书名：欧拉的宝石 从多面体公式到拓扑学的诞生
ISBN：978-7-115-63469-6
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著 ［美］大卫·S. 里奇森（David S. Richeson）
译 章自尧
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Euler’s Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology by David S. Richeson.
Copyright © 2008 by Princeton University Press
Preface to the Princeton Science Library edition,
Copyright © 2019 by Princeton University Press
Simplified Chinese translation copyright © 2023 by Posts & Telecom Press Co., LTD.
莱昂哈德·欧拉的多面体公式V-E+F=2被数学家们誉为第二优美的数学定理。从足球和宝石到美妙的穹顶建筑，这一公式描述了许多物体的结构。本书围绕欧拉多面体公式及其数学思想，从古希腊数学讲起，直到当代拓扑学的前沿研究，介绍了这一公式的发现及其对拓扑学研究的深远影响。书中包括丰富的插图与例子，展示了多面体公式的许多优雅而出人意料的应用，例如说明为什么地球上总有一些无风的地方，如何通过数树来测量林地的面积，以及为任何地图涂色需要多少支蜡笔，等等。在书中，读者将看到一群质疑、完善多面体公式和为这个非凡定理的发展做出贡献的杰出数学家，在数学史的长河中，他们都为多面体的研究和拓扑学的发展做出了自己的贡献。
本书适合对数学，尤其是拓扑学及数学史感兴趣的读者阅读。
“要么我疯了，要么这里就是地狱。”
“都不是，”球体平静地回答，“这是知识，这是三维空间：再次睁开你的眼睛，试着仔细看看吧。”
于是我又看了看。瞧，一个新世界！
——埃德温·阿博特，《平面国》，1884年
在我小时候，孩子们的普遍共识是世界上有一批擅长数学的人和一批擅长写作的人——这两个群体不但没有交集，而且彼此间横亘着巨大的鸿沟。我数学学得不错，也乐在其中；因此，我的写作水平欠佳——我就是这么告诉自己的。虽然我在写作课上表现不俗，但这个信念还是伴随了我许多年。
后来，当我成为研究生并开始写关于数学的内容时，我意识到我其实善于写作，而且——咝！——也喜欢写作。我把杂乱无章的事实用符合逻辑的方式组织起来，从细节中提取出整体框架，并把它们用既合理又便于理解的文字呈现给读者。这为我带来了巨大的快乐。而且我发现，仔细检查我写的东西，重读它并使它变得更简练，也会让我生出满足感。
在研究生阶段，我多次因莱昂哈德·欧拉的多面体公式和欧拉示性数而感到惊讶。V-E+F这个表达式似乎无处不在。它既是基础的，又是深奥的；既富理论趣味，又有实际用途。它成了一直陪伴我的朋友。我意识到，由于这颗宝石常常出现在数学的前沿领域，不仅一般人，甚至很多数学专业的学生都对它感到陌生。于是我想到，应该有一本关于欧拉公式的书，而我就该是那个写书的人。之前我从未产生过写书的想法——这件事不在我的人生计划清单上，但我突然就兴奋了起来。我开始发动一场头脑风暴——罗列所有我知道的跟欧拉多面体公式（简称欧拉公式）相关的话题。我也去学校图书馆翻遍了每一本记载着这个公式的杂志和图书。
很快我就发现，有趣的不仅是这部分数学知识，还有它背后的历史。欧拉做了什么呢？为什么这个公式有时和笛卡儿或庞加莱的名字联系在一起？为什么古希腊人没有发现这个公式？它是如何从一个几何学定理转化成一个拓扑学定理的？有哪些有趣的人物为它的发展做出过贡献？我虽然读过一些关于数学史的书，但没有受过这方面的专业训练。因此，我一头扎进了文献的海洋中。读得越多，我对这个领域的喜爱就越深。我甚至还在我的大学里设计并教授了几门数学史课程。
我面临的奇怪挑战之一就是确定欧拉对这个公式的贡献到底是什么。我只能找到其他数学家对欧拉公式的证明，外加一些模糊的叙述，说欧拉本人的证明是有瑕疵的。欧拉写文章时用的是拉丁文，所以我找到了我在迪金森学院的同事兼朋友——古典学者克里斯·弗兰切塞——来帮我进行逐句翻译。于我而言，阅读欧拉原文的经历是一种惊喜，也让我眼界大开。他的证明的确有一个瑕疵，但很容易修正。
这时候，我只是把写书当作一项副业。我的大部分时间仍然花在教学，以及和我的长期合作者吉姆·怀斯曼一起研究拓扑学和动力系统上。但是，渐渐地，我在写书上也有了进展。考虑良久之后，我才确定了这本书面向的读者群体是谁。一开始，我几乎是以写教材的方式来写它的——每一章的结尾甚至有习题。但我一直很喜欢普林斯顿大学出版社所出版的那些数学书。它们针对的是普通大众，却没有削减数学内容。其中很多书的作者也是数学家，而不是那些在专业知识深度方面无法与他们匹敌的新闻记者。所以，我最终决定仿照普林斯顿大学出版社的书目来创作我自己的书。
当然，我的书涵盖了一些非常前沿的主题——拓扑学、动力系统、微分几何、图论等。是什么让我认为我可以把它写得能让一般人读懂呢？毕竟，在《时间简史》（1988）的前言中，斯蒂芬·霍金写道，“有人告诉我，我放进书里的每一个公式都会让书的销量减半。”而我的整本书都是关于一个方程的！
最终，我没有采纳那条来自霍金的编辑的建议。我认为展示真正的数学是没有问题的。我相信自己的判断，也相信读者们的水平。我不会居高临下地和他们说话。我不会仅仅因为那些美妙而有趣的数学知识难以可视化或涉及方程就对它们避而不谈。在我看来，一名学生直到本科生或研究生阶段才接触到的数学知识并没有那么复杂——至少它背后的思想没那么复杂。我把寻找多种途径以便读者理解这些数学知识视作一种挑战。我花了很多时间来绘制一些可能会对读者有帮助的图。我向不同的听众群体讲解了书中的内容，还把其中的一些段落搬进了我的数学史课程。人们给出的即时反应是不可替代的。你可以清楚地看到，在你解释完某个东西后，你的听众是点头表示听懂了还是两眼茫然地望着你。
但我还是没有真的指望有人会来读这本书。多年来，我都在写那种只有少数同领域的专家才会阅读的研究性文章，所以当我得知这本书引发的反响时，不禁目瞪口呆——它收到了非常正面的评价；它还获得了美国数学协会颁发的欧拉图书奖，并被授予了“一本杰出的数学书”的称号；它被翻译成了其他语言；而且最重要的是，人们真的在读它！我很享受读者的反馈——不管他们是数学家、学生，还是热爱数学但没有从事数学研究的人。写书的过程如同一种自私的追寻，我只是去调查那些激起我兴趣的话题。但这本书的成功说明其他人也对书中的观点产生了兴趣。
