学基础。
亲爱的教育同人，请坚持对数学本源的探索，莫为困难所阻；也愿建成校长在数学的星辰大海中不断前行，以敏锐的洞察力和深刻的理解力，为读者展现数学更为丰富和绚烂的画卷。相信你的努力将为更多人开启数学之门，让他们领略这门学科的魅力与力量。
我想，建成校长编写这部作品是希望让更多的人了解数学史教学的魅力与价值，感受数学的力量与美感。让我们一同走进以数学史为主线的数学教学天地，领略数学这门学科的博大精深，汲取其中的智慧与灵感，为未来的数学教学研究和应用注入新的活力。
华应龙
北京第二实验小学副校长、特级教师
2024年7月
儿时，我就很喜欢读历史题材的书。说来惭愧，这倒不是因为自己有多么沉静爱学，而是出于功利目的：一方面我可以在回顾过去故事的过程中品味岁月的沧桑或激昂，另一方面则是可以在和别人聊天的时候更有底气地“吹牛”。而且一般来说，人们对擅长“谈古论今”的人通常有“博学多才”的评价和判断。
现在，年至不惑，我对历史的兴趣依然没有减退。当然，现在我再读历史书已少了年少时的肤浅理解和功利目的，更多的是希望通过历史去看清事物的本质，而后为自己的生活、工作、处事，乃至人生定位。随着对本职工作的执着追求，慢慢地我发现，缩小历史研究范畴后的部分，即数学史，对于我所从事的小学数学教学也是意义重大的。
那么，数学史的教学意义和价值体现在哪里呢？我想，对这个问题的深层次解答需要循序渐进，在这里我们先来“庖丁解牛”，看一看历史究竟是什么。
什么是历史呢？其实，这个看似简单的问题自古以来就困惑着每一位历史研究者，始终没有定论。有人认为，《春秋》《史记》《汉书》等史学巨著就是历史，而且持有这种观点的人并不在少数，当然他们大部分和我一样只是历史的爱好者，而非历史的研究者。从我个人的肤浅认识来看，我以为这些史学巨著不过是关于一些被选定的历史事件的记录，其并不是历史的全部。当然，也有一些人认为，历史就是过去的事情。从纯粹的时间角度看，这个观点是可以成立的。但是这样的历史又好像是毫无价值和意义的流水账，与自然社会相比，并不能凸显人类文明发展的历程和特征。
在《说文解字》中这样解释“史”：“史，记事者也。”可见“史”一开始指的是某一官职，也就是现在古装电视剧里常出现的史官。追本溯源，“历史”一词由来已久。较早解释历史含义的有南朝宋史学家裴松之。《三国志·吴志·吴主传》当中记载：“纳鲁肃于凡品，是其聪也……屈身于陛下，是其略也。”对此，裴松之注引《吴书》：“（吴王）志存经略，虽有余闲，博览书传历史，藉采奇异，不效诸生寻章摘句而已。”由此可见，裴松之所说的历史就是指对过去事实的记载，亦指已过去的事实。从前许多人为历史下定义，都是为历史的记录下定义，不是为历史本身下定义。这种定义只能告诉我们什么构成了历史的记录，而不能告诉我们历史究竟是什么。我们应该在此类记录之外，另找真实的历史。由此可见，历史具有“真实、描述和诠释”三种特性。作为历史沧海中的一粟——数学史，也同样如此。“真实的发生”“描述的形式”“诠释的本质”为数学史的应用提供了依据，指明了方向。
现在看来，历史本身是个宏伟的体系，包含着过去的人文、教育、艺术等。同时，历史也是一门人文学科，它的科学性受到了学者的极大重视，其观点大致有三。第一，新文化运动时期的马克思主义史学家在唯物史观的理论指导下，认为历史学通过对包括人类文明发展中的经济因素等方面的深入研究能够发现人类文明发展的客观规律；第二，还有一部分学者认为历史学完全不同于自然科学；第三，有些学者强调历史学的相对性，将历史学的科学因素和历史学自身的特殊性相结合。正如克罗齐所说：“一切真历史都是当代史。”历史工作者在描述一个客观存在的事实时所用到的语言、文字都不可避免地带有主观色彩，他们通过用词的选择已经对历史进行了建构，历史本身难以保持绝对客观，所以从严格意义上来说，历史学不是科学。
唐太宗说：“以铜为鉴，可正衣冠；以古为鉴，可知兴替；以人为鉴，可明得失。”对此我个人认为，历史是严肃和活泼的共同体。不同于虚幻怪诞的小说，历史是真实人物组成的长篇巨著，里面的点点滴滴都是真实人物的真实经历，这是其严肃性的体现；在历史发展中，很多流传下来的故事或人物虽禁不起严格的考证，但其经过千百年的传承，已形成了另一种历史资源，这其实也就是其活泼性的体现。这两种看似矛盾的特征的结合成就了历史本身的魅力。
现实和历史有着不可分割的联系，正如马克思、恩格斯指出的：“历史不外是各个世代的依次交替。每一代都利用以前各代遗留下来的材料、资金和生产力；由于这个缘故，每一代一方面在完全改变了的环境下继续从事所继承的活动，另一方面又通过完全改变了的活动来变更旧的环境。”这段话简单说来就是，后辈既不可能抛弃先辈留下来的遗产而在空无一物的前提下开始生活和创造，先辈也不可能不给后辈留下一定的遗产作为“启动基金”以供后辈生存和发展。
那么数学史呢？我想，仅仅从科学的发展过程这一个角度来看待数学史很显然是不够的。漫长的数学发展过程中流传下来的人、物、事都是我们重要的应用素材，甚至典型的“错误”和“失败”也未尝不是可以被我们加以利用的宝贵资源。作为当代人，我们可以看看前人的研究过程，用自己的发现印证前人的观点，古今结合，对比应用。将自己的学习过程与数学发展的历史本身相结合，其价值又何止“功在当代”，那可是“利在千秋”的伟大举措!
人的心智会随着经历的丰富和年龄的增长而愈加成熟，而历史恰好可以让我们体验前人的人生，让我们看到未来可能面临的很多问题。历史让我们能看到未曾看到的，体会不曾体会的，触及不能触及的。熟知历史的人更容易在掩卷时感慨，且思维更臻于成熟，对人心更加洞悉，对欲望认识更全面，从而在为人处世上更加从容。这类人或许也会因为历史知识的丰富而使品性有所改变，也更容易被历史影响到自己的生活。他们可以从历史中汲取智慧，从历史中吸取教训，从历史中获得新生。
对于我所从事了20多年的小学数学教学而言，历史的价值依然可以体现在其中：先贤的故事可以作为教学情境加以利用，圣人的格言可以作为智慧凝练后的感悟而让学生产生共鸣，前人的经验可以作为拓展资料让学生与自己的所学进行对比参考，诗词中的名句可以作为烘托气氛的调味剂而使课堂增色……这些都是数学史能够给我们这些教育工作者带来的方便和财富。
就这样，感慨和思考之后我写下了这部拙作。鉴于自身水平有限，惶恐之余，我真心地希望能够通过自己多年的教学经验和感受表达好自己的一点想法，也真诚地希望能够通过这些分享带给身处教学一线的同人些许灵感和思考，若真如此，我愿足矣！真诚地欢迎大家批评指正。
吴建成
2024年3月30日深夜
数学学科本身是基于数数、计算、测量等人们在生活中的实际需求而衍生并逐步发展起来的。其发生、发展的自然过程成了数学学科本身的历史，即数学史。数学史以其客观性，深刻地揭示了数学知识的起源、应用与发展。它不仅引领学生深入体验数学知识的形成过程，更促进了他们对数学思维的真正理解。数学史在培养学生形成数据分析观念等数学素养方面，发挥着不可或缺的重要作用。与此同时，它也在助力学生不断深化数学认知的过程中，潜移默化地提升了学生的数学文化修养。
真正的数学教学是灵动的，它不仅要求教师深化学生对数学知识的理解和数学技能的掌握，还要培养学生的数学思维能力。此外，教师还应努力提升学生运用数学知识解决实际生活问题的能力。概括起来讲就是，教师要注重增强学生的数学核心素养。然而“理想是丰满的，现实却是骨感的”。现实中，数学被作为客观知识的典范，是客观知识世界最具有广泛性的“通用货币”。它的跨文化流通特性，使其赢得了客观知识领域的桂冠，进而导致在数学教学中存在把数学作为人生工具的教学理念。数学的教学目标被进一步窄化为掌握某项数学知识，甚至被简化为会解决某个数学问题的技能，而忽略了数学自身的发展历程带给人们的文化体验与经验传承。所以学生不能深刻解读数学知识的本质与内涵，不能创造性地还原数学家的数学发明、发现过程，无法在生动的数学文化体验中传承数学、感悟数学史的价值，进而体会数学思想与方法的内在魅力。
历史本身对于后人的价值是巨大的，不仅仅在教育领域，可以说“以史为鉴”是人类文明进步和发展的关键之一。前人无论是成功还是失败的经验都是后人宝贵的财富，这一点也是经过历史本身证明的。公元227年，蜀汉丞相诸葛亮在决定北上伐魏、夺取长安（今汉长安城遗址）之前给后主刘禅上书，写下了流传千古的《出师表》，其中原文这样写道：
