数学建模趣味学：从徒手挖爆米花到玩转竞赛

版权信息

书名：数学建模趣味学：从徒手挖爆米花到玩转竞赛

ISBN：978-7-115-68367-0

本书由人民邮电出版社发行数字版。版权所有，侵权必究。

您购买的人民邮电出版社电子书仅供您个人使用，未经授权，不得以任何方式复制和传播本书内容。

我们愿意相信读者具有这样的良知和觉悟，与我们共同保护知识产权。

如果购买者有侵权行为，我们可能对该用户实施包括但不限于关闭该帐号等维权措施，并可能追究法律责任。

版　　权

著    王海华

责任编辑 牟桂玲

人民邮电出版社出版发行　　北京市丰台区成寿寺路11号

邮编　100164 　电子邮件　315@ptpress.com.cn

网址　http://www.ptpress.com.cn

读者服务热线：(010)81055410

反盗版热线：(010)81055315

内 容 提 要

在核心素养导向的教育背景下，数学建模成为连接课堂知识与现实世界的桥梁。本书旨在打破“学用分离”困境，引导读者以数学眼光观察生活，用量化思维解决实际问题，实现“学以致用，用以致学”。

全书通过模数师与小海的对话，围绕描述与理解、估计与预测、评价与决策、溯因与解释4类问题，以53个话题展开，系统呈现数学建模全过程。本书内容涵盖方程、函数、统计图等基础工具，费米估算、类比估算等估算技术，层次分析法、熵权法等客观评价方法，遗传算法、粒子群算法等优化技术，以及断点回归、双重差分、工具变量等因果推断方法。

本书适合中学生、大学生和其他数学爱好者阅读，既可作为数学建模入门的自学用书，也可供教师用作项目式教学或建模竞赛的参考教材。

前  言

很多人都想成为解决问题的高手，我也是其中之一。小时候，我喜欢读古代神童故事、阿凡提的故事，希望在面对问题时，能像他们一样给出充满智慧、令人赞叹的解决方案。虽然人的天赋难以改变，但成为解决问题的高手，难道不可以通过后天的努力实现吗？那么，怎样努力才能使我们成为解决问题的高手呢？

积累知识无疑是重要的！因为知识是解决问题的经验总结，习得的知识越多，视野就越开阔，也就越有可能想到解决问题的方法，甚至可以直接借鉴前人的经验解决当前的问题。实际上，我们从小接受教育就是在学习知识，如语文、数学、英语、物理、化学等人文社科和自然科学知识。然而，当我们完成了九年义务教育，经历了高中、大学，甚至读完了研究生之后，是否就能说自己已经成为解决问题的高手呢？答案似乎并不那么简单。

我们学得越多、学得越久，越倾向于成为某个领域的专家。而我们所期待成为的“解决问题的高手”应该是可以跨专业、跨领域的“全能高手”。如今，成为“全能高手”变得越来越具有挑战性，但如果我们将目标定在日常生活领域，成为解决日常实际问题的高手则是完全可行的。

对于学生而言，如果有一种途径既能促进其在校学习，又能帮助其成长为解决问题的高手，那将是极为理想的！令人欣喜的是，这样的途径确实存在——它就是数学建模。

什么是数学建模

数学建模是指使用数学语言和工具来描述、分析和预测现实世界中的现象或问题的过程。我们将实际问题抽象为数学问题，然后通过解决数学问题来解决实际问题。因为数学建模针对的是生活中的问题，换句话说生活中的问题就是研究对象，在这个方面深入学习自然会提高我们解决问题的能力；同时，因为我们借助数学的思维和方法去解决问题，所以这种方式可以加深和促进我们对数学的理解和应用。在实践过程中，我们会发现数学建模对其他学科，如物理、化学、生物，甚至历史、地理也是有帮助的，因为解决生活中的实际问题往往需要跨学科的知识。

过去，学校中的学和用是分离的，但随着数学建模作为一种教育手段被引入，这种情况正在发生变化。学以致用体现在学生能够将所学知识应用于解决现实生活中的问题；而用以致学则表现为在解决问题的过程中，学生不仅能深化对已有知识的理解，还能激发对更多未知领域的探索欲望。这种正向循环一旦形成，学生的学与用的能力都将显著提升。

因此，我们可以把数学建模作为桥梁，以提升学生解决实际问题的能力，并加深学生对学校内各学科知识的理解。这样，不仅能增强学生的综合素质，也为其未来的发展打下坚实的基础。

数学建模的核心

数学建模的逻辑是解决现实问题，首先将问题量化表示为数学问题，然后通过数学方法求得数学解，再将数学解代入现实问题进行检验。这听上去很像是解决数学应用题的过程，不错，只不过相比我们在中学时期解答的数学应用题，数学建模需要在“如何从复杂问题中识别并提炼影响结果的关键要素，并通过合理的假设、简化等方法将其转换为一个数学问题”上花费更多时间。

数学建模中的建模是指建立数学模型，那么，什么是数学模型呢？形式上，它可以是公式、图表等；内容上，它刻画了研究对象的属性与关系。我们可以利用数学模型描述、解释和分析问题，并借助其进行评价、预测和决策。建立数学模型在整个解决问题的过程中处于核心地位，本书的核心在于帮助读者了解如何在各种情形下建立合适的数学模型。

然而，现实世界充满了无穷无尽的问题，如果要一个个地解决和练习，任务未免过于繁重。因此，本书将现实问题大致分为4类：描述与理解、估计与预测、评价与决策、溯因与解释。这4类又被进一步细分为诸如估计、拟合、模拟、优化等子类。这样，读者就可以系统地掌握针对各类常见问题的解决方案了。

灵活应用数学建模

要灵活应用数学建模解决现实问题，对数学基础的要求是不是很高？如果数学知识掌握得很多，自然对运用数学建模解决问题有所帮助。但解决问题时，应抛弃“必须具备某种特定数学条件”的想法，因为这种想法会阻碍我们灵活选用合适的方法。方法的好坏，不在于所用数学知识是否“高级”，而在于它能否有效地解决问题，甚至在评价方法优劣时，我们更倾向于选择简单的方法，因为它更实用，也更容易解释。正如奥卡姆剃刀原理：若无必要，勿增实体。

说到底，数学建模是一种系统地、量化地解决问题的方法。通过数学建模的学习和训练，我们能真正做到用数学的眼光观察世界，用数学的语言描述世界，用数学的思维分析世界。

这也是在中学学习数学的目的。

数学建模与竞赛

此外，作为一名数学建模教练，我见证了许多学生通过数学建模竞赛锻炼了建模能力并取得了优异成绩。无论是大学生建模竞赛，还是中学生建模竞赛，这些竞赛不仅是展示数学建模能力的重要舞台，也是锻炼学生综合解决问题能力的宝贵机会。在这些竞赛中，学生不仅能够通过解决实际问题来展示自己的数学建模能力，更能够在激烈的竞争中锻炼思维的灵活性，培养创新性。