事后看来，我本应该料到读者会喜欢这本书——因为我的题材是绝佳的。人们喜爱拓扑学——橡皮膜几何学、单侧曲面、高维空间等。他们热爱多面体，也热爱欧拉公式。而且，近些年来，拓扑学经历了复兴——它是一门“很酷”的学科。2003年，格里戈里·佩雷尔曼证明了庞加莱猜想（也称庞加莱猜测），即数学中最著名的问题之一。随后，他拒绝了菲尔兹奖和一百万美元的克莱数学研究所千禧年大奖。和其他很多数学分支一样，拓扑学也从一门纯学术、纯理论的学科变成了一门实用且可计算的学科。如今，很多图书、杂志和会议都在探讨如何将拓扑学应用到各个领域，例如网络、数据分析、某些问题的定性解、机器人科学、蛋白质折叠和数字成像等。
除此之外，当时也是以欧拉为主题进行写作的完美时机。我们在2007年庆祝了他的三百周年诞辰，因此人们已经开始谈论这位堪比艾萨克·牛顿、卡尔·高斯和阿基米德却名气稍逊的天才了。最后，现存的文献中有一个空白：虽然很多人都写过与欧拉多面体公式有关的内容，但是没人写过这样一本书——一本将古希腊至今的2500年相关历史铺陈开来的书。
对于《欧拉的宝石》为我打开的种种大门，我一直心怀感激。我被邀请就我的书发表演讲，遇到了很多有吸引力的人，也收获了从事新职业的机会。例如，我被选为美国数学协会的大学生杂志《数学地平线》——一本源源不断地把有趣的数学和引人入胜的数学家故事输送给大众的杂志——的编辑。这可谓是我对数学的爱和说理写作之间的一段美好姻缘。
我想感谢我在普林斯顿大学出版社的编辑薇姬·卡恩，她始终相信我和我的计划。当一位读者在报告里直言不讳地指出我的书应该以1750年欧拉的证明来收尾，并且应该删掉所有的拓扑学内容时，她对我十分体贴。讨论了这条批评后，我们意识到问题出在期望上：我应该在一开始就更好地让读者了解这本书的主题。这需要两个小的改动——加上一个副标题（从多面体公式到拓扑学的诞生），以及写一篇介绍全书内容的序。这似乎奏效了——后续的读者评价里再也没有出现同样的批评了。
《欧拉的宝石》与阿尔伯特·爱因斯坦、理查德·费曼、乔治·波利亚、赫尔曼·外尔、斯蒂芬·霍金、罗杰·彭罗斯等杰出科学家和数学家的著作一起入选了“普林斯顿科学文库”系列书目，这是我莫大的荣幸。我真希望回到过去，对童年的自己说：“别相信那句谎话，一个人是可以同时成为数学家和作家的。”
大卫·里奇森
美国宾夕法尼亚州 卡莱尔
2018年12月
数学家就是一台把咖啡转化为定理的机器。
——奥尔弗雷德·雷尼（保罗·埃尔德什多次引用）
大四那年春天，我跟一个熟人说我即将从秋天开始攻读数学博士学位。他问我：“你在研究生阶段要干什么呢？研究非常大的数？还是计算出圆周率的小数点后更多位？”
这段亲身经历告诉我，一般大众对于数学是什么知之甚少，对于数学家所研究的内容也没什么概念。他们为新的数学还在被创造而震惊。他们认为数学只是数的科学，或者是一系列以微积分为尽头的课程。
然而，我其实从未沉迷于数本身。心算不是我的强项。我可以不用计算器就算出每个人该分摊多少晚餐钱或者该付多少小费，但是花的时间和其他人一样长。微积分也是我最不喜欢的大学数学课。
我享受寻找模式——越可视的越好——和拆解错综复杂的逻辑论证的过程。我办公室的书架上摆满了解谜类和脑筋急转弯类的书籍，书页的边缘有很多我童年时用铅笔做的记号。这些题目包括移动三根火柴棍来构造另一种形式，在满足某些规则的条件下找到一条网格通道，切开某个图形把它重新拼成正方形，在某张图中添加三条线从而把它分成九个三角形，以及其他类似的智力题。对我来说，这就是数学。
正因为喜欢空间的、可视的和逻辑的谜题，我总是被几何学吸引。但在大四时，我发现了拓扑学这个迷人的领域。它通常被理解为对非刚性形状的研究。它把优美的抽象理论和具体的空间变换结合在一起，完美契合了我的数学偏好。拓扑学宽松而灵活的观念让人感觉舒适。相比之下，几何学就显得有些刻板和保守了。如果说几何学是西装革履，那么拓扑学就是牛仔裤配T恤衫。
这本书既讲拓扑学的历史，又是拓扑学的赞歌。故事从拓扑学的萌芽时期开始——古希腊人的几何学、文艺复兴时期的数学家和他们对多面体的研究。随后，它讲到了十八、十九世纪的学者们对形状的仔细思考，以及他们是如何对那些不满足几何学的刚性限制的形状进行分类的。最后，故事结束于二十世纪早期发展起来的现代拓扑学。
学生时代，我们是从课本中学习数学的。课本所呈现的数学严密而有逻辑：定义、定理、证明、例子。但数学并不是这样被发现的。人们要经历许多年才能充分理解一个数学主题，然后写出一本结构紧凑的教材。纵观数学被创造的过程，有缓慢的小进展，有大飞跃，有错误，有改正，也有不同领域间建立起的联系。本书便展示了激动人心的数学发现过程——众多聪明的头脑思考、怀疑、提炼、推动，并且改变了前人的成果。
我没有直接简述拓扑学的历史，而是选择用欧拉多面体公式（简称欧拉公式）来当导游。1750年，欧拉公式被发现，标志着几何学开始向拓扑学转型。本书将以欧拉公式为线索，看它是怎样从一个新奇的结果“进化”为一个深刻而实用的定理的。
欧拉公式是一个理想的导游，因为它能带你游览那些一般人无法进入的奇妙场所。追随欧拉公式的脚步，我们可以看见数学中最有趣的一些领域——几何学、组合数学、图论、纽结理论、微分几何、动力系统和拓扑学。这些美妙的主题是一名典型的学生——甚至数学专业的本科生——未必会接触到的东西。
在这趟旅程中，我也能愉快地向读者介绍一些历史上最伟大的数学家：毕达哥拉斯、欧几里得、开普勒、笛卡儿、欧拉、柯西、高斯、黎曼、庞加莱和其他很多人——他们都对拓扑学乃至整个数学做出了重要贡献。
阅读本书不需要什么正式的预备知识，一名学生能在一般的高中数学课里学到的东西——代数学、三角学、几何学——就够了，但其实它们大都跟书中讨论的内容无关。本书在理论上是自给自足的，但在少数情况下需要用到高中数学知识，讲到时我会提醒读者。
不过，可别被我的话给误导了——书中提到的有些想法是相当复杂的，既抽象又难以可视化。读者必须乐于仔细阅读逻辑论证，并调动抽象思维。读数学书和读小说不同，读者应该准备好时不时地停下来，思索每一句话，重读证明过程，努力想出其他例子，认真查看文本间的插图，寻找整体框架。
当然，本书的结尾没有作业和期末考试题。跳过困难的部分没什么好感到羞耻的。如果某个麻烦的证明太难以理解，翻看下一个话题就好。这并不会使本书的剩余部分变得无法阅读。读者也许想要把疑难页的页角折起来，以便日后回顾，这也是可行的。
我认为，本书的读者自主地选择了这本书。任何一个想阅读它的人都应该能读到它。它的受众不是所有人，因为那些不能理解和欣赏数学之美的人根本就不会拿起它。
我的宝贵优势在于，我不是在写一本教材。我竭尽全力用诚实而严密的方式讲解数学，但我也省略了一些恼人的细节，因为它们给人带来的困惑比它们所阐释的东西要多得多。通过这种方式，我就可以在维持理论高度的同时更着墨于思想、直觉和整体框架。对于本书中很多迷人的数学思想，我不得不只粗浅地谈及。但任何一个对缺失的细节感兴趣的读者都可以去查询附录B中的推荐阅读材料。
尽管这本书的读者范围很广，但本书也是为数学家而写的。它的部分内容和其他书有重合，但那些书中没有哪一本能完全涵盖本书的内容。本书的末尾列出了很多结果的原始出处。它应该可以帮助学者们更深入地挖掘相关主题。