亲贤臣，远小人，此先汉所以兴隆也；亲小人，远贤臣，此后汉所以倾颓也。先帝在时，每与臣论此事，未尝不叹息痛恨于桓、灵也。侍中、尚书、长史、参军，此悉贞良死节之臣，愿陛下亲之信之，则汉室之隆，可计日而待也。
其大意为：亲近贤臣，疏远小人，这是西汉兴盛的原因；亲近小人，疏远贤臣，这是东汉衰败的原因。先帝在世时，每次与臣谈论这件事，未尝不叹息与痛恨东汉桓帝刘志和灵帝刘宏在位时，宠信宦官，政治腐败。侍中、尚书、长史、参军，这些都是忠贞贤明、能够为保全节操而死（指以死报国）的大臣，希望陛下亲近、信任他们，那么汉朝的复兴就会指日可待了。
虽然伐魏的这段历史距我们有1000多年的时间，但我们依然可以从诸葛亮的《出师表》中感受到其恳切的言辞和审时度势的政治高度，也体会到了他“北定中原”的坚定意志和对蜀汉忠贞不贰的品格。其中“先汉所以兴隆”和“后汉所以倾颓”的鲜明例证正体现了“以史为鉴”的价值与作用。对此，南宋大诗人陆游有感而评价道：“出师一表真名世，千载谁堪伯仲间。”
回到数学学科和数学教学本身，历史的价值依然明显。在当代的数学教学中，人们已经开始高度关注数学史和数学文化教学的结合。二者相辅相成，融为一个整体。史宁中教授曾明确指出，在小学数学中数学史是数学文化的重要表现形式。文化传承是教师的任务之一，数学史则是重要的教学素材，将二者结合是当代数学教师的追求。文化教学是一种超越式的、水平较高的教学，而数学史则为数学教师的文化价值追求提供了重要的途径和补充。因此，教师在数学知识的传授过程中，应努力引导学生了解数学知识的发现、探究和形成过程。
例如，在人教版小学数学教材六年级上册“圆”这一单元中，圆周率是整个单元的教学重点之一。其原因在于，对圆周率的认识是测量圆的各部分的先决条件。于是，在设计该教学内容时，我们团队的教师便查阅了关于圆周率研究历程的大量资料，在进行分类整理后，形成了相关的数学史内容，并努力将其融入小学数学教学当中。圆周率及其研究历程具体内容如下。
圆周率（Pi）是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示，是一个在数学及物理学中普遍存在的常数，是精确计算圆的周长、圆的面积、球的体积等几何问题的关键值。人类对圆周率的研究大致经历了四个时期。
第一个时期：实验时期，即通过测量等动手操作方式研究圆周率的时期。
公元前1650年左右，古埃及的莱因德纸草书中记载圆周率等于4/3的4次方，约等于3.1605。这是一个经验值。
第二个时期：几何时期，即通过几何图形研究圆周率的时期。
阿基米德从单位圆出发，先用内接正六边形求出圆周率的下界为3，再用外切正六边形并借助勾股定理求出圆周率的上界小于4。接着，他对内接正六边形和外切正六边形的边数分别加倍，将它们分别变成内接正十二边形和外切正十二边形，再借助勾股定理修正圆周率的下界和上界，后续逐步对内接正多边形和外切正多边形的边数加倍，直到内接正九十六边形和外切正九十六边形为止。最后，他求出圆周率的下界和上界分别为223/71与22/7。根据该下、上界，取两位小数，可得圆周率为3.14。
第三个时期：分析时期，即利用无穷级数或无穷连乘积研究圆周率的时期。
1948年，英国的弗格森和美国的小伦奇共同发表了圆周率的808位小数值。
第四个时期：计算机时期，即利用计算机研究圆周率的时期。
1949年，世界上第一台通用计算机ENIAC（Electronic Numerical Integrator And Computer）计算出了圆周率的2037位小数值。
…………
基于对以上数学史资料的分析和整理，我们团队便设计了一个教学流程：引导学生以不同的方式经历圆周率研究的全过程，即“实验时期”“几何时期”“分析时期”和“计算机时期”。
首先，教师通过提出一个了解圆的周长的实际需求来激发学生思考：“在古代，人们为了测量圆坛、车轮的周长，以及制定历法，需要掌握圆的周长的计算方法，那么，圆的周长与圆的什么有关系呢？”
随后，在确定“圆的直径决定圆的大小”这一结论后，教师进一步引导学生聚焦“圆的周长是圆的直径的多少倍？”这一关键性问题。
接着，教师让学生通过亲自动手实践的方式独立进行研究。受学生年龄所限，实践研究中我们通常采用滚动测量圆的周长和绕绳确定圆的周长等方法。这也就是圆周率研究历程中的“实验时期”的体验。
学生获取数据后，再通过计算圆的周长与直径的倍数关系，可逐渐确定圆周率的数值范围和数值特点。在此环节中，教师可引导学生分析圆的周长与其外切正多边形周长和内接正多边形周长的关系，进一步明确圆周率的数值范围，同时强化学生计算圆的周长的意识。这也就是圆周率研究历程中的“几何时期”的体验。在通过一步步分析，使圆周率逐渐精确的过程中，教师应让学生明白学习圆周率的目的是什么，体会到数学知识的实用性。
最后，教师以拓展赏析的形式介绍圆周率的研究历史，并与学生的研究历程相对照，引导学生得窥圆周率研究的全过程。在这一过程中，考虑到学生已有的知识储备和年龄段，教师应以让学生间接学习的方式，引导学生了解圆周率研究历程中的“分析时期”和“计算机时期”的相关内容，激发学生的学习成就感和研究欲望。
由上面的教学流程可以看到，将数学史引入教学实践过程具有非常广阔的前景和极其重要的意义。那么，在实际的教学中数学史的应用现状又是什么样的呢？现今国内外数学史的研究进展如何呢？数学史的引入对小学数学教学的帮助有哪些呢？怎样才算发挥出了数学史的真正教育价值呢？……对于这些问题，教师都是非常关注的。
现在，40岁左右的小学数学教师通常是学校的骨干力量，他们在参加工作前基本上是以中等师范学校的中专学历为原始学历；而30岁左右的小学数学教师虽然原始学历更高，但其原始学历的数学背景则较难保证。受学习经验和学习内容的影响，后者（指30岁左右的小学数学教师）对数学史的认识是有限的，但当今数学教学的发展使教师意识到了数学史在小学数学教学中的重要性，这种矛盾就造成了数学史教学成为数学教学的“华丽的外衣”。数学史能否真正有效融入小学数学教学中就成了亟待研究的问题。为了更好地利用科学数据说明问题，我们团队的教师对北京市朝阳区的60名小学数学教师进行了问卷调查。
问卷调查主要分为四个方面：第一个方面是教师对数学史融入小学数学教材的认识情况，第二个方面是教师对数学史教育价值的认识情况，第三个方面是教师的数学史素养情况，第四个方面是教师将数学史融入教学的情况。
依据问卷调查设计的初衷，我们对收集到的调查数据进行了全面的分析，具体如下。
调查数据显示：有90%的教师认为将数学史融入小学数学教材很有必要；70%的教师认为数学史对学生的数学学习很有帮助；约58.3%的教师认为小学数学教材中“你知道吗？”这一板块设计的数学史内容非常合理，20%的教师则认为比较合理，约21.7%的教师认为不太合理。
可见，教师普遍认可将数学史融入小学数学教材的必要性，并且大部分教师也认可其在促进学生数学学习中的作用。但是，我们从中也不难发现，一小部分教师对小学数学教材中数学史的编排情况不甚满意或者了解不够深入，这些教师有待加强对小学数学教材中数学史内容设计的深入认识和理解。
调查数据显示，教师对数学史的教育价值予以了比较充分的肯定。尤其在数学史可以提升学生学习数学的兴趣方面，约88.3%的教师表示完全赞同。另外，75%的教师对数学史可以帮助学生了解数学的应用价值和文化价值表示完全赞同，约73.3%的教师对数学史可以帮助学生树立良好的科学品质、培养良好的科学精神表示完全赞同。但相比之下，只有约21.7%的教师对数学史可以帮助学生加深对数学概念、方法和思想的理解表示完全赞同，40%的教师表示基本赞同，35%的教师表示中立，甚至有约3.3%的教师表示基本反对。
由此可见，对于数学史在提升学生的学习兴趣、帮助学生了解数学的应用价值和文化价值，以及树立良好的科学品质、培养良好的科学精神方面的教育价值教师更加认可和肯定，或者说数学史的教育价值在上述几个方面更显而易见。而在帮助学生加深对数学概念、方法和思想的理解方面，从教师的主观认识上来看，数学史的教育价值体现不够突出，或者说一定程度上不易显现，教师对数学史融入数学教学的意义缺乏深刻的理解。