本书中介绍的模型，大多是数学建模竞赛中常见且经典的模型。从优化问题到模拟问题，再到数据分析与预测，这些模型涵盖了竞赛中的典型问题，能够帮助学生从零基础入门，逐步掌握建模技巧与竞赛策略。通过学习本书的内容，学生将能够更加高效地理解竞赛题目，快速建立数学模型，并在有限的时间内提出有效的解决方案。

对于那些有志于参加数学建模竞赛的学生而言，本书不仅是一本指导书，还为他们提供了一个系统化的学习框架。从入门到提高，从理论到实践，每一章的内容都经过精心设计，旨在帮助学生在数学建模的道路上迈出坚实的第一步。通过参考本书，学生可以更好地为数学建模竞赛做好准备，在竞赛中充分展示自己的数学才华与解决问题的能力。

数学建模与对话学习

陈省身先生说“数学好玩”。而数学建模不仅好玩，还很实用。为了让读者更加轻松地阅读本书，每一节的内容都以对话的形式展开。文中设有两个主要角色：模数师和小海。前者是一位数学建模专家，后者是一名刚接触数学建模的中学生。通过小海与模数师之间的对话，我们可以逐步领会数学建模的过程以及数学模型的要点。此外，本书每节末尾都设有知识拓展环节，主要用于深化文中提到的概念，并补充相关内容。

随着阅读的深入，我们将见证小海——一位数学建模初学者的成长与进步。相信读者也能在这个过程中获得启发。

王海华

2026年1月10日

声明

本书部分插图系作者基于教学目的，通过豆包生成并经人工筛选、编辑后使用，仅供教学说明与辅助理解。

绪论　开启数学建模之旅

　模数师

一个热情且博学的数学爱好者，不断探寻数学在生活中的应用，坚信“一切皆可数学建模”。

　小海

一个对世界充满好奇的中学生，渴望了解数学在生活中的各种应用，想成为解决实际问题的高手，但他似乎还不太清楚该如何去做。

在某个奇妙的时刻，两个人相遇了！

那个时刻，小海正在看一本有关估算的书，他看到这样一个问题：

如果在房间中塞满爆米花，一个人徒手将爆米花挖完，需要多久？

这个看似无厘头的问题该如何解决呢？答案是半小时还是半天？似乎没多久的样子。

“你再想一想，真的只需要半小时或半天就能挖完吗？或许没这么简单哟！”这话来自旁边一个高高瘦瘦、看着像魔术师的人。

“你好，我叫模数师。‘模’是‘模型’的‘模’，‘数’是‘数学’的‘数’，‘师’是‘法师’的‘师’。我对你的这个问题很感兴趣，但我觉得不应该凭直觉得出答案。”模数师继续说。

小海忍住自己对模数师的好奇，尽量把注意力放在问题上：“什么才不算‘凭直觉’的方法呢？”

“细致地分析，再配合数学计算，才能得出更准确的结果。”模数师说，“我问你3个问题：第一，一个爆米花有多大？第二，一间房间有多大？第三，一个人徒手挖爆米花，一次能挖出多少个爆米花，即挖爆米花的速度如何？”

小海尝试回答这些问题：“一个爆米花形状很不规则，就假设它的体积是1厘米 3吧，类似于棱长都是1厘米的正方体；一间房间的长、宽、高大约是10米、10米、3米，那么房间的容积就是300米 3；假设一个人一次可以挖出20个爆米花，每次需要1秒。”

模数师：“很好，那我们就来试着计算一下。”

模数师拿出纸和笔，开始了计算。

“首先，我们计算房间里爆米花的总数量。房间的容积是300米 3，每个爆米花按1厘米 3计算。那么，300米 3等于300 000 000厘米 3，也就是说，房间里大约有3亿个爆米花。”

小海的眼睛一亮，他没想到一间房间竟能装下这么多爆米花。

模数师继续说：“接下来计算挖爆米花的速度。假设每秒可以挖出20个爆米花，那么，每小时可以挖出20×60×60=72 000 个爆米花。要挖完3亿个爆米花，需要的时间是 （时）。”

小海听到这个数字后，惊讶得张大了嘴：“要这么久？我以为最多半天就能挖完。”

模数师微笑着解释：“不，这大约相当于174天，也就是将近半年的时间。这就是数学的魅力——它能帮助我们更加准确地估算现实问题。虽然这只是一个假设的问题，却展示了数学在解决实际问题时的作用。”

小海被深深地吸引，他意识到数学不只是书本上的公式和理论，更能解释和解决现实世界中的各种问题。

这次意外的交谈，让小海对数学有了更深的理解和更大的兴趣。他感谢模数师的指导，并期待未来能解决更多有趣的问题。而模数师也很高兴遇到一个对数学充满好奇与热情的少年。

“模数师，我还能再见到你吗？”

“当你想运用数学知识解决问题时，我就有可能出现。当然，也有可能不出现，哈哈。很高兴认识你！再见！”

“再……见……”小海还没有说完，模数师就消失了。是的，一瞬间就消失了。

但他们还会相见。

第1章　描述与理解

1.1　初识数学建模，它真的很神奇！

从爆米花到新能源汽车

爆米花的问题让小海对数学在生活中的应用产生了浓厚的兴趣，他想：“数学好强大呀！它不只是冰冷的符号，还是亲切的伙伴。数学在生活中还有哪些有趣的应用呢？用数学解决现实问题有哪些技巧和方法呢？我的学习问题是不是也可以通过数学来解决呢？爸爸妈妈一直在考虑买辆新能源汽车，数学能帮上忙吗？”

“小海，你现在正在思考的，就是如何进行数学建模的问题。”

是那个熟悉的声音！

“模数师，你来啦！”

“是的，我来了。我将为你讲解什么是数学建模。”

模数师微笑着坐下，看着充满好奇与期待的小海，开始了他的讲解。

“数学建模，简单来说，就是用数学的语言和工具来描述和解决现实生活中的问题。这不仅涉及计算，更关键的是对问题的理解、抽象与建模能力。

“你提到的购买新能源汽车的问题，就可以通过数学模型来帮助你的家人做出更合理的选择。我们可以考虑多个因素，比如新能源汽车的购车成本、维护费用、能源消耗、对环境的影响和使用寿命等。建立数学模型，可以比较新能源汽车与传统汽车在长期使用中的经济成本。”