本书的结构如下。第二章到第六章讲述了欧拉之前的时代看待多面体的方式。这几章的重点是一类最著名的多面体，也就是正多面体。第七章、第九章、第十章、第十二章和第十五章介绍了欧拉公式及其在其他刚性多面形状上的推广形式。这段讨论会一直把我们带到十九世纪中期。第十六章、第十七章、第二十二章和第二十三章重点介绍了人们从十九世纪末起是怎样从拓扑学角度理解欧拉公式的。这些章会探讨曲面和更高维的拓扑对象。
本书也涉及欧拉公式的多种应用。第八章谈到了欧拉公式的一些简单应用。第十一章、第十三章和第十四章的重点是图论。第十八章到第二十一章主要讲述曲面、曲面和欧拉公式的关系，以及它们在纽结理论、动力系统和几何学方面的应用。
我希望读者们能享受阅读本书的过程，就像我享受写作的过程一样。它对我来说是一个巨大的解谜游戏——一个学术版的寻宝游戏。找到散落的碎片，再把它们拼成一个统一的故事，这在我眼中既是挑战也是乐趣。我热爱我的工作。
大卫·里奇森
迪金森学院
2007年7月6日
哲学被写在这部鸿篇巨制——我指的是宇宙——中，我们随时都能翻阅它。但如果不首先学着解读书中的语言和文字，就没有人能够读懂。这语言是数学，这文字则是三角形、圆及其他几何图形。若是没有它们，人们甚至不可能理解书中的一丝一毫；若是没有它们，读者将在幽暗的迷宫里一直徘徊。
——伽利略
他们都错过了它。古希腊人——诸如毕达哥拉斯、特埃特图斯、柏拉图、欧几里得和阿基米德这些痴迷于多面体的数学大家——错过了它。杰出的天文学家约翰内斯·开普勒对多面体的美如此敬畏，以至于基于它们构造了一个太阳系模型，但他也错过了它。数学家兼哲学家勒内·笛卡儿在研究多面体时只要从逻辑上再往前迈几步就能发现它了，可他也还是错过了它。上述数学家和他们的许多同行都错过了这个关系式。它简单到可以被解释给任何一个小学生听，但也重要到成为现代数学体系里的一部分。
伟大的瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（1707—1783）——他的姓氏读音听起来像是“涂油工”——却没有错过它。1750年11月14日，在一封给自己的朋友——数论学家克里斯蒂安·哥德巴赫（1690—1764）——的信中，欧拉写道：“据我所知，这些立体测量学（立体几何）中的一般性质还没有被任何人注意到，这令我感到震惊。”欧拉在信中描述了他的观察结果，又在一年后给出了一个证明。这个结果是如此地基本和重要，以至于人们现在称它为“欧拉多面体公式”（简称欧拉公式）。
多面体是一种如图I.1所示的三维对象。它由一些平坦的多边形面构成。每一对相邻的面相交于一条叫作棱的线段，而每一组相邻的棱则交于一个拐角，或者说一个顶点。欧拉注意到顶点数、棱数和面数（分别用V、E和F表示）总是满足一个简单而优雅的算术关系（即欧拉公式）：
V-E+F=2
图I.1 立方体和足球（截角二十面体）都满足欧拉公式
立方体大概是最广为人知的多面体了。快速数一数，可以发现它有6个面：顶端的正方形、底部的正方形和侧面的4个正方形。这些正方形的边界构成了棱。我们总共能数出12条棱：顶端的4条、底部的4条和侧面沿垂直方向的4条。顶端的4个拐角和底部的4个拐角则是立方体的8个顶点。因此，立方体的V=8，E=12，F=6，并且显然有
8-12+6=2
对于图I.1中的足球状多面体来说，要数清这3个数值更困难一些，但我们还是可以得知它有32个面（12个正五边形和20个正六边形）、90条棱和60个顶点。同样，
60-90+32=2
除了研究多面体，欧拉还开创了“位置几何学”这一领域，也就是今天的拓扑学。几何学是对刚性对象的研究，着重测量面积、角度、体积和长度这样的量。拓扑学——俗称“橡皮膜几何学”——研究的则是可塑的形状。一位拓扑学家的研究对象不一定得是刚性的或几何的。拓扑学家的兴趣在于确定连通性、检测孔洞和调查扭曲程度。当狂欢节里的小丑把一个气球拧成小狗的形状时，气球仍然是原来的那个拓扑实体，但在几何学上它已经变得极为不同。然而，当一个孩子用铅笔扎破气球，在上面留下一个洞之后，气球从拓扑学上来讲就改变了。从图I.2中我们能看到三个拓扑曲面的例子——球面、甜甜圈状的环面和扭曲的默比乌斯带。
图I.2 拓扑曲面：球面、环面和默比乌斯带
在拓扑学这个年轻的领域中，学者们被欧拉公式所吸引，并且想把它应用到拓扑曲面上。一个明显的问题随之而来：拓扑曲面上的顶点、棱和面在哪里呢？为此，拓扑学家舍弃了几何学家所设的刚性规则，允许面和棱变得弯曲。在图I.3(a)中，我们看到一个球面被分成了“矩形”和“三角形”区域。这种划分是通过画出12条交汇于两极的经线和7条纬线来实现的。整个球体上有72个弯曲的矩形面和24个弯曲的三角形面（三角形面在北极和南极附近），共计96个面。与此同时，棱有180条，顶点有86个。因此，如同多面体的情形那样，我们发现
V-E+F=86-180+96=2
(a) (b)
图I.3 球面的两种划分
类似地，2006年世界杯的用球由六块四条边的沙漏形球皮和八块畸形的六边形球皮组成，如图I.3(b)所示。它同样满足欧拉公式（V=24，E=36，F=14）。
现在，我们不禁会猜想欧拉公式适用于所有的拓扑曲面。然而，如图I.4所示，如果把一张环面分成弯曲的矩形面，我们会得到一个惊人的结果。这种划分方式是，绕着环面的中心空洞画2个圆，并绕着它的管状部分画4个圆。由此，我们有了8个4条边的面、16条棱和8个顶点。仿照欧拉公式，我们算出
V-E+F=8-16+8=0
图I.4 环面的划分
而不是等于预料中的2。
假如对环面做一种不同的划分，我们会发现上述交错和仍然等于0。这就给了我们一个环面版的新欧拉公式：
V-E+F=0
我们可以证明，每一种拓扑曲面都有它“自己的”欧拉公式。不管我们把一张球面分成6个面还是1006个面，只要运用欧拉公式，我们总会得到2。类似地，如果我们把欧拉公式应用到环面的任何一种划分上，我们就会得到0。这些特殊的数值可以用来区分不同的曲面，就像轮子的个数可以用来区分公路上的不同车辆一样。每一辆小轿车都有四个轮子，每一辆牵引挂车都有十八个轮子，而每一辆摩托车都有两个轮子。如果一辆车的车轮数不是四，那么它就不是小轿车；如果一辆车的车轮数不是二，那么它就不是摩托车。同样的道理，如果一张曲面的V-E+F不等于0，那么以拓扑学的观点来看，它就不是环面。
V-E+F这个量是形状的一个固有特征。用拓扑学家的语言来说，它是曲面的一个不变量。由于不变性是一个强大的性质，我们把V-E+F叫作曲面的欧拉数。球面的欧拉数是2，环面的欧拉数则是0。
此时看来，每张曲面都有自己的欧拉数这一事实似乎只是个数学奇闻而已。当你手拿足球或远眺短程线穹顶时，即使想到它也不会觉得有多么酷。但事情并非如此。我们将会看到，欧拉数在多面体的研究中是一种不可或缺的工具，更不用说对拓扑学、几何学、图论和动力系统而言了。而且，它还有一些非常优雅且出人意料的应用。
一个数学中的纽结看起来像是一根缠成一团的绳子，如图I.5所示。如果一个纽结能在不被切断或重新粘连的情况下变成另一个纽结，那它们本质上就是相同的。就像欧拉数可以用来分辨曲面那样，稍稍再调动一点聪明才智，我们就能用它来分辨纽结。利用欧拉数，我们可以证明图I.5中的两个纽结是不同的。