调查数据显示，教师对数学史知识的掌握情况不容乐观：对于小学数学教材中最基本的数学史知识，仅有55%的教师全部知道。
由此可见，教师的数学史素养亟待提高，这也为教师的专业化培训敲响了警钟。
通过问卷调查中前三项调查的数据可以看出，教师将数学史运用于教学的经验并不十分丰富，教师接触过的以数学史为主题的公开课也并不多：只有约8.3%的教师经常有机会参加类似的主题课程；55%的教师很少有机会参加；约21.7%的教师表示听说过与数学史有关的课程，但没有参加过；甚至有15%的教师表示从没有听说过这样的课程。
由此可见，当前从外部因素方面来看，对教师将数学史融入数学教学的引导和培训力度亟待加大。
此外，对“教师将数学史用于教学过程中面临的最大问题是什么？”的调查显示，教师从自身情况出发，发现运用数学史的困难大致有两点：其一，数学史知识不足；其二，不知如何对数学史料进行适当处理，以使其与课程主题融合，从而让数学史的利用更自然、协调。
对“你自己平时在数学教学中渗透数学史的方式具体有哪些？”的调查显示，实际教学中大部分教师集中于“上课前”或“下课前”介绍数学史知识（其中包括数学名人逸事、数学典故等），在课上不加解读和处理，渗透方式比较单一。
通过以上数据可以看出，数学史往往被作为数学教学中的“装饰”而存在，表面化、符号化和形式化的现象比较普遍。数学史在小学数学教学中的应用存在着明显的“高评价、低效应用”现象。究其原因：一方面是“依考定教”的现象妨碍了数学史在教学中的应用，另一方面是教师对如何发挥数学史的教育价值以提高教学实效的经验不足。小学数学教材中的数学史料大多被安排在相关学习内容之后，主要以阅读或者选学内容形式出现在“你知道吗？”板块中，这在一定程度上会导致教师将数学史料和数学教学割裂开来，以为数学史料只是一个阅读资料，可有可无。此外，教师自身数学史素养水平有限，造成对学生指导的缺位，使得数学史的教学流于“读一读材料”“讲一讲人物故事”等形式，教学内容停留在数学史料本身，课堂上多讲“是什么”，却少讲“为什么”，从而使数学史教学变了味道，数学史本身的教育价值也大打折扣。
例如，我在多年前的一个数学史教学案例——人教版小学数学教材五年级上册“用字母表示数”的研究课，在当时被普遍认为是一节比较成熟的研究课，其中不乏亮点，尤其是数学史的融入更为教学增色不少。该研究课的具体教学过程如下。
新课伊始，教师首先带领学生回顾以往用字母表示数的已有经验，揭示主题；之后通过引入一个魔盒游戏，引导学生在乘法模型中初步建构新知，即用字母和含有字母的式子可以表示结果与关系；在此基础上，引导学生借助师生的年龄问题，在加法模型中寻找不变关系，完善认知；而后通过基础练习使学生巩固新知；最后，在梳理总结后，教师进行了数学史知识的拓展介绍。
在拓展介绍环节，教师展示了名为“你知道吗？”的用字母表示数的数学史介绍，解说词如下。
人们认识到用字母表示数的过程是很漫长的。古埃及人用小马表示10万。公元3世纪前后，希腊数学家丢番图开始用许多缩写符号表示数和一些运算，成为用字母表示数的先驱。这之后又经历了1300年，16世纪的法国数学家韦达才有意识地、系统地用字母表示数。
…………
用当前的教育观念重新审视当时这节课的教学视频资料可以发现，虽然环视课堂，学生听得都很认真，听课的教师也都觉得这节课比较新颖，但学生的眼神是空洞和茫然的，很显然这节课的内容并没有触动他们的情和知，更无所谓“灵魂”。
在课后，为了了解学生的学习情况，我出示了几个题目作为学后测试：
为了更好地说明问题，我们团队分析了上述题目的解答情况。通过数据统计我们发现：有约97.8%的学生答对了第一题，说明学生通过这节课的学习对于“用字母表示特定的数”和“用字母表示数的规律”的掌握情况良好；有约88.9%的学生答对了第二题；而只有约71.1%的学生答对第三题。通过后续的调查我们了解到，在答对第二题和第三题的学生中，有一部分学生虽然答对了题目，但是对“a+3”和“3n”用来表示一个结果仍是心存疑虑的，这反映出学生对于用字母或含有字母的式子来表示结果和数量关系理解不够透彻。
通过对这节课的教学效果的跟踪我们了解到，在后续的教学中仍有不少学生出现了在解题时不知道该设什么为“x”的情况。
深入分析后，我们认为原因有三：其一，学生不习惯用字母表示变化的数；其二，学生不习惯用含有字母的式子表示数量关系；其三，学生不习惯用含有字母的式子表示结果。而这些不习惯的内容也正是我们应该重新探索“用字母表示数”这节课新的教学方式和教学目标的核心所在。
再例如，人教版小学数学教材五年级上册“多边形的面积”这一单元的内容，其中教材94页“你知道吗？”板块介绍了数学史中的出入相补法，即刘徽的出入相补原理。教材原文是这样的：“我国古代数学家刘徽利用‘出入相补’原理计算平面图形的面积。出入相补原理是指：把一个图形分割、移补，而面积保持不变……”下方为教材中的相应图示。
出入相补原理应用图示
历史上，刘徽用割补法，根据出入相补原理得出了各种常见图形面积公式的证明。很可惜的是，对于这样具有高度概括性和思想性的重要史料，在教学中大部分教师是在下课前将之作为数学文化以音频的形式播放给学生听的。教学中很少有教师借助这个数学史料来呈现数学家思考问题、解决问题的过程。殊不知，本节课中的此史料不仅可以帮助学生了解数学文化，也可以帮助学生深化数学技能。更重要的是，它是让学生体验数学知识的形成过程、理解数学的本质，以及向学生渗透化归思想的重要教育契机。
由此不难看出，作为教师的我们应该在教学中将学生自主学习数学的过程与数学本身发展的历程有机结合，充分发挥数学史的教育价值，进而实现育人的终极目标。但现实中数学史在小学数学教学中的应用远没有达到理想的状态，这就需要教师深入挖掘数学史料，重视其内在价值，对数学史的应用进行艺术加工，进而展现其独有的价值和魅力。
在今天，学术界对数学史的研究并不是新兴的事物，在漫长的时间长河中有很多教育家和数学家从不同角度对数学史进行了分析与探索，并取得了丰硕的成果。回顾数学的整个发展史，我们很容易发现一些具有共性的事物，即一些新的数学分支的出现、数学学科的创立和发展，大多是通过创新教学思维与方式的形式实现的。同样，数学的发展史不仅是数学知识的累积史，更是数学思想和方法的聚集、沉积与演化史。伴随着数学学科的发展，现代的许多研究者也开始关注数学史的拓展研究，进一步聚焦数学史的教育价值及其实现路径。查阅近、现代数学的相关研究成果后，我发现已有相当数量的研究资料对数学史及其教育价值进行了论述。
美国著名数学史家、美国历史上第一个数学史教授卡乔里认为，一门学科的历史知识乃是使面包和黄油更加可口的蜂蜜，它有助于使该学科更具吸引力。他在自己的书《数学史》的前言中进行了相关说明，大致意思如下。
如果用历史回顾和历史逸事点缀枯燥的问题求解和几何证明过程，学生的学习兴趣就会大大增加。算术课上的学生乐于听巴比伦人和印度人的研究工作，以及印度人发明阿拉伯数字的过程……当数学训练的价值受到人们的怀疑时，可引用哲学家柏拉图创办的学园门口牌子上写的那句话：“不懂几何者免进。”学习解析几何的学生应了解点笛卡儿……在对历史的解说中，教师可以让学生明白：数学并不是一门枯燥呆板的学科，而是一门不断进步的生动有趣的学科。
人们真正开始大规模地将数学史与数学教学相结合的时间可以追溯到20世纪80年代初。1972年，英国召开了第二届国际数学教育大会，在会上成立了数学史与数学教学关系国际研究小组（International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics，简称HPM）。1976年，HPM开始隶属于国际数学教育委员会。HPM现在几乎每年都要举行国际会议，出版会议纪要，为推动数学史与数学教学的结合做了许多卓有成效的工作。在HPM成立初期，美国数学史家和数学教育家对数学史的教育功能多有阐述，这些功能包括：激发学生的学习兴趣，改变学生的数学观，使数学人性化，让学生从原始文献中汲取数学家的原始思想和社会文化信息，帮助学生更好地理解和欣赏数学，增强学生的自信心，了解学生学习数学的困难和认知过程，为教材编写提供借鉴，等等。这些功能对我们今天运用数学史于数学教学具有一定的借鉴和指导意义。近年来，随着HPM研究的深入，越来越多的研究者开始关注数学史在课堂上的实际应用。研究者对将数学史融入数学教学过程中可能存在的问题进行了积极探索，取得了大量的研究成果，比如，研究者在数学教学的整体框架下，综合考虑数学史与教学要素的关系，建构了许多融入模式，如诠释学模式、资源联络模式、历史-心理的认识论模式、三面向模式、“为何-如何”模式。