小海听得津津有味，眼中闪烁着好奇的光芒。

“除了用于决策，数学建模还可以应用在很多方面。比如气候变化的研究、疾病的传播分析、交通流量的优化，甚至是你的学习计划的制订。通过收集数据、建立假设、构建模型以及验证和调整模型，数学建模能帮助我们更好地理解和解决问题。”

“那么，如何进行数学建模呢？”小海迫不及待地问。

模数师继续解释：“首先，你需要明确你想要解决的问题，并收集相关的信息和数据。然后，根据问题的特点和需要达成的目标，选择合适的数学工具和方法，包括代数方程、统计方法、概率论，甚至计算机编程。接着，你需要构建模型——这通常是一个具有创造性的过程，需要不断试错和调整。最后，用收集到的数据来测试和验证模型，确保它能够准确反映实际情况。”

小海目不转睛，仿佛已经看到了自己用数学建模解决问题的场景。

“我明白了，数学建模就像一座桥梁，连接着数学和现实世界。我也想试着用数学来解决生活中的问题！”小海兴奋地说。

模数师满意地点了点头，说：“很好，小海，你已经迈出了数学建模的第一步。记住，数学不是冰冷的符号，而是一种强大的工具，可以帮助我们更好地理解世界。当你遇到困难或新问题时，不妨试着用数学的眼光去看待它们。

“这个过程中，数学模型起到关键的作用，数学模型不同于汽车模型、船舶模型这种看得见、摸得着的实物模型，它是一种抽象的表达方式，用于描述事物的原理、关系和变化。数学模型就像是一个框架，能够帮助我们组织和分析信息，让我们能够模拟和预测现实世界中的行为。”

小海聚精会神地听着，眼中闪烁着对新知识的渴望。

“例如我们之前解决的爆米花问题，其数学模型就是我们用来估算挖掘时间的公式。这个模型虽然简单，但它有效地将一个复杂的现实问题转化为可以分析和计算的数学问题。通过模型，我们不仅计算出了结果，还理解了其中的逻辑和过程。”

小海点头表示理解，他已经开始思考如何将这种方法用于解决其他问题了。

数学模型的构成三要素

“数学模型有3个组成部分，分别为要素、结构和数学表示，通过这3个组成部分我们可以得出结果。”

模数师细致地解释：“首先，要素指的是构成问题的基本变量，比如在爆米花问题中，要素包括爆米花的体积、房间的容积、挖掘速度等。其次，结构是指这些要素之间的关系，即它们是如何相互作用的。比如，爆米花的总体积与房间容积的关系，以及这个关系如何影响挖掘时间。最后，数学表示是指将这些关系转化为具体的数学公式或符号语言。比如，我们不再只说爆米花的体积，而是用字母v表示爆米花体积（1厘米 3），用字母V表示房间容积（300米 3），用字母N表示爆米花数量，并列出方程N=V/v来描述它们的关系。”

小海仔细听着，不时点头表示理解。

模数师继续说：“将这三部分组合起来并运用，我们就能构建出一个完整的数学模型。在这个过程中，我们需要不断调整和优化模型，确保其能够准确地反映实际情况。这就像是一场探索之旅，我们在不断地尝试和改进中学习和成长。”

“我明白了，数学模型就像是一个解决问题的工具箱。我们可以根据不同的问题选择合适的工具，然后通过组合这些工具来构建出解决问题的模型。”小海兴奋地说。

模数师笑着点了点头，说：“完全正确！而且随着你对数学建模的深入理解，你会发现，数学模型不仅能帮助你解决问题，还能加深你对问题的认识和理解。这个过程既富有挑战性，又非常有趣。”

小海的眼中闪烁着光芒，他似乎已经迫不及待地要开始自己的数学建模之旅了。

模数师看着小海，满意地说：“小海，你已经准备好了。记住，无论遇到什么问题，都要保持好奇心和探索精神。数学建模不仅是解决问题的工具，更是一种思维方式。我期待看到你在这条路上的成长与收获。”

说完，模数师突然消失了，留下小海独自站在原地，满怀期待与激动。他知道，一个全新的世界已经向他敞开了大门。

1.2　原来心情也可以数学化

小海今天有些失落，因为这次的数学考试考砸了。他感慨道：“为什么我这么喜欢数学，但数学不喜欢我呢？”

用数字解读心情

小海努力从失落的情绪中走出来，但似乎没什么用，他一直在不自觉地想“这道题不该错”“我应该拿更多分”……

“你要不要尝试给你现在的心情打个分？1到10分中取一个值。但这个分数属于‘序数尺度’——只表示情绪好坏的相对程度（比如7分比5分好），并不代表精确的数值差异。”

“是模数师！”

“是的，我来了！”

模数师的声音听起来平静且温和，他静静地站在小海的身旁，似乎能感受到小海的失落。

“你现在的心情分数是多少？”模数师问。

小海沉默了一会儿，低声说：“大概是3分吧，我真的很失落。”

“能跟我说一下你的打分标准吗？”模数师温和地询问，他的声音中充满了关怀。

小海思考了一会儿，回答：“我如果感到非常开心，就是10分；如果感到非常难过，就是1分。现在我给自己的心情打3分，是因为我感到很失望和沮丧，但我知道还有比这更糟糕的情况。”

模数师点了点头，说：“这是个很好的开始。通过量化你的心情，我们可以更客观地观察你的情绪变化。就像在数学问题中引入变量和数值一样，给心情打分可以帮助我们从混乱的情绪中抽离出来，用更理性的方式来分析和消解它。”

情绪打分与自我疗愈

模数师继续说：“当你给自己的情绪打分时，你实际上是在进行自我观察和反思。这种方法能帮助你认识到，情绪就像天气，是会变化的。有时候你可能感到沮丧，但那并不是永久的状态。虽然数字仍来自你的主观感受，但量化能帮助你更系统地观察情绪变化，并尝试学会更好地管理它。”

小海默默地听着，他的眼神逐渐变得明亮。

“而且，”模数师继续说，“当你习惯量化你的情绪时，你会发现自己能更加客观地迎接挑战和困难。就像在数学中，了解问题的具体数值，有助于我们找到更完善的解决方案。”

小海点了点头，似乎理解了模数师的意思。虽然他的心情还没有完全好转，但他对看待自己的情绪有了更清晰、更客观的视角。

小海想：“或许我现在的心情分数不止3分，毕竟只是一次考试失利。” 小海的心态开始发生微妙的变化，他深吸了一口气，试图重新评估自己的情绪。

“模数师，我觉得按照刚才的标准，我现在的心情分数应该至少是5分。虽然我对考试失利的难过是真实的，但它并没有完全主导我的情绪。我还有许多值得高兴的事情。”小海的声音透露出了一丝坚定。