图I.5 这两个纽结相同吗
从图I.6中我们可以看到一张地球表面在某个时刻的风向模式图。在这个例子中，有一个离智利海岸不远的无风点。它位于那个沿顺时针旋转的风暴的中心平静处。我们可以证明，无论何时，地球表面总有至少一个点是无风的。这不是基于对气象学的理解，而是基于对拓扑学的理解。这个点的存在性是用一个被数学家们称为“毛球定理”的结果推导出来的。如果我们把风想象成地球表面的一缕缕毛发，那么地球表面总有一个点的头发是翘起来的。更通俗的说法是“你不能帮椰子梳好头”。到了第十九章，我们会看到欧拉数是怎样让我们建立起这个大胆的论断的。
图I.6 地球上总有一点无风吗
在图I.7中，我们看到一个点阵中的多边形。这个点阵中相邻两点的间距为单位长度，多边形的顶点则正好位于某些格点处。令人惊奇的是，我们可以通过数点来精确计算出这个多边形的面积。我们会在第十三章借助欧拉数推导出一个优雅的公式，它用多边形边界上的点数（B）和多边形内部的点数（I）算出了多边形的面积：
面积= I+B/2-1
利用这个公式，我们得知图中多边形的面积为5+10/2-1=9。
图I.7 可以用数点的方式计算阴影多边形的面积吗
曾有一个古老而有趣的问题，问的是用多少种颜色来给地图上色才能使每一对共享边界的相邻区域有不同的颜色。让我们拿一张无色的地图，然后用尽可能少的蜡笔给它涂色。你很快就会发现，其中大多数区域都可以只用三种颜色的蜡笔就涂好色，但要真正地完成任务还是需要第四种颜色。例如，由于内华达州被奇数个州所环绕，你需要三种颜色的蜡笔来给后者上色——接着你会需要第四种颜色来给内华达州本身上色（见图I.8）。如果我们够聪明，那我们就不需要第五种颜色——四种颜色就足以给整个地图上色了。长久以来，人们一直猜测所有的地图都可以用四种或更少的颜色涂好色。这个“臭名昭著”又异常棘手的问题如今以“四色问题”的名字被人们所熟知。我们将在第十四章中回顾它的迷人历史，并看看它最后是如何在1976年被人们用一种有争议的方式证明的——欧拉数在其中发挥了重要作用。
图I.8 我们能只用四种颜色给地图上色吗
石墨和钻石是两种完全由碳原子构成的物质。1985年，三位科学家——罗伯特·柯尔，理查德·斯莫利和哈罗德·克罗托——震惊了科学界，因为他们发现了一类新的全碳分子。他们把这些新分子称为富勒烯，借用了设计出短程线穹顶的建筑师巴克敏斯特·富勒的名字。之所以这样命名，是因为富勒烯是一种结构类似于短程线穹顶的多面体状分子。凭借对富勒烯的发现，他们三人被授予了1996年的诺贝尔化学奖。在一个富勒烯中，每个碳原子恰好和三个碳原子相邻，而碳原子的环则构成了五边形和六边形。一开始，柯尔、斯莫利和克罗托只找到了由60个和70个碳原子构成的富勒烯，但其他富勒烯也在后来被发现。最常见的富勒烯是被他们称作“巴克敏斯特·富勒烯”的足球形分子C60（见图I.9）。出人意料的是，就算不懂任何化学知识，只掌握了欧拉公式，我们也能断言某些构型在富勒烯中绝对不可能存在。例如，不管分子大小如何，每个富勒烯一定恰好包含12个五边形的碳原子环，虽然六边形碳环的个数可以有所不同。
图I.9 C60，即巴克敏斯特·富勒烯
数千年来，人们一直被美丽而诱人的正多面体所吸引——它们的每个面都是完全相同的正多边形（见图I.10）。古希腊人发现了这些对象，柏拉图把它们吸收进了自己的原子论，而开普勒则基于它们构造了一个太阳系模型。这些多面体的一个神秘之处是它们的种类太少了——除了图中的五种外，再没有别的多面体满足正则性的严格限制了。欧拉公式最优雅的应用之一便是可以快速证明有且仅有五种正多面体。
图I.10 五种正多面体
尽管欧拉公式既重要又优美，它却基本上不被普通大众所知。学校的标准课程中没有它。一些高中生也许知道欧拉公式，但很多学数学的学生直到本科阶段才会遇到它。
数学声誉是一种奇特的东西。有些数学成果之所以著名是因为它们被刻进了年轻学生的脑海中：毕达哥拉斯定理（即勾股定理）、一元二次方程求根公式、微积分基本定理。另外一些数学成果出现在聚光灯下是因为它们解决了一个悬而未决的著名问题。费马大定理困扰了人们三百多年，直到安德鲁·怀尔斯1993年用他的证明震惊世界。四色问题在1852年被提出，但到1976年才被肯尼思·阿佩尔和沃尔夫冈·哈肯证明。大名鼎鼎的庞加莱猜想于1904年被提出，是克莱数学研究所的千禧年大奖难题之一——那七个问题是如此重要，以至于任何能解决其中之一的数学家都将获得一百万美元。格里沙·佩雷尔曼在2002年给出了一个庞加莱猜想的证明，因此他可能会被授予这笔奖金。除此之外，还有一些数学事实是由于它们的跨学科魅力（例如自然界中的斐波那契数列）或历史重要性（例如素数有无穷多个，π是无理数）而被人们所熟知的。
欧拉公式也应该像上述数学成果一样声名远扬。它有缤纷多彩的历史，它的相关理论也凝聚了众多世界上最伟大的数学家的贡献。它是一个深刻的定理。一个人的数学素养越高，他就越能领略到欧拉公式的深刻之处。
这是欧拉的美丽定理的故事。我们将追溯它的历史，展示它是如何在古希腊人的多面体和现代的拓扑学之间架起一座桥梁的。我们会罗列它在几何学、拓扑学和动力系统中的许多惊人而有欺骗性的形式。我们也会给出一些需要用欧拉公式来证明的定理。我们将会明白，这个长期不被关注的公式为何能成为数学中最受喜爱的定理之一。
读读欧拉，读读欧拉吧，他是我们所有人的老师。
——皮埃尔·西蒙·拉普拉斯
我们对夸大事实的情况早已司空见惯。电视购物节目、广告牌、体育解说员和流行音乐家们经常向我们抛出“最伟大”“最好”“最鲜艳夺目”“最快”和“最闪耀”这样的冲击性词汇。这些词已经丧失了它们的字面含义——它们被频繁地用于普通的产品售卖或是取悦观众的过程中。因此，当我们说莱昂哈德·欧拉（见图1.1）是历史上最有影响力和最多产的数学家之一时，读者也许会变得目光呆滞。然而，我们并没有在夸大事实。人们普遍认为，欧拉和阿基米德（公元前287—前212）、艾萨克·牛顿（1643—1727）、卡尔·弗里德里希·高斯（1777—1855）一样，都是按重要性和影响力可以排进历史前十——或者前五——的数学家。
图1.1 莱昂哈德·欧拉
在76年的人生中（1707—1783），欧拉取得的数学成果足以写成整整74卷的著作，这超过了其他任何一位数学家。到全部被出版为止（他去世后的79年间，新的材料都还在涌现），他的所有著作共计866种，有论述最前沿主题的书和文章，有基础教科书，有写给未受科学训练者的书，还有技术手册。这还没有把他预计多达15卷的书信集和笔记算进去——它们仍处于编纂中的状态。
然而，欧拉的地位之所以重要，并不是因为他的著作卷帙浩繁，而是因为他对数学做出了深刻而有开创性的贡献。欧拉不只是某个特定领域的专家，他也是伟大的全才之一：他的专长横跨多个学科。在分析学、数论、复分析、微积分、变分法、微分方程、概率论和拓扑学领域，他都发表过有影响力的文章，也出版过图书。这还不包括他在应用科学——例如光学、电磁学、力学、流体力学和天文学——方面的贡献。此外，欧拉身上还有一项在过去和现在的顶级学者中都十分稀缺的特质：他是一流的讲解者。和之前时代的数学家不同，欧拉写作时用的是清晰、简明的语言，这使得他的著作在专家和学生看来都具有可读性。