通过以上研究不难看出，国外数学教育界很早就开始了对数学史的研究，并关注了数学史在数学教学中的教育价值。伴随着HPM的成立，许多数学家、数学史家和数学教育家的研究逐步从理论转向实践，深入研究有关的课堂设计、教学案例和课堂实验，所取得的研究成果对教学也有了更强的指导性和适用性。
我们国家的学术界从21世纪初开始关注HPM。随后，一个供数学家、数学史家、数学教育家和教师交流的平台出现了，这就是于2005年5月1—4日在西北大学召开的第一届全国数学史与数学教育会议。此后，人们还组织召开了多次中国数学会数学史分会学术年会，2023年的会议时间是8月11—14日。这次会议聚集了来自全国各地的数学史家、数学教育家、中小学数学教师，以及高校数学史与数学教育专业的研究生，大家共同交流数学史学术研究成果，并分享数学史在数学教学中的应用和实践经验。
在中国知网精确检索1990年以来的主题为“数学史”的文献，截至2024年3月份共检索到10054篇，其中包含“小学数学”主题的文献共1248篇，“数学史”主题下包含“教育价值”主题的文献共359篇。
由这些数据可以发现，国内有关数学史的研究越来越受到教育研究者的重视，而其中有关小学数学及教育价值的文献则相对较少。通过对以上文献的梳理和分析我们发现，数学史研究的内容主要集中在以下四个方面。
第一，数学史与数学教学的理论研究。在数学史与数学教学的理论研究领域，众多学者致力于探索数学史在数学教学中的应用价值、应用内容和应用方法。
第二，数学史与数学教学现状的调查和研究。吴绚灿在其2016年的硕士论文中指出，通过调查和分析她发现，教师已经开始重视数学史，并且开始尝试在教学中融入数学史。只不过大多数教师的认识不够全面、深刻，只停留于知道数学史的层面。而学生对数学史的兴趣较大，他们认为教材中收录的数学史料对学好数学有帮助作用，但教师讲授数学史的方式单一。
可见，教师迫切需要提升自己的数学史素养，并在教学过程中有目的地运用多种策略和方式向学生积极渗透数学史，从而使学生深刻体会到数学史的价值，进而提升学生的数学文化素养。
第三，数学史与数学教学的策略和方法的研究。著名学者张奠宙教授认为把数学史融入数学教学有助于把数学的“学术形态”变为“教育形态”。张教授的这一理念不但明确了将数学史融入数学教学中的具体任务，还为数学史的应用指明了具体方向。学者王红基于数学史教学中的问题从数学史料的选取、基于数学史料的局部探究、探究性作业中数学史料的融入和基于实验共同体的反馈与修正四个方面阐述了实现数学史教育功能的路径。[1]
[1] 王红.数学史与数学教学的结合：问题与路径[J].当代教育科学，2014（16）：63-64.（注：引文有修改）
第四，数学史渗透数学思想的研究。罗红英与杨静梅两位学者从师范教育的角度研究了“教材中数学史与思想方法的挖掘”，并针对地方高师院校数学史与思想方法在教材中的挖掘面临着重视程度不够和与中学数学脱节等诸多问题强调，在教材中挖掘蕴含的数学史与数学思想方法，有助于揭示获取数学知识的思维过程，展现数学知识发生与发展的原貌，引导学生体会真正的数学思维，创造一种探索与研究的数学学习氛围。[2]
[2] 罗红英，杨静梅.教材中数学史与思想方法的挖掘[J].普洱学院学报，2014，30（6）：24.
从上述研究文献中可以看出，越来越多的学者意识到数学史与小学数学教学结合的重要性。国内关于数学史与数学教学的研究成果颇为丰富，但也存在如下的不足。
第一，对于数学史教育价值的研究因视角不同而观点众多，缺乏系统性。从研究方法和思路上看，大多数研究者很少关注研究方法，基本上是用经验性描述代替思辨性研究，实证性研究更为缺乏，特别是目前在小学数学教学中，结合数学史的教学案例较为缺乏。
第二，数学史家大多只关注数学史的本来面目，缺乏对数学史在中小学数学教学中应用的关注，造成数学史的史学或者学术形态难以转化为教育形态。而教师缺乏对数学史料的把握能力，特别是在中小学数学教学的数学史料研究和应用方面更为缺乏。
第三，在当前，有关数学史的教学研究大多集中于初高中阶段，小学阶段的数学史教学研究则较少。大多数研究者较少关注研究对象，比如：有的研究者将不同年龄段的数学史教育笼统地表述为“数学史教育”。
因此，基于以上对相关文献的分析我们可以得到如下启示。
（1）系统梳理数学史核心价值的框架，可以为发挥数学史的教育价值提供理论指导。
（2）有目的地开展数学史专题教学和渗透教学研究，可以填补现有的研究空白，并对已有的研究成果进行实证。数学史教学不能停留在课堂中讲个故事，或者根据教师对数学史的重视程度决定是否将其引入课堂，而是应该将数学史教学与教材紧密结合，有明确的教学目标引领，做到有的放矢。
（3）结合教学实际开展实证研究。以往的数学史教学研究大多停留于“经验性描述”，较少思辨，更缺乏实证研究。我们团队的教师作为一直在一线从事小学数学教学的工作人员，有着进行实证研究的丰富经验和便利条件，本书后面将结合团队教师的教学案例进行分析和分享。
（4）依据研究对象选择恰当的教学素材和策略。著名的数学特级教师吴正宪倡导“让儿童享受‘好吃又有营养’的数学”。“好吃”意味着可以提起学生的兴趣；“营养”则说明其具备的实效性价值，能够作为促进教学效率提升的“发动机”和“催化剂”。很显然，数学史就具备这样“好吃”和“营养”的先天基因。
提到“吃”，不禁让人联想到一则广为流传的趣闻逸事——“袁枚吃豆腐”。
袁枚是清朝乾隆年间的进士，字子才，号简斋，浙江钱塘（今杭州）人。其人才华出众，诗文冠江南。他与纪晓岚有“南袁北纪”之称。袁枚除了爱好诗文，还好吃，也懂得吃，是当时的一位烹饪专家。他著有《随园食单》一书，是我国介绍饮馔食事的一部重要著作。
有一天，杭州有一个名士请袁枚吃豆腐，没想到这豆腐是和芙蓉花烹煮在一起的。豆腐清白如雪，芙蓉花颜色艳似云霞，吃起来清嫩鲜美，令人回味无穷。袁枚急忙请教做法。主人秘不肯传，只要他多吃一些。一盘豆腐很快吃完，眼见宴席即将结束，袁枚自恃身份又不愿强求，不由得面生焦虑，主人见此笑道：“古人不为五斗米折腰，你肯为豆腐三折腰，我就告诉你。”
袁枚即席折躬，躬毕大笑，说：“我今为豆腐折腰矣！”
主人告诉他这道菜叫“雪霞美”，以豆腐似雪、芙蓉如霞而得名，并告诉他如何烹调。袁枚归家后如法炮制。
毛俟园吟诗记此事云：“珍味群推郇令庖，黎祈尤似易牙调。谁知解组陶元亮，为此曾经三折腰。”袁枚为豆腐折腰，一时传为美谈。
…………
豆腐在日常生活中再普通不过，但就是这样一种再普通不过的食材，却使得大才子袁枚为之“折腰”。可见，再普通的食材，经过厨师一双巧手的加工，也能够焕发出远远超越其自身的价值；而再珍贵的食材，也需要烹饪者的高超厨艺，才能更好地体现其原有的身价，不然则有暴殄天物之忧。
数学史就可以看成是数学教学中的“食材”。教师应该依据学生的认知特点灵活选择适当的数学史料，以不同年龄学生更易于接受的形式进行教学，这样才能够保留数学史的“营养”，令其“好吃”。
在这个世界上，绝对的完美是不存在的，但相对的理想是可以追求的，合理、适当、高效和满意都是一种理想的状态。那么，数学史融入小学数学教学的理想状态是怎样的呢？要回答这个问题，我们需要从两个角度进行分析和论证。