模数师微笑着回应：“看，你已经学会了如何用客观的方法来评估你的情绪。这就是量化，它帮助你跳出情绪的漩涡，让你能够更加清晰和平静地看待自己的内心世界。”

“确实，我现在感觉好多了。”小海的脸上露出了轻松的笑容。

“记住，失败和挫折是生活的一部分。它们就像数学中的难题，需要我们去面对、解决，然后从中学习和成长。你对情绪打分表明你已经掌握了情绪管理的重要技能。这不只是情绪的管理，更是一种成长的标志。”模数师鼓励道。

小海受到了安慰和鼓舞。他认识到，通过量化和客观分析，可以更有效地管理自己的情绪，让自己在面对困难和挑战时更加坚强和理智。

这次与模数师的对话，不仅帮助小海走出了失落的情绪，更让他学会了一种新的思考和处理问题的方式。这对他未来的学习、生活乃至成长，都将产生深远的影响。小海知道，这只是他成长旅程中的一小步，但它无疑是重要的一步。

1.3　空气质量指数

明天就是元旦了，但是新闻报道说今年跨年时某知名游乐园临时决定不举行烟花表演了，原因似乎是空气污染。确实，这两天天空总是灰蒙蒙的。

空气污染情况是不是也可以通过数学量化？这也是可以的，因为我们平常都在用“空气质量指数”这个词。那么空气质量指数是如何定义的呢？小海决定查阅相关资料。

空气污染背后的数字

小海打开了计算机，开始在网上搜索关于空气质量指数的相关信息。他很快找到了一些资料。

空气质量指数（Air Quality Index，AQI）是定量描述空气质量状况的无量纲指数。这个指数通过量化不同污染物的浓度来评估空气质量。

AQI的计算通常包括多种污染物的浓度，如二氧化硫（SO₂）、一氧化碳（CO）、颗粒物（PM₁₀和PM_2.5）、臭氧（O₃）和二氧化氮（NO₂）等。每种污染物的浓度都会被转换成一个标准分指数，其值的范围通常是0～500。最终AQI的值是取各污染物分指数的最大值，不同污染物的分指数有不同的影响因子和权重。

AQI越大，空气污染程度越严重。通常，AQI被分为几个等级，比如0～50表示空气质量为优，51～100表示空气质量为良，101～150表示轻度污染，以此类推。

小海仔细阅读这些资料，他发现通过数学的方法，人们可以更清晰地了解空气质量的情况，从而做出更合理的决策，比如通过取消烟花表演来减轻污染。他开始理解，数学不仅仅是解决学术问题的工具，它在实际生活中也发挥着重要作用，比如环境监测与预警。

模数师说过，数学模型是要素与结构的数学化表达，那么这里的数学模型是什么样子呢？

小海开始思考如何将他所查到的关于空气质量指数的信息转化为具体的数学模型。他知道，一个有效的数学模型应该能够清楚地表示不同污染物对空气质量的影响，并计算出总的AQI。

如何将空气质量指数转换为数学模型

以下是小海构建的数学模型。

（1）定义要素。小海将5种主要的污染物作为模型的要素，即二氧化硫（SO₂）、一氧化碳（CO）、颗粒物（PM₁₀和PM_2.5）、臭氧（O₃）和二氧化氮（NO₂）。

（2）量化污染物。小海找到了每种污染物的实测浓度数据。这些实测浓度数据通常由环境监测站发布。

（3）计算每种污染物的分指数。对于每种污染物，计算其分指数。这可以通过将污染物的实测浓度与预先定义的标准浓度进行计算得到。比如，对于PM_2.5，如果实测浓度是35微克/米 3，而标准浓度是50微克/米 3，那么它的分指数可以通过简单的除法运算计算出来。

（4）综合计算AQI。小海将所有污染物的分指数综合起来，得到总的AQI。

（5）解释结果。根据计算出的AQI，小海可以判断空气质量的等级，比如空气质量为“良”、“轻度污染”或“重度污染”。

小海构建的数学模型可以表示为以下步骤和公式。

（1）定义分指数公式。对于每种污染物P（如PM_2.5、SO₂、NO₂等），计算其分指数 I_P，假设 C_P 为污染物的实测浓度，C_P标准为标准浓度，则分指数可表示为

比如，对于PM2.5，如果实测浓度C_PM2.5 是 35 微克/米 3，而标准浓度C_PM2.5标准是 50 微克/米 3，则PM2.5的分指数为

（2）综合计算AQI。通过计算所有分指数的最大值来得出总的AQI，即

其中，n 是污染物的种类数。

（3）解释结果。根据计算出的AQI，小海可以判断空气质量的等级。比如，如果AQI在0~50内，则空气质量为优；如果AQI在 51~100内，则空气质量为良，以此类推。

通过这个模型，小海能够更好地理解AQI的计算过程，以及不同污染物对空气质量的影响。这不仅加深了他对数学建模的理解，也让他认识到数学在实际生活和环境保护中的重要作用。

这让小海更加明白了模数师之前所说的话：数学是连接现实世界和抽象概念的桥梁。通过数学，我们可以更好地理解和解决生活中的诸多问题。小海觉得，即便是在元旦没有烟花表演的情况下，他也能从数学中找到乐趣和启示。

1.4　身体指标的数学模型BMI

小海的姐姐最近总是说要减肥，但小海并不觉得姐姐胖。关于人的胖和瘦是否有能量化的数学模型呢？小海很好奇，于是他查阅了相关资料。

实用的身体质量指数

小海很快找到了关于量化体重的常用数学模型：身体质量指数（Body Mass Index，BMI）。BMI是一个简单且广泛使用的指标，用于评估一个人的体脂和健康风险。

BMI的计算公式非常直接，由一个人的体重（单位：千克）除以其身高（单位：米）的平方得出。公式如下。

比如，如果一个人的体重是60千克，身高是1.7米，那么他的BMI计算公式如下。

BMI通常用来判断一个人是否处于正常的体重范围。根据世界卫生组织（World Health Organization，WHO）的标准，BMI的分类大致如下。

• 低于18.5：体重过轻。

• 18.5~24.9：正常体重。

• 25~29.9：超重。

• 30~34.9：肥胖。

• 35~39.9：非常肥胖。

不能忽略的个体差异

小海了解到，尽管BMI是一个有用的指标，但它并不完美。比如，它没有考虑肌肉量，因此一些肌肉发达的运动员可能被错误地归类为超重或肥胖。此外，它也没有考虑体脂分布的差异，而体脂分布对健康风险也有重要影响。