欧拉是一个温和而不事张扬的人，他的生活完全以自己的大家庭和工作为中心。他曾先后住在瑞士、俄国、普鲁士，最后又去了俄国。他和许多十八世纪的重要思想家都有书信往来。他的职业生涯和三个欧洲的“大”统治者联系在一起——彼得大帝、腓特烈大帝和叶卡捷琳娜大帝。这些领导者的功绩之一就是建立或复兴了自己国家的科学院。正是这些科学院给了欧拉支持，使他能把时间花在纯粹的研究上。而他们三人期望从欧拉那里得到的全部回报便是偶尔利用他的科学专长解决一些国家事务，并凭借他的名望赢得世人对自己国家的赞誉。
1707年4月15日，莱昂哈德·欧拉出生于瑞士巴塞尔，父亲是保罗·欧拉，母亲是玛格丽特·布鲁克·欧拉。此后不久，全家就搬到了附近的小镇里恩。在那里，保罗找了一份加尔文宗牧师的工作。
欧拉最初受到的数学训练来自他的父亲。虽然保罗并不是数学家，但他曾在著名的雅各布·伯努利（1654—1705）那里学过数学。当时，他和雅各布的弟弟约翰（1667—1748）都是巴塞尔大学的学生，寄宿在雅各布家。雅各布·伯努利和约翰·伯努利同属那个后来在数学史上最被景仰的家族。在长达一个多世纪的时间里，伯努利家族在数学的发展历程中扮演了重要角色，其中至少有八人为数学做出了巨大贡献。
欧拉不到十四岁时便开始正式在巴塞尔大学学习。这对那个年代的大学生来说并不是一个不寻常的年龄。巴塞尔大学的规模相当之小——学校里只有几百名学生和十九名教授。保罗希望自己的儿子走上牧师的道路，因此欧拉学习了神学和希伯来语。但他的数学能力却无可否认，并且很快吸引了父亲的朋友约翰·伯努利的注意。这时，约翰已经是欧洲的顶尖数学家之一了。
约翰是个傲慢无礼的人，有着强烈的好胜心，这引发了很多众所周知的竞争（包括他与哥哥的竞争，以及与自己儿子的竞争）。不过，他却认可了小欧拉卓越的天赋，并鼓励后者钻研数学。欧拉后来在自传中写道：“如果我遇到了一些障碍或困难，我可以在每周六下午不受限制地拜访他，而他会和善地向我解释任何我不懂的东西。”这些课程对欧拉数学技巧的成熟起到了非常重要的作用。
尽管欧拉已开始在数学学习中崭露头角，保罗却仍希望自己的儿子成为牧师。十七岁那年，欧拉拿到了哲学硕士学位。约翰担心数学的门徒会被教会夺走，因此他站了出来，明确地对保罗说欧拉有成为伟大数学家的潜力。出于对数学的喜爱，保罗的态度缓和了。欧拉虽然放弃了牧师的职位，但他在余生中始终都是一名虔诚的加尔文宗的信徒。
十九岁时，欧拉达成了自己的第一个数学成就。他从理论上分析了船桅的理想放置方式，在法兰西科学院赞助的一项高声誉竞赛中获得了二等奖，或者说“优秀奖”。这一壮举对任何一个青少年来说都是不可思议的，对他这个从未亲眼见过海上船只的瑞士年轻人而言就更是如此。在这项竞赛中，欧拉没有得到最高奖——那就跟在今天荣获诺贝尔奖差不多——但他后来一共有十二次在不同的场合获得过最高荣誉。
欧拉降生之时，在巴塞尔东北方1000英里[1]处，俄国沙皇彼得大帝（1672—1725）正在主持圣彼得堡的修建工作。这座城市动工于1703年，建于一片沼泽地上，紧靠涅瓦河的波罗的海入海口。彼得大帝逼迫劳工们同时修建圣彼得堡和彼得保罗要塞，后者是涅瓦河中一座岛上的战略要地。他喜爱这座新城市，称它为他的“天堂”，还用自己的主保圣人的名字来给它命名。尽管大多数俄国人，尤其是政府官员，对这个寒冷潮湿之地并不抱有彼得的那种情感，但他还是把俄国的首都从莫斯科迁到了圣彼得堡。年轻的欧拉此时还完全料想不到，在他生命中的一大段时光里，这座城市都将是他的家。
[1]1英里= 1.609千米。
彼得大帝身材雄伟（见图1.2），有接近7英尺[2]高。他精力充沛，自学成才，意志坚定，在1682年到1725年间都是俄国的领导人。他以无情的改革而闻名，开启了俄国从封建农业国家到强大帝国的转变。他的目标是俄国政府、文化、教育、军事和社会的现代化，也就是西方化，这在很大程度上都实现了。正如一位俄国历史学家所写：“转眼间，不需经院哲学、文艺复兴和宗教改革，俄国便从一个狭隘的、宗教的、准中世纪的文明跃进到了理性时代。”
[2] 1英尺= 0.3048米。
图1.2 俄国的彼得大帝
在西方化的进程中，彼得想对俄国的教育体系进行革新。事实上，除了强大的东正教会提供的最低程度教育之外，俄国的教育系统在彼得上台之前可谓并不存在。因此，俄国没有科学家。由于教会的强势，俄国人害怕对世界进行科学的解释，反而更偏好传统的宗教解释。彼得意识到，俄国的国际形象需要提升，外国人对俄国人的刻板印象——厌恶科学——需要被驱除。他也知道，拥有科学项目对于建立和维系一个强大的国家来说是至关重要的。
彼得拜访了成立于1660年的英国皇家学会和成立于1666年的法兰西科学院。在那里，他的所见所闻令他印象深刻。他也仰慕1700年在戈特弗里德·莱布尼茨（1646—1716）的建议下成立的新柏林科学院。莱布尼茨是一位声名卓著的数学家，他和牛顿都被认为是微积分的发明者。这些研究院并不是大学；它们“致力于探索新知识，而非传播已有的智慧”。研究院的成员是学者而非教师，他们的首要目标是推动人类知识的进步。
彼得想要创立一所堪比巴黎、伦敦和柏林的科学院的研究院，而且想把它建在他的新城市圣彼得堡。他向莱布尼茨寻求了建议。在接近二十年的时间里，他和莱布尼茨进行过多次关于教育改革和创立科学院的对话，有些是通过书信，有些则是面对面的。
1724年，彼得终于完成了在圣彼得堡创立科学院的计划，这是他的教育改革探索中最后也最雄心勃勃的一步。然而，他不能让他的研究院完全效仿欧洲其他国家的做法。因为俄国没有本土科学家，所以他必须劝说那些有才能的外国科学家到圣彼得堡来工作。而且，由于俄国没有大学教育体系，这所科学院也必须发挥大学的作用。科学院收到的命令之一便是对俄国人进行科学训练，使得这个机构不必一直依赖外国人。
彼得没能看到自己的努力开花结果，他于1725年早早去世。不过，幸亏有女皇叶卡捷琳娜一世（1684—1727）——彼得的第二任妻子，科学院计划才得以继续。彼得死后的数月里，外国学者们陆续到来，科学院也在当年年底召开了第一次会议。彼得是幸运的，因为叶卡捷琳娜一世欣然接受了创办科学院的想法。在之后的年月里，科学院并不总能得到俄国领导人的支持。从彼得去世到叶卡捷琳娜大帝（1729—1796）加冕的三十七年间（1725—1762），俄国出现过六个统治者，而科学院总是任由这些固执己见的强人摆布。
最初，科学院雇用了十六位科学家：十三个德国人、两个瑞士人和一个法国人——没有俄国人。德国人的人数优势和俄国人的缺乏为日后的紧张局势埋下了伏笔。
圣彼得堡天寒地冻，位置偏远，又在学术氛围上相对孤立，因此科学院必须提供高薪和舒适的住处才能吸引来这些外国科学家。新科学院的规模不大，但它很快就实现了最初的承诺，成了一所蜚声国际的重要科学机构。最终，它变成了俄国所有科学研究的中心。科学院曾几度更名，但它直到今天依然存在，并以“俄罗斯科学院”的名字闻名于世。