首先，我们需要正确理解数学史的意义和价值。数学史，简单地说就是研究数学的历史。它不仅追溯数学内容、思想和方法的演变与发展过程，还探索影响这种过程的各种因素，以及历史上数学的发展给人类文明带来的影响。因此，数学史的研究对象不仅包括具体的数学，而且涉及历史学、哲学等社会科学与人文科学的内容，既属历史学领域，又属数学领域。因此，数学史研究既要遵循历史学规律，又要遵循数学规律。根据这一特点，研究者可以将数理分析作为数学史研究特殊的辅助手段，在缺乏史料或史料真伪莫辨的情况下，站在现代数学的高度，对古代数学的内容与方法进行数理分析，以达到正本清源、理论概括和提出历史假说的目的。
其次，我们还需要从宏观的角度来看看教育政策及数学课程标准中对数学史融入数学教学的定位。
2016年9月13日，《中国学生发展核心素养》研究成果正式发布。文件指出：“学生发展核心素养，主要指学生应具备的，能够适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力。”“总体框架”部分指出：“中国学生发展核心素养，以科学性、时代性和民族性为基本原则，以培养‘全面发展的人’为核心，分为文化基础、自主发展、社会参与三个方面，综合表现为人文底蕴、科学精神、学会学习、健康生活、责任担当、实践创新六大素养，具体细化为国家认同等十八个基本要点。”就数学教学而言，数学史作为权威的课程资源及数学文化的重要载体，在促进学生人文底蕴素养及科学精神的形成中起着重要的作用。
我国在课程改革过程中对数学史及数学思想的重视程度越来越高，数学史在数学教学中的重要作用日益凸显。《课标》将数学史的研究与应用从幕后推向了台前，数学史在教学中的合理应用正是《课标》要求的体现。《普通高中数学课程标准（实验）》中将数学史列为高中数学学习阶段的选修内容。不仅如此，初中数学教材中也介绍了有关的数学史。在小学阶段，《课标》中提到：“教材编修要勇于打破固有教材模式，为教材使用者提供广泛的素材资源和开放的使用空间。如教材中介绍数学文化、数学发展前沿等。内容设计要反映数学在自然与社会中的应用，展现数学发展史中伟大数学家，特别是中国古代与近现代著名数学家，以及他们的数学成果在人类文明发展中的作用，增强学生的爱国情怀和民族自豪感。如介绍《九章算术》《几何原本》、珠算、机器证明、黄金分割、计算机层析成像（CT）技术、大数据等内容，以及祖冲之、华罗庚、陈景润等数学家的事迹。”
细细研读、静心思索，我们会发现《课标》中将数学史视为数学文化的组成部分。那么，数学史应该以一种什么样的姿态出现在我们的教学当中才能体现其真正的价值呢？在深入分析和理解的基础上，我认为，理性化的数学史应用应该发挥出数学史如下几个方面的功能，才能够真正体现出其内涵的价值。
教学目标是关于教学将使学生发生何种变化的明确表述，是指在教学活动中所期待得到的学生学习结果。在教学过程中，教学目标起着十分重要的作用。教学活动以教学目标为导向，且始终围绕实现教学目标而进行。作为教师，我们都知道在设计一节课的时候，教学目标的制定是首位的。它决定着教学整体的推进和发展。从一定程度上讲，教学目标制定的合理性是一节课成功的关键。而数学史中的大量素材都可以有效地辅助或完善教学目标的制定，这体现了数学史的参照性价值，实现其教学目标定位的功能是数学史理想化应用的一种体现。具体来说，在数学史的辅助下，我们可以通过如下几个方面完成对教学目标的修正和设置。
第一，在数学史料体验中深化知识目标。知识需要在社会、文化情境中获得，并构建其意义。所以，我们应当在数学史的视域中认识知识目标，在社会情境中建构和理解知识，在数学体验中掌握知识，在文化品味中领略知识的意义。数学史中的很多经典问题都可以作为知识目标达成的载体。
例如，中国数学发展史中著名的定理“中国剩余定理”，是中国古代求解一次同余方程组的方法，是初等数论中的重要定理之一。一次同余方程组问题可见于数学著作《孙子算经》，叫作“物不知数”问题，原文如下。
今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？
它的意思是，一个正整数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个正整数。因为《孙子算经》中首次提到了这个问题，所以在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子剩余定理。
相传中国剩余定理的提出源自楚汉相争时期的历史故事。查阅相关资料可知，故事版本大致有两个，其一具体内容如下。
韩信率1500名将士与楚军大将李锋交战。苦战一场后，楚军不敌，败退回营。汉军也死伤四五百人，于是韩信整顿兵马返回大本营。当韩信一行人行至一山坡时，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来。只见远方尘土飞扬，杀声震天。
汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗。韩信领兵马到坡顶，见来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌。他命令将士3人一排，结果多出2人；接着命令将士5人一排，结果多出3人；又命令将士7人一排，结果多出2人。
韩信马上向将士们宣布：“我军有1073名将士，敌军不足500名，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人。”汉军本来就信服韩信的统帅，又见他如此快速地算出了剩余人员的数量，就更相信他是“神仙下凡”“神机妙算”，于是士气大振。一时间旌旗摇动，鼓声喧天，汉军步步紧逼，楚军乱作一团。交战不久后，楚军大败而逃。
其二具体内容如下。
有一天，汉高祖刘邦问大将韩信：“你看我能带多少兵？”
韩信回答说：“陛下你最多能带10万兵吧！”
刘邦听了不大高兴，于是问：“那你呢？”
韩信非常骄傲地说：“我来点兵，当然是多多益善！”
刘邦心中更加不高兴了，就想了个方法要为难韩信。他传令叫来一小队士兵，让他们隔着墙在外面列队，问韩信这个小队一共有多少人。韩信发令3人站成一排。不久后，有人进来报告说最后一排只有2人。韩信又传令5人站成一排。随后，又有人进来报告说最后一排只有3人。韩信再次传令7人站成一排。来人报告说最后一排只有2人。
这时，刘邦望向韩信问：“敢问将军，这队士兵总共有多少人？”
韩信想也没想，脱口而出：“23人。”
刘邦大惊，心生杀机。
“物不知数”问题的别名有很多，如“韩信点兵”“隔墙算”“鬼谷算”。用来解决该问题的中国剩余定理的文化内涵极其丰富，不同的时代有不同的描述。对中国剩余定理的形式多种多样的证明，其实是对该定理一系列精彩的解读，散发出丰富、浓厚的文化韵味。将这样的数学文化知识融入数学教学，不仅增加了知识的深度，更为知识增添了无穷的趣味，使之引人入胜。
第二，在历程经历中达成过程目标。古希腊著名的数学家毕达哥拉斯曾经说过类似这样的话：“在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么。”数学教学过程中，过程目标的达成已经越来越被教师所关注。当然，要了解知识发生和发展的过程，就要探寻数学家思维的历史轨迹。
展现、重温人类精彩的数学思维过程，其实是体验数学文化的选择、积累的传承过程。数学史恰恰扮演了传承过程的完美诠释者这一角色，它详尽地记录了数学家在探索过程中所运用的归纳、类比、联想等方法。通过综合分析，数学家运用公理、定义和已证明的定理进行严谨的演绎论证，从而揭示了数学内部严谨的逻辑次序和联系。
第三，在重现实践中提升技能目标。数学技能是数学家思考的结果，蕴含着方法和技巧。这些技能构成了数学知识的精髓，而不仅仅是数学的一部分。“在教科书和学校的课程中，都将‘数学’看作是一系列毫无意义的、充满技巧性的程序。把这样的东西作为数学的特征，就如同把人体结构中每一块骨骼的名称、位置和功能当作活生生的、有思想的、富于激情的人一样。如同一个单词，如果脱离了上下文，不是失去了原来的意义，就是有了新的含义一样，在人类文明中，数学如果脱离了其丰富的文化基础，就会被简化成一系列的技巧，它的形象也就被完全歪曲了。”[3]
[3] 克莱因．西方文化中的数学［Ｍ］．张祖贵，译．上海：复旦大学出版社，2007：2-12.