通过了解BMI，小海认识到，评估一个人的体重和体型不仅关乎其胖瘦程度，还涉及健康状况、体脂分布和生活方式等复杂因素。他决定更加理性地看待姐姐的减肥计划，并提醒她关注身体健康。

“很棒！我看到你最近在有意识地构建生活中的数学模型，是不是发现数学模型无处不在呢？”模数师出现了。

“是的，模数师！”小海兴奋地回答，“我开始意识到，数学模型真的无处不在，它能够帮助我们更好地理解和分析现实世界的问题。”

模数师微笑着说：“确实如此，数学模型是理解复杂现象的有力工具。正如你在计算BMI时所见，数学模型提供了一种量化和简化复杂问题的方法，使我们能够用数字和公式来描述并分析这些问题。”

小海点头表示同意，说：“是的，我发现即使是关于健康和体重这样的个人问题，也可以使用数学模型来客观分析。但我也意识到，每个模型都有它的局限性，我们需要理性地理解和使用它们。”

模数师赞许地说：“非常好，小海。理解数学模型的局限性同样重要。在实际应用中，我们需要考虑模型可能忽略的因素，以及它们对结果的潜在影响。这样，我们才能更全面、更准确地解读模型的结果。”

“那么，我们应该怎样更好地使用这些模型呢？”小海好奇地问。

模数师思考了一下，回答道：“在使用任何数学模型时，首先要明确模型的适用范围和假设条件。其次要批判性地考察模型的结果，并结合实际情况进行分析。如果可能，结合其他方法或模型来进行交叉验证和补充也是非常重要的。”

小海听后受到了很大的启发，他开始思考如何在日常生活中更好地运用数学模型，并意识到持续地学习和批判性地思考在这个过程中的重要性。他感谢模数师的指导，并决定在未来继续探索数学模型在生活中的应用。

1.5　飞机失事的概率很大吗？

心有余悸的飞机失事画面

最近，小海看了一部电影，片中惊心动魄的飞机失事画面让他心有余悸。“飞机失事的可能性有多大呢？”小海思考。

“这是一个概率问题。概率是数学中用来量化事件发生的可能性的工具。”模数师说道。

“我们来探讨一下飞机失事的概率。尽管每次航空事故都会引发广泛关注，但实际上飞机是非常安全的交通工具。我们可以通过分析飞行安全的统计数据来更好地理解这一点。”

不同交通工具的安全数据报告

模数师打开了一份数据报告：“根据国际航空运输协会（International Air Transport Association，IATA）的数据，发生航空事故的概率非常低。每百万次航班中仅有极少数事故发生，而且随着现代航空技术的进步和安全措施的不断完善，这个概率还在不断降低。”

下表是2007年至2021年某国乘坐不同交通工具的乘客的死亡人数和死亡率统计数据。

上表显示了乘坐不同交通工具的死亡人数和死亡率（以人每亿乘客英里计，1英里约1.6千米）。从中可以看出不同交通工具在安全性方面的差异和变化趋势。

“但我们也要认识到，无论是飞机、汽车还是火车，乘坐任何交通工具都有一定的风险。重要的是理解这些风险的相对大小。比如，与乘坐汽车相比，乘坐飞机的死亡率要低得多。”

模数师继续解释：“在考虑乘坐何种交通工具时，除了应该考虑该种交通工具失事的概率，还应该考虑其他因素，如时间、成本和舒适度等。比如，虽然飞机失事的概率很低，但如果离目的地距离很近，开车或乘坐火车可能更合适。”

风险与效益的综合考虑

小海听得非常认真，开始明白做决策时不能仅基于一个因素，而应该综合考虑多种因素。“那么，应该如何用数学来帮助我们做出更好的决策呢？”他问道。

模数师微笑着回答：“我们可以用数学模型来评估乘坐不同交通工具的风险与效益。比如，比较飞机和汽车的死亡率、乘坐时间与成本。通过量化这些因素，我们可以更客观地评估每种选择的优势和风险。”

小海的眼睛闪烁着光芒，他似乎已经开始在脑海中构建这样的数学模型了。他意识到，模数师所展示的数据指标（如死亡率）本身就是一个数学模型。具体而言，它可以表示为

在这个公式中，“特定时间段内的死亡人数”是指在一定时间段内（如一年）因乘坐某种交通工具而死亡的总人数。而“同期内的乘客英里数”是指在同一时间段内，所有乘客乘坐该交通工具行驶的总英里数。将这个比值乘100 000 000，是为了将死亡率转换为“人每亿乘客英里”中的死亡人数，这是一个常用的标准化指标，可用于比较乘坐不同交通工具的风险。

在决策分析中，除了考虑死亡率，还可以引入其他因素，如乘坐时间、成本、舒适度等，构建更为复杂的数学模型。比如：

这里的函数 f 表示将这些不同维度的因素进行加权或综合处理，以评估整体的旅行风险和效益。通过对这些不同的因素进行量化、赋权和比较，可以得出更全面、更客观的决策依据。

小海的兴趣被激发了，他开始思考如何将这些概念应用到实际生活中，以做出最佳的旅行决策。

1.6　模糊数学不模糊！

模糊逻辑量化主观概念

生活中有些概念很难描述，比如 “高个子”“年轻人”这类词语，本身就十分模糊。

“模数师，像这样的模糊概念，该怎么建模呢？”小海问。

“确实，”模数师回答，“生活中存在许多模糊且主观的概念，如‘高个子’‘年轻人’等。要对它们进行建模，我们可以借助‘模糊逻辑’。”

模数师继续解释：“模糊逻辑是一种处理不确定性和模糊性的数学方法。它与传统的二元逻辑不同。在二元逻辑中，一个命题只能是真（1）或假（0）；但在模糊逻辑中，一个命题的真值可以是0到1之间的任意实数，而不必仅限于完全真或完全假。

“以‘高个子’为例，我们可以定义一个模糊集合，其中包含不同身高的人，并为每个人分配一个属于‘高个子’集合的程度。比如，一个身高为1.80米的人属于‘高个子’的程度是0.8，而身高为1.60米的人属于‘高个子’的程度是0.2。

“这种方法允许我们用数学的方式来描述和处理模糊概念。我们可以通过定义一系列的规则和隶属度函数来对这些模糊概念进行量化。比如，我们可以设定一个函数来描述身高与‘高个子’的关系，其中身高越高，此人属于‘高个子’的程度就越大。”

小海听后好像有些明白：“所以，通过模糊逻辑，我们可以给这些模糊概念构建具体的数学形式，然后用它来做更精确的分析和决策？”

模数师点了点头：“没错，正是这样。模糊逻辑能够让我们更好地处理和分析生活中的模糊概念。它被广泛应用于各种领域，如控制系统、人工智能和决策支持系统等。”