科学院的外国学者中，有两位学术明星是欧拉的朋友，同时也是约翰·伯努利的儿子——尼古劳斯·伯努利（1695—1726）和丹尼尔·伯努利（1700—1782）。离开瑞士前，两兄弟和欧拉谈起过科学院的事，并许诺会尽快为他找到一个职位。到达俄国后，他们立刻就开始游说科学院的管理人员雇用他们那位才智过人的年轻朋友。很快，他们的努力得到了回报。1726年，科学院向欧拉提供了一个医学和生理学部门的职位。但不幸的是，这无法让欧拉真正感到欣喜或为之庆祝，因为他将要填补的空缺是尼古劳斯悲剧性的英年早逝带来的。
科学院提供的工作让欧拉很感激，但他没有马上动身去俄国。有两个原因让他想要留在巴塞尔，把新工作先放在一边。首先，他接受的是一份医药部门的工作，但他对这个领域知之甚少，所以他决定先在巴塞尔大学学习解剖学和生理学。其次，他想再等一阵子，看看巴塞尔大学是否会聘任自己为物理学教授。1727年春天，当他听说得到物理学教授这份工作的另有其人之后，他便动身去了俄国。从此，欧拉开始了在圣彼得堡的生活。他将在这座城市居住十四年，并且还会回到那里，度过生命中的最后十七年。
欧拉先坐船，再步行，又乘了马车，历经七周的跋涉，终于到达了圣彼得堡。就在他踏上俄国土地的那一天，在位仅仅两年的女皇叶卡捷琳娜一世去世了。新科学院的命运又变得飘忽不定起来。那些代表不满十二周岁的沙皇彼得二世（1715—1730）——彼得大帝的孙子——实际掌权的人认为科学院是一个花销巨大的奢侈项目，想要关停它。但幸运的是，科学院还是得以继续开办。而且尽管局面持续混乱，欧拉却来到了他真正的归属之地——数学-物理部门，而非医药部门。1727年是欧拉数学家生涯的第一年，也是数学巨人艾萨克·牛顿倒下的那一年。
在彼得二世的治下，科学院成员的日子并不好过，因此，随着这位十五岁的沙皇于1730年去世，他们都希望自己的命运能有所好转。事实上，在新沙皇安娜·伊万诺芙娜（1693—1740）的十年统治中，科学院的情况的确好了一些，但整个俄国的情况却变得更加糟糕。安娜在她的政府中引入了一股强大的德系势力，以她的情人恩斯特-约翰·比龙（1690—1772）为首。比龙是个冷酷的暴君，处决了数千名俄国人，还把数以万计的俄国人流放到了西伯利亚。普通罪犯、旧信徒（信奉俄国东正教的人）和安娜的政敌都成了比龙的攻击目标。后来，普鲁士王后问身在柏林的欧拉为何如此沉默寡言，他答道：“夫人，这是因为我刚从一个国家过来，那里每个开口说话的人都被绞死了。”
1733年，丹尼尔·伯努利受够了俄国的艰难生活和科学院内部的勾心斗角，回到了瑞士。欧拉则以二十六岁的年纪接替了丹尼尔的位置，成为科学院数学部门的负责人。
这时候，欧拉意识到自己可能会在俄国待上很久，甚至往后余生都将留在这里。抛开俄国的政治氛围所带来的种种困难，他的生活还算舒适。他精通俄语，也因为晋升后的加薪在经济上无须忧虑。于是，1733年，他决定和卡塔琳娜·格塞尔结婚。她是瑞士画家格奥尔格·格塞尔的女儿，而她的父亲被彼得大帝带到了俄国。莱昂哈德和卡塔琳娜组建的家庭孕育了十三个孩子。然而，如同那个时代的常态一样，这些孩子中只有五个平安活过了童年，也只有三个比自己的父母活得更久。
丈夫和父亲的角色没有减缓欧拉发表研究成果的速度。在这个阶段，以及他学术生涯的每个阶段，他都是一个极度活跃的研究者。对于欧拉的高产，我们再怎么描述也很难言过其实。一些关于数学的民间故事提到，欧拉可以一边把婴儿放在腿上摇晃一边写数学文章，而且在家人两次提醒他吃晚饭的间隔时间内就可以写成一篇论文。他的写作主题无所不包：他创作过杰作，写过简短的笔记，还写过关于结果修正、解释的文章，以及部分完成的成果、证明的思路、数学入门方法介绍和技术类书籍。
没有任何障碍可以拖慢欧拉的脚步，连失明也没能阻挡他如潮水般输出的数学成果。1738年（一说1735年），他连续三天研究一个天文学难题之后病倒了。人们一直认为这就是使他右眼视力衰退并最终失明的原因，尽管现代医学降低了这种说法的可信度。欧拉面对视力的损伤泰然自若。他以一贯的谦逊评论道：“这下子能让我分心的事就更少了。”后来，他的左眼也看不见了，他几乎在完全的黑暗中度过了人生的最后十七年。可即使这样，他仍然不断为数学做着重要贡献，直到生命中的最后一天。
欧拉的大脑和其他人不同，似乎是专为数学而生的。他能在脑中同时思考许多抽象的概念，也能完成惊人的心算。有一个著名的故事，说的是欧拉的两个学生曾对十七个分数项求和，却发现得到的结果不一样。欧拉在脑中迅速完成了计算，给出了正确答案，平息了争论。数学家弗朗索瓦·阿拉戈（1786—1853）写过一句著名的话：“欧拉计算时几乎毫不费力，就像人类呼吸或老鹰在风中翱翔一样。”对此，欧拉谦虚地说，他凭借的是对符号的使用而不是聪明才智，而他的铅笔在智识上更胜于他自己。
欧拉也天生就有着神乎其神的记忆力。他记住了无数的诗歌，从孩提时代到两鬓斑白，他一直能背诵维吉尔的《埃涅阿斯纪》的全文，甚至能说出其中任何一页上的第一句和最后一句。关于他超凡的记忆力，一个更数学化的例子是，他能说出前100个整数的1到6次幂。为了让你有个概念，举个例子，99的6次幂等于941480149401。
在圣彼得堡，欧拉也为俄国的国家项目投入了时间。1735年，他被任命为科学院地理部门的负责人，之后为俄国亟需的地图的绘制工作做出了巨大的贡献。他也写过一部关于船只制造的两卷本著作，这套价值连城的书使得科学院把他当年的薪水涨了一倍。
即便是欧拉正享受学术上的高产、幸福的家庭生活和可观的收入时，俄国的形势也在持续恶化。科学院的气氛已变得非常紧张，甚至充满了敌意。很多资深教授都是德国人，俄国人的受聘率仍然很低。科学院成立后的前十六年中，只有一个俄国人获选为成员，而且他还是一个从来没有晋升为教授的次要角色。俄国人厌恶德国人的权势，甚至公开表达了反德国的观点。幸运的是，谦逊而寡言的欧拉在科学院的内部斗争中保持了中立。但这种环境还是让他在工作时感受到了压力。
安娜政府中的比龙和“德国派”使俄国人民日益畏惧和憎恨德国人。1740年下半年，快走到生命尽头的安娜将比龙任命为摄政王，辅佐她的继任者，也就是仅仅两个月大的伊万六世（1740—1764）。安娜死后，俄国人对德国人的仇恨到达了顶峰——不到一个月比龙就被赶下了台，而一年后伊万和整个“德国派”都被剥夺了权力。彼得大帝的女儿伊丽莎白一世（1709—1762）成了下一任女皇。
这个时期在俄国生活是十分艰险的，尤其是对外国人而言。外国学者都被投以怀疑的目光，因为他们可能是西方的间谍。对这种状况，欧拉的回应是保持安静，并把自己的所有时间都投入工作和家庭上。但到了1741年，欧拉再也无法忍受在俄国的生活了，因此他决定离开圣彼得堡去往柏林。
柏林科学院成立于1700年，最初的名字是皇家科学学会。莱布尼茨曾为它制订过一些宏大的计划。如同巴黎和伦敦的科学院一样，柏林科学院把重心放在科学和数学上；但不同之处在于，它扩大了自己的研究范围，将历史、哲学、语言和文学也纳入其中。