数学史中有着众多的数学问题，前人方法的不断优化和完善都为今人数学技能目标的确立提供了重要参考，是难得的宝贵财富。例如，著名的勾股定理就体现了数学技能的发展和优化。勾股定理是一个基本的几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一。
勾股定理的证明方法多种多样，据不完全统计，约有500种（一说400多种），是证明方法最多的数学定理之一。
在我国，约公元前11世纪，数学家商高就提出“勾三、股四、弦五”。《周髀算经》中记录了商高同周公的一段对话。商高说：“……勾广三，股修四，径隅五。”其意为，当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，径隅（弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三、股四、弦五”，并称勾股定理为商高定理。
公元3世纪，汉末三国初数学家赵爽对《周髀算经》内的勾股定理进行了详细注释，记录于《九章算术》中：“勾股各自乘，并而开方除之，即弦。”赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法，给出了勾股定理的详细证明。后来，刘徽在《九章算术注》中亦证明了勾股定理。
清朝末年，数学家华蘅芳提出了多种勾股定理的证明方法。
在国外，早在公元前约2000年的巴比伦人就知道和会应用勾股定理，他们还知道许多勾股数组。美国哥伦比亚大学收藏着一块编号为“普林顿322”的巴比伦楔形文字泥版文书，上面就记载了很多勾股数。除此之外，古埃及人在建造宏伟的金字塔和测量尼罗河泛滥时受到冲刷的土地时，也应用过勾股定理。
公元前6世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了勾股定理，因而西方人都习惯地称这个定理为毕达哥拉斯定理。
公元前4世纪，古希腊数学家欧几里得在《几何原本》第一卷末记载了勾股定理的证明。
1876年，加菲尔德发表了他对勾股定理的一种证明方法。
20世纪，《毕达哥拉斯命题》这部作品出版，它收集了毕达哥拉斯定理的367种不同的证明方法。
…………
在漫长的历史中，勾股定理的证明过程就是一个值得人们研究的大问题，其背后丰富的教育素材可以被我们加工后应用于教学。如果说上面描述的是“线状”数学史的价值，那么其中还有很多著名的故事可以作为“点状”数学史素材而让我们加以利用，比如著名的“总统证法”。
1876年，在美国华盛顿的郊区，一位中年男士正在落日的余晖下悠闲地散步。这位男士便是当时美国国会众议员加菲尔德。他走着走着注意到附近一个小石凳旁，有两个孩童正专注地讨论着什么，他们时而大声争论，时而小声探讨。出于好奇心，加菲尔德缓步靠近，想要了解他们究竟在探讨什么。他看到其中一个小男孩正蹲在地上，用树枝勾勒出一个直角三角形。
加菲尔德询问他们在做什么，其中一个小男孩头也不抬地问：“先生，如果一个直角三角形的两条直角边的长度分别是3和4，那么它的斜边的长度是多少？”
加菲尔德不假思索地回答：“当然是5。”
小男孩紧接着提出另一个问题：“那么，如果两条直角边的长度分别是5和7，斜边的长度又是多少？”
加菲尔德迅速回应：“斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”
小男孩继续追问：“先生，您能解释这背后的道理吗？”
这个问题让加菲尔德一时语塞，他发现自己竟无法给出满意的解释，心中不免感到些许挫败。于是，他决定结束散步，立刻返回家中，深入研究这个由小男孩提出的问题。经过反复的思考和计算，加菲尔德不仅理解了其中的数学原理，而且找到了一种简洁的证明方法。
用数学语言来说证明过程是这样的（见下图）：
所以比较上述二式便得。
1881年，加菲尔德就任美国第20任总统。他以对勾股定理的直观、简洁、易懂、明了的证明而闻名，这一证明方法因此被后人尊称为“总统证法”，以纪念他在数学领域的卓越贡献。
…………
数学史从“线状”和“点状”两个层面为我们提供了丰富的教学素材。在完整的故事背景下，这种有趣的素材不仅完善了学生的认知、启迪了学生的智慧，还是教师德育工作中的宝贵资源。
第四，在文化体验中落实情感态度与价值观目标。随着当今社会人们主体意识的增强，情感态度和价值观目标的确立与实现更是受到教师的极大关注。这种目标的确立与实现离不开人们对数学文化的体验。一个个美妙的数学定理像一串串绚丽的珍珠，透过它们理性的“外衣”我们可以进一步看到数学家生生不息奋斗的画面。
数学知识中蕴含的历史和文化可以深化学生对人类智慧的欣赏之情，满足学生的审美需求，展现数学家严谨、求真的治学精神。以数学史为代表衍生出的数学文化对生命意义的领悟、对知识和求解方法的理解都是具有积极意义的。
例如，数学家丢番图一生都致力于对数学的探索。丢番图著有《算术》一书，原有13卷。书中收集了许多有趣的问题，每个问题都有出人意料的巧妙解法，这些解法可以开动人们的脑筋，启迪人们的智慧。然而，关于丢番图的生平，人们所知甚少。尽管如此，可以肯定的是，数学贯串了他的一生，甚至在他去世后，其墓志铭也散发着数学的魅力和对人生的深刻思考。墓志铭的主要内容如下。
过路的人啊！
这里埋葬着丢番图。
请计算下列数目，
便可知他一生经过了多少寒暑。
他生命的六分之一是幸福的童年；
又过了一生的十二分之一，他的两颊长出了细细的胡须；
再过去一生的七分之一，
他结婚建立了幸福的家庭；
婚后五年有了可爱的儿子，
可惜儿子的寿命只有父亲的一半；
晚年丧子真是可怜，
儿子死后，老人在悲痛之中度过四年就与世长辞。
请你算一算，丢番图活到几岁，
才和死神见面？
这个与众不同的墓志铭不但本身就是一个数学问题，具备应用数学知识加以解决的条件，能够起到相应的数学学习的目的，而且更重要的是，它蕴含着丢番图与数学融为一体的精神境界。这对于学生全面认识数学学科能够起到不可估量的作用。
数学史料可以被教师加以利用，成为教育资源。特别是从情感态度与价值观角度来看，数学史料能够让学生深刻感受到数学家的精神风貌和高尚品行。教育是实现人的社会化，促进人的精神和思想生成与提升的手段。文化可以唤醒人的精神和思想，人的精神和思想需要通过文化的教育塑造。学生在体验数学文化的魅力、感受人文精神的同时，可以体会到数学的价值。
鉴于数学史本身素材的演绎性特点，融入小学数学教学的数学史应充满趣味性。小学生的年龄和心理特征决定了他们的学习行为是以兴趣为主导的。尽管数学知识常常以抽象概括的方式进行形式化的表达，但小学数学教学不应该照本宣科，不应该是“学科状态”下的教学，而应该是“教育状态”下的教学。同样，对数学史的讲解也是如此。
例如，在讲授历史名题“韩信点兵”的时候，我依托数学史中的具体故事，并结合自身对评书的了解设计了两段评书，且采用长课时（60分钟课时）的形式，将数学课和评书结合起来，尝试将数学史的价值凸显于教学。具体讲授时，上课前我先以故事作为引入，下课前再以故事作为补充，具体过程如下。
环节一，上课前以故事作为引入
师：“同学们，今天我们要上一节思维训练课。在正式上课之前，我先给大家说一段评书好吗？”
生1：“好。”
师：“那就且听我徐徐道来！”
以下为评书内容的解说词。
今天讲的是汉高祖刘邦和大将韩信的故事。一天，汉高祖刘邦问大将韩信：“韩将军，你看以寡人我的才能可以带多少兵呢?”
韩信垂手答道：“以主公之才干可统率铁甲十万!”
刘邦听罢，心中窃喜，顺嘴问道：“那你呢?”
韩信淡然地说：“臣我呀，当然是多多益善啰!”