定义与量化：隶属度函数

“模数师，隶属度函数是怎么确定的呢？”小海有些疑惑，“如果给出具体的数学模型和例子就好了。”

模数师耐心解释：“隶属度函数的确定是模糊逻辑中的关键部分，这个函数通常是基于专家的经验或数据分析得出的。比如，假设我们要建立一个关于‘年轻人’的模糊逻辑模型。首先，我们需要定义什么是‘年轻人’，比如30岁以下的人是年轻人。

“接着，我们需要建立一个隶属度函数来量化年龄对‘年轻人’的隶属度。这个函数可以是简单的线性函数，也可以是复杂的非线性函数。比如，我们可以设定一个线性隶属度函数，其中18岁的人属于‘年轻人’的程度为1（完全属于），30岁的人属于‘年轻人’的程度为0（完全不属于），而24岁的人属于‘年轻人’的程度为0.5。”

说着，模数师在纸上画起图来。

“当然，这个函数可以根据不同的需求和背景进行调整。在不同的文化或具体情境中，‘年轻人’的定义可能有所不同。模糊逻辑的灵活性在于它能够适应不同的视角和标准。”

“你也可以试试使用隶属度函数对‘中年人’进行量化。”模数师把笔递给了小海。

小海接过笔，思索了一会儿。

“如果我们用类似的方法来定义‘中年人’，我认为可以设置一个年龄范围，比如从35岁到55岁。” 小海开始在纸上画图，“在这个模型中，35岁的人进入‘中年人’的分类，隶属度逐渐增加，45岁时达到最高，也就是1，表示完全符合‘中年人’的定义。”

“然后从45岁到55岁，隶属度逐渐减小，到55岁时隶属度为0。”小海继续解释，“这样，我们就可以创建一个三角形的隶属度函数来表示年龄对‘中年人’的隶属度。”

模数师点了点头说：“很好，这正是模糊逻辑的魅力所在。它不仅可以对数字进行硬性划分，还更多地考虑到现实世界的不确定性和模糊性。通过这种方式，我们可以更加灵活地理解和分类复杂的概念，如年龄组所代表的不同人群。”

小海沉思了一会儿：“那么，隶属度函数就像一座桥梁，将模糊的概念转化为可以量化的数据，对吗？”

“完全正确！”模数师高兴地回答，“隶属度函数提供了一种量化和分析模糊概念的方式，使得我们可以在更精确的数学框架内进行思考和决策。这在处理现实世界的复杂问题时非常有用，尤其是在涉及人类判断和主观评估的场景中。”

模糊逻辑在决策中的应用

“这真是太神奇了！”小海兴奋地说，“我想我可以尝试用模糊逻辑来解决生活中的一些问题了。”

模数师笑着鼓励小海：“那就开始吧。记住，数学不只是处理精确问题的工具，它也能帮助我们理解和解决现实世界中的模糊问题和复杂问题。”

小海的好奇心被模数师的话激发了。他开始思考生活中的具体事例，想了解如何应用模糊逻辑。“比如，在选班长的时候，我们常说要选‘受欢迎’的学生，”小海说，“这个‘受欢迎’的定义很模糊。”

模数师点头回应：“这正是模糊逻辑的应用场景。‘受欢迎’这个概念可以通过多个因素来量化，比如同学们的支持率、参与课外活动的频次，甚至包括同学们对候选人的直观印象等。”

小海好奇地问：“那我们要怎么用模糊逻辑来解决这个问题呢？”

模数师解释道：“我们可以为‘受欢迎’定义一个模糊集合。首先，确定评价‘受欢迎’的几个关键因素，例如同学们的支持率、活跃程度和领导力等。然后，为每个因素定义一个隶属度函数，这个函数可以根据实际情况来定义。比如，对于同学们的支持率，我们可以定义一个隶属度函数，其中支持率越高，属于‘受欢迎’集合的程度就越大。”

小海思考了一下，然后说：“这样一来，我们就可以根据每个候选人在这些因素上的表现给他们打分，然后综合这些分数来决定谁是最‘受欢迎’的。”

“完全正确。”模数师肯定地说，“通过这种方式，我们可以将一个模糊的概念转化为可量化的数据，从而做出更客观的决策。当然，模糊逻辑只是一种工具，它可以帮助我们更好地处理模糊性，但最终的决策还需结合实际情况来确定。”

小海兴奋地说：“这太有趣了！我想我可以用模糊逻辑来帮助我们班做更多决策了。”

1.7　复杂的数据结构：向量与矩阵

模数师注意到小海在数学建模学习中常常遇到向量和矩阵表示方法的困扰，为了帮助小海顺利理解这些概念，他决定给小海介绍向量与矩阵的基本概念和运算方法。

从箭头到数字表格

模数师开始了他的讲解：

“向量和矩阵是数学中非常重要的概念，它们在数学建模中扮演着重要角色。

“向量可以看作二维空间中的箭头，有方向和大小。在数学中，我们通常将向量表示为一行或一列数字。比如，一个二维向量可以表示为一个有两个数字的行，这两个数字分别代表水平方向和垂直方向上的长度。比如向量(2,3)，你可以想象它是以原点为起始点，在水平方向上长度为2、垂直方向上长度为3的一个箭头。三维向量可以看作三维空间中的箭头，也有方向和大小。

“矩阵更像是数字表格。你可以把它想象成一系列排列整齐的数字行和列。矩阵中的每一个数字都在特定的行和列中。在处理多个数据集时矩阵非常有用，例如在处理多个向量的时候。

“向量的运算很直观。比如，你想把两个向量加在一起，只需要把相同位置的数字加起来。假设两个向量(2,3)和(1,4)，它们相加的结果就是(2+1,3+4)，即(3,7)。

“向量可以不只包含两个元素，比如，我们收集了5个学生的身高（单位：厘米）数据，可以将其表示为一列：

“写为数值是

“身高向量中每个元素（称为分量）表示的都是身高，不同位置的元素表示的是不同学生的身高。有时候我们收集的数据是同一个对象、不同维度的信息，比如除了可收集学生1的身高数据，还可收集学生1的体重（单位：千克）、视力、年龄等数据。这里将其表示为行向量：

“如何表示5个学生的各项数据呢？我们可以先列一张表。

“上表中的数据用矩阵表示如下。

“将上面的数据矩阵及元素符号转换为

“其中A表示数据矩阵，a_ij表示第 i 行第 j 列的值，比如a₄₃=0.8，表示学生4的视力是0.8。

“矩阵可以看作一张表，由多个行向量或列向量组合而成。我们可以将向量、矩阵视为广义的‘数’，这和我们常见的实数、整数等都是‘数学大厦’的基石（砖头）。”