尽管莱布尼茨的期望很高，但柏林科学院的腾飞却相当缓慢。部分的困难在于频繁的资金不足，以及科学院内部法国人和德国人的对立。1713年，随着弗里德里希·威廉一世（又译作腓特烈·威廉一世）的登基，情况进一步恶化。在这个反智君主的统治下，科学院被彻底忽视了。因此，柏林科学院丝毫没有展现出像巴黎科学院和伦敦科学院那样的成功。它在科学发展的进程中无足轻重；事实上，它甚至被冠以了“无名学会”的名号。
1740年，弗里德里希·威廉一世去世，他的儿子弗里德里希二世（又译作腓特烈二世，1712—1786），即后世所称的腓特烈大帝（见图1.3），登上了王位。虽然威廉一世刻意培养了儿子的领导能力，但腓特烈仍在很多方面都跟自己的父亲截然不同。父子二人的矛盾极深。十八岁时，腓特烈在试图逃到国外时被抓住了。他的父亲处决了他的好友兼同谋（也有人说那是他的同性爱人），并强迫他亲眼见证了行刑过程。
图1.3 普鲁士的腓特烈大帝
腓特烈大帝即位后决意要开拓德国的领土，但他也偏好艺术和哲学。他渴望成为一位开明的统治者兼哲学家，而复兴科学院正是他的重振国威计划中重要的一环。
和自己的父亲不同，腓特烈大帝鄙弃德国文化，喜爱一切跟法国相关的东西。他将柏林科学院的官方名字改成了法语的“皇家科学院与文学院”。他坚持把法语作为科学院的官方语言，要求科学院的期刊上发表的文章要么是用法语写成的，要么是译成了法语的。他更喜欢身边围绕着言辞诙谐的法国人，而不是冷静且不动声色的德国人。伏尔泰（1694—1778）是他最喜欢的通信者之一，也是和他关系最亲密的科学院事务顾问。正是伏尔泰首先提出了建议，让腓特烈大帝诱使欧拉离开俄国加入柏林科学院。
腓特烈对数学类学科深恶痛绝。1738年，他在给伏尔泰的信中写道：“至于数学，我得向你承认我讨厌它，它让人绞尽脑汁。我们德国人在上面耗费太多精力了；这是一块贫瘠的田地，得靠时常耕作和浇水才能有所产出。”他把数学——和一般的科学——看作国家的仆从。他根据自己手下的科学家在实际事务中的有用程度来衡量他们的价值。科学院中的科学家可以自由研究他们感兴趣的项目，只要他们能满足国王提出的需求。
此时，欧拉已是圣彼得堡最杰出的学者了，他的大名传遍了欧洲。腓特烈开始向欧拉发出邀请。尽管欧拉确实被俄国的危险形势所困扰，但腓特烈还是通过多次接触才说服这位瑞士数学家离开圣彼得堡。1741年，欧拉终于同意前往柏林。他以自己变差的健康状况和对温暖气候的需求为由，得到了离开圣彼得堡的许可。
刚到柏林的时候，欧拉很满意，他在1746年写给朋友的信中说：“国王把我称作他的教授，我觉得我是世界上最幸福的人了。”但很不幸，这种满足感并未持续多久。柏林的生活在很多方面都优于圣彼得堡的生活，但欧拉的体验却掺杂了苦涩，因为腓特烈对他表现出了一种特殊而出人意料的蔑视。腓特烈把欧拉称为他的“数学独眼巨人”，粗鲁地暗示着欧拉仅剩一只完好眼睛的事实。腓特烈的冷淡部分源于他对数学的憎恶，但还有其他原因。欧拉低调而安静的举止不合他的口味，反倒让他把欧拉看作一个笨蛋。腓特烈更喜欢诙谐、精于世故又充满活力的伏尔泰陪在自己身边。此外，欧拉是一名虔诚的加尔文宗的信徒。他每天傍晚都会给自己的家人朗读经文，还经常向他们布道。在公开场合，腓特烈是宗教的支持者；但私下里，他却是一个自然神论者，对欧拉的虔诚和坚定的精神信仰不屑一顾。
欧拉对腓特烈也怀有不满。他在柏林遭受的最大挫败便是腓特烈拒绝让他出任科学院的院长。七年战争期间（1756—1763），腓特烈事务繁忙，一度找不到合适的人来担任院长一职。这时的欧拉是非官方的“代理院长”，但腓特烈考虑正式院长人选时总是一再地跳过他。作为代理院长，欧拉表现出色。但由于他不是一位言辞犀利、口若悬河的哲学家，他永远也得不到腓特烈的赞许。最极端的一次羞辱发生于1763年，腓特烈承认没办法找到适合当院长的人，并自封为科学院院长。
1763年，欧拉和腓特烈之间的敌意更深了。腓特烈不同意欧拉的一个女儿嫁给一名士兵，因为后者的军衔太低了。而腓特烈和欧拉彻底决裂的导火索也许是两人在1763年到1765年间的一系列愤怒争吵。他们争论的焦点是国家年鉴的售卖。这些年鉴耗费了科学院成员的大量心血，并被出售给公众，以便为科学院的运作筹集资金。然而，负责年鉴售卖的首席专员被发现利用职权中饱私囊。腓特烈和欧拉就如何处理筹资过程中的贪污和管理不善有了不同的意见。两人的交流最后以腓特烈向欧拉抛出尖锐的指责而告终。
即便住在柏林，欧拉和圣彼得堡的前同事们也维持着良好的关系。他仍然是他们的期刊编辑，并在那本期刊上发表了109篇文章。同时，他还指导那些被送到柏林的俄国学生。作为回报，俄国人会定期给他发放一笔津贴。另一个七年战争里的例子更显著地体现了俄国人对欧拉的尊重。1760年，俄国军队朝勃兰登堡行军时进入了夏洛滕堡。他们偶遇了一座欧拉的农场，还洗劫了它。当俄国人——首先是将军，随后是女皇伊丽莎白——查明这次行动后，他们给欧拉的赔偿远远超出了他的损失。
欧拉在柏林的二十四年间，俄国人一直渴望把他请回圣彼得堡。他们在1746年、1750年和1763年都曾与欧拉商谈，给出丰厚的报价“引诱”他回到俄国。每一次，欧拉都拒绝了，但从来没有把这扇门关死。最后，1765年，欧拉受够了腓特烈的敌意，也看到了俄国政治形势的改善，便决定重回圣彼得堡。
抛开个人好恶不谈，腓特烈也认可欧拉在国际科学界的突出地位。在柏林，欧拉发表了超过两百部作品。1749年，他被选为英国皇家学会的成员。1755年，他又被指定为巴黎科学院的第九名外国成员，即使那里本来规定了外国成员只能有八名。他也尽力为德国服务，除了国家年鉴的制作，欧拉还参与过国家造币厂的铸币、运河的选址、渡槽的设计、养老金的创立和火炮的改进。
腓特烈企图阻止欧拉的离开。因此，欧拉不得不一次又一次地申请离境许可。1766年，腓特烈终于松了口，允许欧拉启程，于是，五十九岁的欧拉带着十八个家人踏上了回圣彼得堡的旅途。
那一年的晚些时候，腓特烈听从法国数学家让·达朗贝尔（1717—1783）的建议，让约瑟夫-路易·拉格朗日（1736—1813）接替了欧拉的位置。拉格朗日是一颗年轻的学术新星，后来成为一位杰出的数学家。腓特烈以他一贯的尖酸刻薄写信感谢了达朗贝尔，因为后者“让一位双眼健全的数学家代替了一位半盲的数学家，这会使科学院里的解剖学专家们尤为高兴”。然而讽刺的是，虽然腓特烈厌恶数学，喜爱哲学，但他的科学院被世人永远铭记的原因却是其中那群令人赞叹的数学家，而不是哲学家。
正当即将离开柏林的欧拉和腓特烈冲突不断之时，俄国恰好处于彼得三世（1728—1762）的统治之下。他性情乖戾，阴晴不定，是个亲德的领导者，以“畏惧、鄙视俄国和俄国人民”而为人所知。1762年，他的统治戛然而止。他的妻子把他赶下了台，成了叶卡捷琳娜二世。没过多久，也许是在叶卡捷琳娜的命令下，彼得被拘禁他的看守谋杀了。
叶卡捷琳娜（见图1.4），即后世所称的叶卡捷琳娜大帝，直到1796年都是俄国女皇。就像十八世纪初的俄国由强悍而影响力巨大的彼得大帝统治着那样，十八世纪末的俄国也处于叶卡捷琳娜大帝的卓越领导之下。作为领袖，她头脑精明，意志坚强，野心勃勃而又精力充沛。正如法国哲学家德尼·狄德罗（1713—1784）拜访过叶卡捷琳娜的王宫之后所说，她“骨子里是凯撒，却散发着克里奥帕特拉的全部魅力”。俄国人的生活质量在她的统治期内有了显著提高。曾在彼得大帝的时代以后被严重忽略的教育也又一次成为俄国政府优先考虑的事项。