那刘邦心中顿时不悦，沉着脸说道：“将军如此大才，我很佩服呀！现在，我有一个小小的问题向将军请教，凭将军的才学，想来答起来一定容易！”
韩信不紧不慢地说道：“但请主公说来！”
刘邦狡黠一笑，传令叫来一小队士兵隔墙站队，然后问道：“将军可知帐外士兵人数几何？”
刘邦想：“隔着墙看你如何计数？想来纵然你才华出众，这个问题也一定难倒你！”
只见韩信不慌不忙，传令道：“帐外士兵三三数之，余数报我！”刘邦一愣，没明白韩信要干什么，就没加阻拦。帐外小队长报道：“禀将军，三三数之余二。”
韩信点点头，又传令道：“帐外士兵五五数之，余数报我！”帐外小队长又报道：“禀将军，五五数之余三。”
“七七数来，余数报我！”韩信再次传令。
“禀将军，七七数之余二。”帐外小队长又报道。
韩信脱口而出：“帐外士兵二十三人。”刘邦大惊，连忙查点人数，果然一个不多一个不少，正好二十三人。刘邦心悦诚服，他问道：“将军是怎样算的?”
韩信说：“臣幼得黄石公传授《孙子算经》，孙子乃是鬼谷子的弟子，这本书中载有此题的解答口诀。”
师：“同学们，听完这个故事，你们有什么数学问题吗？”
生1：“韩信具体是怎么算的？”
生2：“《孙子算经》里面记载的口诀是什么？”
生3：“为什么韩信要三三数、五五数、七七数？这里面有什么道理吗？”
…………
就这样，一个个的数学问题直指中国剩余定理的本质与核心，学生的探索欲望在故事的牵引下达到了新的高度，研究欲望被点燃，数学兴趣随之高涨了起来。
环节二，下课前以故事作为补充
师：“同学们，让我们回到这节课最开始的评书中的故事，你们觉得韩信这个人如何？”
生1：“韩信很聪明。”
生2：“韩信很好学。”
生3：“韩信很有修养，他总是不急不躁的。”
师：“的确，韩信不仅才智过人，而且是一个很有修养和胸怀的人。关于韩信的故事你们还想再听吗？”
生（大家异口同声，兴趣高涨）：“想！”
师：“那就且听我一一道来！”
以下为评书内容的解说词。
且说那韩信自幼失去双亲，机缘巧合之下，拜大军事家尉缭为师，学艺十几载。艺成之日，尉缭将随身宝剑赠予韩信。韩信身挎宝剑，回家途中遇一屠夫当众羞辱自己。他对韩信说：“你这厮虽然长得又高又大，其实胆子小得很，今日身挎宝剑，招摇过市实在可恶！有本事的话，你敢用你的佩剑来刺我吗？如果不敢，要么把佩剑留下予我，要么就从我的裤裆下钻过去。”
韩信胸怀大志，不愿意因小失大，他淡然处之，当着许多围观人的面，便从那个屠夫的裤裆下钻了过去。在场的人都嘲笑韩信，认为他很胆小。
后来，韩信荣归故里，又找到那个屠夫。屠夫很是害怕，以为韩信要杀他报仇，没想到韩信却善待屠夫。他对屠夫说，没有当年的“胯下之辱”就没有今天的韩信。
正如唐朝大诗人李白的《赠新平少年》一诗所描述的：
韩信在淮阴，少年相欺凌。
屈体若无骨，壮心有所凭。
一遭龙颜君，啸咤从此兴。
千金答漂母，万古共嗟称。
…………
师：“同学们，听完这个‘胯下之辱’的故事，你们又有什么感想呢？”
生1：“如果韩信当时受不了胯下之辱，那么他就不会有后来的成功。”
生2：“韩信很有胸怀，有容人之量。”
生3：“我们要学习韩信的坚忍品质。”
…………
通过上述教学案例，我们可以清晰地看到，这节课将数学教学置于人类数学史的宏伟背景之中，为学生提供了坚实的学习基础和丰富的学习材料。在这样的教学环境中，学生的学习不再是一种被动接受，而是变成了主动探索。通过这样的学习过程，学生能够更深刻地理解数学知识，同时也能够感受到数学与人类文明发展之间的紧密联系。
数学知识以其符号化的文字呈现于我们眼前，而数学家探索数学知识过程中充满激情的思考往往被这些形式化的东西给遮蔽了。固然，形式化有助于数学理论的简洁与系统化，它能够以简明的方式表达数量关系和空间形态。然而，数学的本质并不是形式，其生动的内涵不应被形式的海洋所淹没。
面对数学的抽象性，学生常常感到枯燥、与现实脱节，难以领会其深意。但如果学生能从数学的历史背景出发，通过实践操作的体验来理解数学的本质，那么数学学习将变得充满生机、趣味和真实感。
学习并非一个仅凭间接经验就能完成的简单任务，它要求学生亲自投身于实践之中，将理论知识与实际应用相结合，以实现学习的最终目标，否则不能称之为真正的学习。正如“纸上谈兵”这一成语所揭示的，理论与实践相结合的重要性不言而喻。
中医的诊疗过程也是一个绝佳的例证。医生通过望、闻、问、切四种诊断方法，全面地洞察病人的病情。这四诊合一，方能精准施治。同样，学习数学知识也需要学生追溯数学发展的脉络，通过动手实践和亲身体验，深刻理解数学的精髓，使之内化于心，并在心中生根发芽。
以“用字母表示数”的教学为例，通过回顾用字母表示数这一数学知识的历史演进过程，我们可以了解到代数符号的发展经历了一段悠久的岁月。这一过程打破了确定数与不确定数之间的壁垒，实现了从算术到代数的重大跨越。代数符号的演变主要经历了三个阶段：文辞代数、缩略代数和符号代数。而用字母表示数的历史演进顺序则是从表示特定的数，到表示未知数，再到表示一类数。这个过程虽然看似简单，但实际上经历了1000多年。
历史总是相似的，我们可以预见，数学家在数学概念发展阶段遇到的难题，同样也会成为学生学习的难点。那么，我们便可以预料到，对于学生而言，用字母表示一类数就是最大的难点。因此，在教学设计中，我们应当根据用字母表示数的历史演进过程来设计相应的活动和问题。这并不意味着我们要严格依照数学史来设计问题，而是需要结合学生的认知水平，对历史进行再创造，将“历史形态”转化为“教育形态”。
现有的教材往往缺乏让学生充分体验用字母表示数的内容。由于学生之前习惯于使用具体的数字，他们可能会对用字母表示数产生抵触心理。因此，在教学过程中，我们需要积极引导学生认识到字母出现的必要性。通过“古人表示数量方法的由来及发展变化”这一切入点，我们可以对例题进行调整，并补充史料和实例，以丰富学生的感知。经过调整，学生对用字母表示数的认知将经历一个循序渐进的动态过程：从用字母表示特定的数，到表示不确定的未知数，再到表示可变的数、表示数量关系，最终达到表示一类数的阶段。
再例如，根据数学史中的三阶纵横图（称为“九宫”）设计的思维训练课，目标是通过引导学生逐步解决独立研究过程中遇到的难题，让学生实现数学方法的提炼和数学思维的深化。具体的教学过程如下。
环节一，故事引入，创设情境
师：“《射雕英雄传》这本书你们看过吗？在这本书中有两个人物，一个叫郭靖，另一个叫黄蓉，他们可谓是武功盖世，聪明绝顶。有一天，黄蓉身受重伤，亟须寻找一位名为瑛姑的高人，她在黑泥沼中隐居，拥有绝世的疗伤本领，但黑泥沼的入口设有机关，要想开启进入神秘的黑泥沼的机关需要解答下面这个问题。”
师：“请一位同学给大家读读。”
生1：“将1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数字填入格子中，使横行、竖行、斜行上的3个数字的和都相等。”
师：“大家能帮助黄蓉解答这个问题吗？请你们独自试一试。”
学生尝试独立填写。
导学的目的不仅仅是激发学生的学习兴趣，更重要的是为数学模型的建立预热。教师可选取生活中的实例作为切入点，这在引发学生对数学问题的思考的同时，也可激发学生的学习兴趣，培养学生的数学意识，并为后续的研究奠定基础。
环节二，基于经验，自主探索
学生尝试独立填写后，教师让学生进行汇报交流。
师：“请同学们互相检查一下是否都填写正确了。另外，你们想知道黄蓉是怎么填的吗？我们来一起看看大屏幕上黄蓉解答开启黑泥沼机关问题的口诀（见下图）。”
黄蓉解答开启黑泥沼机关问题的口诀
师：“对于黄蓉和大家填写的内容，你们有什么问题吗？”
生1：“口诀是怎么编出来的？”
生2：“最中间的一定填5吗，可不可以填别的？”
生3：“一共有多少种填法？”
生4：“口诀背后的原理是什么呀？”