如何理解向量和矩阵

模数师继续说：“矩阵的运算较复杂。矩阵加法和向量加法类似，只是矩阵加法是把对应位置的数字加在一起。矩阵还有一种特殊的运算叫作乘法。矩阵乘法涉及行和列的相互作用，其计算需要一些技巧。”

模数师看着小海说：“一开始这些概念可能会有些难以理解，一旦你掌握了它们，就会发现它们在数学建模中是多么有用。比如，在处理复杂系统时，我们经常用矩阵来表示系统的不同部分，并用矩阵运算来模拟这些部分是如何相互影响的。

“数的第一个作用是表示。上面谈到的都是各类数在表示研究对象时的属性。

“数的第二个作用是比较。我们能通过一个人的身高判断这个人长得高还是矮；通过体温判断这个人是否发烧；通过距离判断两个城市相距得远不远。当然，实数可以比较大小，但向量、矩阵的大小不易进行比较，比如对于学生1和学生2的数据向量(150,60,1.2,14)和(165,65,1.1,15)就不能直接说哪个向量更大或者更小（学生2的视力要低于学生1的视力，但其他指标都高于学生1）。即使学生2的各项指标都高于学生1，我们一般也不说学生2的数据向量‘大于’学生1的数据向量。要想比较这样的向量，我们需要定义规则才能给出比较结果。

“比如可以定义如下规则。

若向量A与向量B的元素个数相同，则比较它们对应位置的分量：若A的分量大于B对应分量的数量多，则称A比B大；若A大于B与B大于A的分量数量相等，则称A与B一样大。

“按照这个规则进行比较，则学生2的数据向量‘大于’学生1的数据向量。但要注意，这个规则不是通用的，我们给出比较结果之前一定要说清楚比较规则。上述规则中一个核心比较环节是将两个向量转换为一个可以比较的标量（实数）。将向量转换为标量是比较向量大小的基本思路。

“一个重要的、被广泛使用的将向量转换为标量的方法是计算向量的长度（也称为模），其计算公式为

“也就是求每个向量元素平方和的算术平方根。以上述5个学生的身高向量为例，其长度为

“对于矩阵而言，也有类似的转换方式，我们称其为弗罗贝尼乌斯（Frobenius）范数，它的定义为矩阵里各个元素的平方和的算术平方根。

“数的第三个作用是数与数之间的运算。两个实数之间可以进行加、减、乘、除运算（进行除法运算时，要注意除数不为0），两个向量之间、两个矩阵之间、向量与矩阵之间、数与向量之间以及数与矩阵之间也都可以进行运算。一个标量与向量的乘积被定义为向量中每个元素都乘这个标量，比如将5个同学的身高表示为以米为单位的向量，就可以将新身高向量写成

“标量与矩阵的乘法的定义类似，新矩阵的元素是原矩阵的对应元素的标量倍数。两个向量（或矩阵）之间的加减结果是形状不变（对向量而言是元素个数不变，对矩阵而言是行数以及列数不变）的新向量（或新矩阵），其对应元素为原向量（或原矩阵）对应元素相加减的结果。

“另一个重要的运算是向量的数量积（也称为点积），对于两个形状相同的向量，数量积是将它们的对应分量分别相乘后求和所得到的标量。比如向量a和向量b，其中

“它们的数量积为a·b=a₁×b₁+a₂×b₂+a₃×b₃。注意，数量积一般用点乘号‘·’表示，而常用的叉乘号‘×’用来表示另外一种运算——叉积。数量积的结果是标量（可以比较大小）。”

实用的矩阵乘法运算

模数师解释：“矩阵乘法并不是简单地将两个矩阵的同一位置的元素相乘，而且两个形状相同（行数相等，列数相等）的矩阵不一定能够相乘。矩阵乘法要求前矩阵的列数要与后矩阵的行数相等，这是矩阵相乘的前提条件。比如，一个2行3列的矩阵（前矩阵）可以和一个3行4列的矩阵（后矩阵）相乘，但一个3行4列的矩阵（前矩阵）无法与一个2行3列的矩阵相乘。

“矩阵相乘得到的仍是一个矩阵。在特定情况下，该结果可能是一个标量（1行1列矩阵）或一个向量（n行1列或1行n列矩阵）。

“如果矩阵A的列数与矩阵B 的行数相等，则它们相乘后，结果矩阵C的每个元素是矩阵A的行与矩阵B的列的数量积（即对应元素相乘后求和）。例如：

“那么矩阵A和矩阵B相乘得到的结果矩阵C为

“我们来看矩阵C的第2行第4列的值 cj+dn，它是矩阵A的第2行元素构成的向量( c, d )，与矩阵B第4列元素构成的向量( j, n )的数量积。”

模数师继续说：“我记得当初在学习矩阵乘法时就抱怨为什么要定义如此奇怪的运算方法，但深入学习后发现这样定义对于解决很多问题非常方便。在学习数学知识初期常常感觉比较抽象，甚至有时感到难以理解，这可能是因为教学时间有限，老师难以充分介绍其背后的思路与脉络，但随着学习的深入，许多起初令人困惑的问题往往会逐渐变得清晰明了。这也是我学习时的一个感悟。

“既然向量可以被看作一种特殊类型的矩阵——1行n列矩阵（称为行向量）或n行1列矩阵（称为列向量），那么可以对向量与矩阵直接使用矩阵乘法规则进行计算。比如，假设你计划在一个假期去3个不同的城市旅行，A城、B城和C城。为了规划预算，你需要考虑酒店、餐饮和观光3个项目的费用。你把这3个城市的每日平均费用（单位：元）表示为下表。

“你计划在每个城市停留的天数，A城2天、B城3天、C城1天。这时你可以使用矩阵乘法来计算每个城市的总费用和整个旅行的总预算。

“将每日平均费用表示为矩阵P，即

“将停留的天数表示为矩阵D，即

“总费用T 可以通过矩阵相乘得到，即

T=P×D

“这样就得到了每个项目在3个城市的费用。要计算整个旅行的预算，只需将T 中的所有元素相加求和，也可以写为

150×2+120×3+180×1+50×2+60×3+70×1+40×2+80×3+50×1

“但比起前一种写法，这种写法麻烦得多。数学家总是在追求简洁之美，这导致数学越来越抽象。”

“随着你的数学水平的提高，你会遇到更多关于向量和矩阵的应用。不要担心，一步步来，你会发现它们并不像看起来那么复杂。实际上，它们是理解更高级数学概念的基石。”模数师鼓励小海。