图1.4 俄国的叶卡捷琳娜大帝
圣彼得堡科学院成立之初，欧拉耀眼的光芒使得整个机构都熠熠生辉。当他远走柏林后，数学界的焦点也随之转移。这一损失加上俄国政权的频繁更迭使得圣彼得堡科学院很难再吸引有才能的外国学者。这个机构已经摇摇欲坠。叶卡捷琳娜的教育改革计划就包括复兴圣彼得堡科学院，让它上升到从前的高度。正如数学家安德烈·魏尔（1906—1998）所写：“这几乎就等同于把欧拉带回来。”
叶卡捷琳娜不仅满足了欧拉的硬性需求，还提供了更多。欧拉拿到的工资比1763年的翻了一倍，他的妻子获得了一份津贴，他的大儿子被圣彼得堡科学院雇用，而他那些更年轻的儿子们将来也不用为就业担心了。除此之外，叶卡捷琳娜为欧拉准备了一套家具齐备的房子，还把自己手下的一名厨师给了他。到达圣彼得堡后，欧拉立刻收到了女皇的热情问候。他的回归让数学界的注意力重新聚焦到圣彼得堡，也确保了它今后的持续成功。
叶卡捷琳娜大帝和腓特烈大帝有相似之处，毕竟他们都是典型的“开明的专制君主”。但欧拉与他们二人的关系非常不同。在叶卡捷琳娜治下的圣彼得堡科学院，他的体验远比在腓特烈治下的柏林科学院要好得多。叶卡捷琳娜热爱科学，以对待名人的方式欢迎了欧拉。他也成为比其他学者拥有更多行政权力的高级院士。
一生之中，欧拉见证了俄国首都圣彼得堡的种种变化。这座城市与他初见时才二十四岁，当他回归时为六十三岁，在他长眠时则有八十岁了。到十八世纪末，城市的人口已经超过了166000。住在这里的既有富可敌国的贵族，又有一贫如洗的农民。城中接近四分之一的居民是军队成员。数百年来，有多少俄国人爱它，就有多少俄国人恨它（直到今天还是如此）。如今它的大街小巷满是精美的欧式建筑，就和彼得大帝最初建造它时的风格一样。它是所有俄国城市中最欧洲化的。它的众多岛屿和水道也让它“北方威尼斯”的名号传播开来。
欧拉在圣彼得堡的第二段时光是他事业的成功期，但也夹杂着一系列个人损失。1771年，他的房子被烧成了灰烬。一名无私的仆人反应迅速，将他背出了正在燃烧的小楼，救了他一命。虽然他的整个藏书室都毁于大火，但他的手稿却被抢救了出来，这是科学的幸运。叶卡捷琳娜大帝听闻这场悲剧后给了他一处新住所，弥补了他的损失。1776年，欧拉深爱的妻子卡塔琳娜离世了。一年后，他和卡塔琳娜的同父异母的姐妹萨洛梅·阿比盖尔·格塞尔结了婚。
刚离开柏林，欧拉就被白内障偷走了左眼的视力。尽管1771年的一次手术短暂地为他的左眼带来了光明，但术后的感染却让他旧病复发。他又一次完全看不见了。在此之后，他主要通过向儿子口述的方式来发表数学成果。令人称奇的是，欧拉的数学产出没有因此而减少。在双目失明的时间里，他证明了他最重要的一些定理，写出了他最有影响力的一些书。
人们普遍相信，一位数学家在年轻时最为多产，等到了三十岁或四十岁，创造力和才能都会消失无踪。英国数学家戈弗雷·哈罗德·哈代曾在他那本著名的回忆录《一个数学家的辩白》中写道：“任何一个数学家都不应让自己忘记，相比于其他艺术或科学，数学更是一项年轻人的游戏。”虽然这句话确实准确描述了很多数学家（和其他创造性领域的从业者）随着年龄增长越发难以创造高质量成果的现象，但它却不能刻画欧拉的职业生涯轨迹。欧拉回归圣彼得堡时，迎接他的是盛大的欢迎仪式，而他也没有令人失望。一位历史学家写道，欧拉“立刻就证明了他回俄国不是为了养老，恰恰相反，他的科学产出能力仍在巅峰”。
如同贝多芬征服了看似不可逾越的耳聋从而创作了多部交响乐一样，欧拉也在一望无际的黑暗中创造了深刻、优美且常常“可视”的数学。这是人类精神所取得过的最伟大胜利之一。
除了纯数学研究，欧拉也继续为应用数学做出卓越的贡献。那个时代最重要的问题之一就是设计一种精确而可靠的海上导航法。天文导航是个好主意，但只有当航海表能给出天体在任何时刻的位置时，它才有效。在夜空中，月亮是最引人注目的东西，但因为它的运动由三个物体——它自己、地球和太阳——的引力相互作用所决定，提前计算它在某个时刻的位置就成了一个极其困难的数学问题。即使到了今天，我们也没法完全理解“臭名昭著”的“三体问题”。牛顿的引力理论描述了行星的运动，却没有提供一种用于预测该运动的计算方法。1772年，欧拉建立了一个可计算的数学模型，能够非常精确地估算月亮的运动轨迹。这个模型催生了很多极其可靠的月星距改正表。为表感谢，法国的经度委员会和英国议会都重奖了欧拉。
欧拉直到七十六岁去世时才停止数学上的产出。法国数学家孔多塞（1743—1794）在欧拉的悼词中描述了他生命中的最后一天：
“他仍然保有自己的全部思维能力和肉眼可见的精神活力，似乎没有任何年老力衰的迹象预示着科学即将失去一位为其增光添彩的伟大人物。1783年9月18日，欧拉先是在石板上自娱自乐地计算了热气球——一项蜚声全欧洲的新发明——上升时的运动规律，随后和莱克塞尔先生与自己的家人共进了晚餐，谈论了赫歇尔的行星（刚被发现不久的天王星）及其轨道的计算。过了一会儿，他把自己的孙子叫了过来，一边喝茶一边和他玩耍。突然，烟斗从他手中掉落，他停止了计算和生命。”
莱昂哈德·欧拉被埋葬在俄国的圣彼得堡。
在数学中，很难确定欧拉最伟大的成就是哪一个。我们可以从他数不胜数的定理中挑出一个。我们也可以指向他撰写的一系列杰出教材，例如《无穷小分析引论》——它被著名数学史家卡尔·博耶称为现代数学中最有影响力的教科书。也许，最伟大的是他在应用数学领域的工作，比如他的著作《力学或运动科学的分析解说》——它开创了把微积分技巧系统性地应用到物理学中的先河。也许，最伟大的是他写给非专业人士的著作，比如广受欢迎的《给德国公主的信》，其中包含了一套为腓特烈大帝的侄女安哈尔特-德绍公主量身打造的课程。也许，最伟大的是他把孤立的结果和看似不相干的想法组织、表达成统一而有序的数学整体的能力。又或许，最伟大的是他发明的那些优雅而实用的符号：欧拉引入了e来代表自然对数的底数；他让符号π的使用变得流行；在生命的最后阶段，他用i来代表
（这一符号后来因为高斯而流行了起来）；他用a、b、c来代表一个典型三角形的三边，又用A、B、C来代表它们所对的角；他用∑代表求和；他用Δx代表有限差分；他还是最先用f(x)来表示函数的人。
然而，要挑出欧拉不计其数的定理中最重要的一条也不容易。有些人认为该是那个联系起0、1、π、e和i的简洁公式：
eπi+1=0
或者，该是他那些精妙的无穷级数中的一个，它们无不展现出微积分的力量。又或者，该是他的某个数论定理，例如那些为著名的费马大定理（又译为费马猜想）提供了证明思路的定理。
当然，我们将会关注那个将多面体的顶点数、棱数和面数联系起来的简单公式：
V-E+F=2
近期的一个调查显示，在数学家们眼中，欧拉多面体公式（简称欧拉公式）是所有数学领域中第二优美的定理，被票选为最美定理的则是eπi+1=0。
为了理解欧拉公式，我们必须先对多面体有更多的了解。什么是多面体呢？