师：“是呀，口诀背后的原理到底是什么呢？同学们的答案是什么呢？今天我们就来一起研究这背后的数学原理。”
从环节二的互动中不难看出，教师所面对的学生不是一张白纸，而是具有独立认知意识、具备一定学习经验和生活经验的学习者。教师基于学生已有的经验，对学生进行进一步的培养，有助于学生知识的系统化、条理化，有利于学生寻找知识新的生长点。
现代数学教育对结论性知识的重视程度远高于对在学习过程中凝练数学方法的重视程度。现实生活中绝大多数学生对于三阶纵横图有一定的了解，但这种了解也仅限于对结论的记忆，只知其然而不知其所以然。
因此，教师应引导学生通过自主研究提炼解决问题的方法，建立数学模型。对数学的学习不仅是数学知识的学习，而且是数学思想和方法的学习。让学生重温学习知识的方法和过程，不仅有助于学生对知识的理解，而且可以教会学生一种科学研究问题的方法和流程，引导学生体会“鱼”与“渔”之间的辩证关系。
环节三，深入探索，揭示本质
● 整体思考
学生分成小组讨论交流，然后进行汇报。
生1：“我们小组讨论的结果是，先算出每行、每列数字相加相等的和是（1+2+3+4+5+6+7+8+9）÷3=15。”
师：“为什么要除以3？”
生1：“因为不管怎样，数字1至9都会放进格子中，所以3行或3列的总和就是这9个数字的总和；又因为是3行或3列，所以用总和除以3就可以得到每行或每列相等的特殊‘和’了。”
师：“大家能够从宏观的角度进行思考，非常了不起！通过这样的方式可得到和是15这一重要线索。在数学中，我们把这样的思考方式叫作整体思考。”
● 局部思考
学生分成小组讨论交流，然后进行汇报。
生2：“由于15是3个数字的和，所以我们研究了将15拆分成3个不同数的方法。”
1+5+9 2+4+9 3+4+8 4+5+6
1+6+8 2+5+8 3+5+7 2+6+7
师：“这些算式中，哪个数字最特殊？为什么？”
生3：“5最特殊，因为5在8个算式中出现的次数最多，共出现了4次。”
师：“5应该放在哪个位置？2、4、6、8又该放在哪儿呢？为什么？”
生3：“5必须放在中间位置，因为只有中间位置上的数字在计算3个数字之和的时候会用到4次。”
生4：“2、4、6、8必须放在4个角的位置上，因为只有4个角的位置上的数字在计算3个数字之和的时候会用到3次。而且只有2、4、6、8这4个数字在8个算式中出现了3次。”
师：“根据大家的说法，我们来填一填。验证一下，横行、竖行、斜行3个数字的和是不是15。最后，大家反思一下，我们是如何解决这个问题的呢？”
生3：“我们先整体思考和计算出格子中横行、竖行、斜行上3个数字的和是15，再局部思考和观察组成15的3个数字的具体可能，通过对比找到特殊数字和特殊位置就可以填写了。”
师：“真了不起，大家不光能从整体思考，还能关注到局部特征。”
环节四，以史为鉴，拓展认知
师：“今天我们研究的是我国古代著名的三阶纵横图，称为‘九宫’。由于它是由3行、3列组成的，又被称为三阶幻方。今天这节课，我们就主要研究的是三阶幻方。”
接下来，教师通过环节三得出的思考方式引导学生解答下面的问题。
学生解答完后，教师向学生讲述中国古代与三阶幻方有关的故事。
相传，与九宫相关的图形出现在4000多年前，那时，有一条名叫洛河的河流频繁泛滥成灾。大禹带领百姓去治理洛河。在这一过程中，一只巨大的乌龟从河中浮现，其背上长有纹、圈、点，且自列成组，形成一幅奇异的图。这幅图被人们称为“洛书”。
…………
数学史中的故事可以有效地激发学生学习数学的兴趣，使课虽终结而思维不止。在教学中教师引导学生对问题解决过程的认识已经不仅仅局限在数学或科学领域，而是上升到世界观的高度。虽然现阶段的学生不可能全面地理解，但种子已悄然种下。这体现的是一种“大数学观”。
数学创造出各种超越直接经验的数学结构来描绘大自然和人类社会，大大发展了人类的理性思维，促进了人类思想的解放，丰富了人类的精神世界。作为数学文化载体的数学史在揭示理性思维的文化渊源、培养学生数学文化素养等方面具有独特的教育价值。例如，我们在教学中可以借鉴著名特级教师华应龙在讲授“圆”这一课时的教学片段。
华应龙老师（以下简称华老师）：“孩子们，我们以前认识图形特征通常是从边和角两个方面来进行的。圆作为我们熟知的几何形状，无疑也具备了大家所讨论的这些特征。那么，你们是否知道，古人是如何描述圆的特征的呢？”
华老师在黑板上写道：圆，一中同长也。
华老师：“你们明白这句话的意思吗？‘一中’指什么？”
生（学生们争抢着回答）：“一个中心点。”
华老师：“那什么是‘同长’？”
生（学生们争抢着回答）：“半径的长度都是一样的！直径的长度都是一样的！”
华老师：“那么，圆有这个特征吗？”
学生们认可地点头。
华老师：“难道正三角形、正方形、正五边形、正六边形（见下图），它们不是‘一中同长’吗？”
正三角形、正方形、正五边形、正六边形“一中同长”示意图
学生们沉默了，都专注地思考着。片刻后，学生们的手陆续举起来。
生1：“如果我们从三角形的中心向其3条边作线段，那么这3条线段的长度通常是不相等的。”
华老师：“哦，原来当我们将三角形的中心与三角形的3个顶点相连时，这3条线段的长度是相等的。然而，如果连接的是三角形上非顶点的其他位置，那么这些线段的长度就不再相等了。那么，圆呢?”
生（学生们纷纷回答）：“都一样！一样长！”
华老师：“是啊，圆心到圆周上的点的距离都是一样的，没有哪个点搞特殊！正三角形内，中心到顶点相等的线段有3条，正方形内有4条，正五边形内有5条……那圆呢？”
生2：“无数条。”
华老师：“为什么是无数条？”
生3：“因为圆上有无数个点。”
华老师：“那谁来说说，半径是一条怎样的线段？”
生1：“一端在圆心，另一端是圆上任意的一个点。”
华老师：“请看（课件演示正多边形边数不断增多最终转变成圆的动态过程）。”
生3：“正多边形逐渐变成了圆形！”
华老师：“现在是正819边形。”
生2：“哇！”
华老师：“看到刚才的画面，你们有什么想法？”
生（学生们争着站起来）：“我认为圆是一个正无数边形！”
华老师：“佩服、佩服！用老子的话来说就是‘大方无隅’。‘大方’就是指最大的方，同学们猜一猜‘隅’是什么意思？”
生（学生们异口同声）：“角！”
华老师：“真佩服！不用猜都知道！这样看来，圆是不是一中同长？”
生4：“对！”
华老师：“‘圆，一中同长也。’这句话是墨子说的。墨子的发现比西方人早了1000多年……那就让我们带着这份自豪，试着以古人的样子读一读这句话。”
…………
在这个教学片段中，华老师在引导学生初步探究并得出圆的特征之后，引出了古人对圆的特征的认识——“圆，一中同长也。”为了体现圆的独特之处，华老师又将圆与正三角形、正方形、正五边形、正六边形进行对比，一点一点地完善学生对圆的特征“一中同长”的深入理解。学生在这个过程中积极思考，与华老师进行有意义的交流，教学过程流畅自然。华老师通过引导让学生发散了思维后，再抛出与学生既有思维的矛盾点，让学生积极思考的同时领会数学的严谨性，这样学生在习得了知识的同时，推理、想象和思辨的能力也得到了培养。
华老师重视对数学史料文化功能的挖掘，而没有将数学史料作为教学的点缀。这点主要体现在华老师给学生讲解墨子的“一中同长”、老子的“大方无隅”思想，带学生体验古人的智慧上。
历史上，唐太宗李世民正是借鉴了隋朝衰败的历史教训，任贤纳谏，开创了“贞观之治”。英明的帝王“以古为鉴”可以促进一个国家的发展，决定一个民族的命运。这一历史借鉴的重要性同样适用于教育领域。教师通过借鉴数学史，可以完善教学结构，丰富教学内容，提升教学效果，并落实学科素养。数学史的教育作用在于使学生体验数学家的严谨态度和思维方式，增进学生对数学系统结构的理解，促进知识的有效迁移，帮助学生形成良好的数学观念。