小海听着模数师的讲解，眼睛逐渐明亮起来。他知道，这些基础知识将会在他的数学建模之旅中发挥重要的作用。

1.8　描述等量关系：方程

璀璨星辰背后的数学

在一个宁静的夜晚，小海在阳台上凝视着夜空中璀璨的星星，心中充满了对宇宙的无限好奇。这时，他的好友模数师走了过来，坐在他的身边。小海问：“模数师，你看那些星星，它们是怎么保持那么完美的轨迹的呢？”

模数师回答：“其实，这背后隐藏着数学的奥秘。这就像方程—— 一种重要的数学模型。”小海好奇地问：“方程？我只知道它们在数学课本里很常见。”

模数师解释说：“没错，方程不仅是解决数学问题的工具，它还能描述自然界中的许多现象。比如，牛顿的万有引力定律可以用一个方程来表示，它揭示了任意两个有质量的物体之间都存在引力，正是这种引力使得行星围绕恒星、卫星围绕行星沿着稳定的轨道运行。”

“我们来认识和天体运动有关的方程吧。”模数师笑了笑说，“第一个，牛顿第二定律，它表示了力与物体运动状态变化之间的关系。牛顿第二定律的方程可以写作 F = ma，其中 F 代表力，m代表物体的质量，a代表加速度。这个方程解释了物体是如何在外力作用下运动的。”

小海点点头，表示理解：“那么，天体运动呢？”

模数师继续解释：“对于天体运动，我们通常用开普勒定律和牛顿的万有引力定律描述。开普勒定律告诉我们，行星围绕太阳运动的轨道是椭圆形的；而万有引力定律告诉我们，两个物体之间的引力与它们质量的乘积和它们之间距离的平方的倒数成正比。万有引力定律的方程是，其中 G 是引力常量，m₁ 和 m₂是两个物体的质量，r 是它们之间的距离。”

小海感到很惊奇：“哇，这么说来，数学真是无处不在！”

生活中无处不在的方程

模数师补充道：“不仅如此。当你做蛋糕时，配方中的材料比例也可以用简单的方程表示。再如，电费是按照消耗的电量计算的，这里面也涉及方程。”

小海瞪大眼睛，追问道：“原来方程这么有用，那它是怎么构建的呢？”

模数师解释：“构建方程的关键是找到变量之间的关系。以做蛋糕为例，你需要根据蛋糕的大小来调整面粉、糖和其他材料用量的比例。这个比例可以用方程来表示。”

小海又问：“那么，方程是不是很难求解呢？”

模数师回答：“这取决于方程的复杂性。有些方程很简单，我们可以直接求解；有些则需要用复杂的数学方法求解。但无论如何，掌握方程的基本原理对理解和解决实际问题都是非常有帮助的。”

模数师总结道：“学习方程，可以帮助我们理解事物的运行规律并预测未来。它在数学、物理学、化学、生物学、经济学等众多学科中都不可或缺，是我们理解复杂世界的强大助手。”

小海说：“没想到方程的应用这么广泛！我要学好它。”

模数师微笑着点了点头：“没错，掌握了方程，就如同拥有了一把解开世界奥秘之门的钥匙。无论是应对生活中的挑战，还是探索浩瀚宇宙的规律，方程都是你无可替代的伙伴。”

两人继续在星空下交谈，小海对方程的认识更加深刻了。方程的世界不仅蕴藏着宇宙星辰的精确法则，等着他去揭示，更蕴藏着改变未来、构建新知的无限潜能，召唤他去开启。

1.9　描述映射关系：函数

学习成绩与投入时间的非线性关系

小海在生活中注意到了一些有趣的对应关系，比如他发现每天学习的时间与考试成绩之间似乎存在某种联系。他对这些发现充满好奇，并向模数师求教。

“模数师，我发现我每天学习的时间越长，我的考试成绩似乎越好。它们之间是不是有什么数学上的联系呢？”小海问。

模数师点了点头说：“你发现的这种关系可以用数学中的函数来表示。函数是一种特殊的对应关系，它可以将一个变量的值映射为另一个变量的值。比如，我们可以将学习时间看作一个变量，将考试成绩看作另一个变量。”

小海听得津津有味：“那我们怎么用函数来描述这种关系呢？”

模数师解释道：“首先，我们需要定义两个变量。比如，用 x 表示学习时间，用 y 表示考试成绩。我们假设学习时间和考试成绩之间存在线性关系，那么这种关系可以用线性函数来描述，比如 y=ax+b，其中 a 和 b 是常数。”

“这意味着考试成绩和学习时间是正比关系吗？”小海好奇地问。

“不完全是。”模数师回答，“线性关系意味着两个变量之间的增长率是恒定的。但在实际情况中，这种关系可能更加复杂。比如在开始阶段，增加学习时间会显著提高考试成绩，但到了一定程度后，效果可能会逐渐减弱。”

小海沉思了一会儿：“那我们怎样才能更准确地描述这种关系呢？”

模数师建议：“在现实生活中，很多关系都是非线性的。我们可以使用非线性函数来描述复杂的关系，比如二次函数、指数函数或对数函数。选择哪种函数取决于你观察到的数据特点和你想要描述的关系。”

“我明白了！”小海兴奋地说，“这样一来，我就可以通过收集数据和建立数学模型来探索生活中各种现象产生的原因了。”

模数师微笑着说：“完全正确。通过使用函数来描述变量之间的关系，你可以更深入地理解和分析生活中的各种现象。这就是数学的魅力。”

螳螂的攻击距离有多远？

“来来来，我来考考你，观察表格中的数据，你会使用什么函数进行建模呢？”模数师在纸上画出一个表格，“这个表格的第一列代表螳螂胃中的食物量，以毫克为单位；第二列代表螳螂的攻击距离，以毫米为单位。”

“这个例子看起来真有意思！我第一次接触这种数据！”小海很兴奋，“就让我来试一试吧。好像胃中的食物量越多，螳螂的攻击距离越短。”

小海仔细地观察了他绘制的散点图，并开始思考如何将其规律用数学模型表示出来。他发现数据显示了两种不同的趋势：当胃中的食物量较少时，螳螂的攻击距离随着胃中的食物量的增加而减少；而当胃中的食物量达到一定值后，螳螂的攻击距离似乎保持不变。因此，他决定使用分段函数来描述这种现象。

小海写下了如下数学模型表达式：设f (x) 代表螳螂的攻击距离，x代表胃中的食物量，那么

其中，a 和 b 是一次函数的系数，C 是胃中食物量的阈值，当食物量超过这个阈值时，螳螂的攻击距离为0。

不过他意识到，不可能有一条直线完全恰好穿过前半部分的数据。这该怎么办呢？

最佳拟合的探索：逼近数据点的艺术

“在实际应用中，我们很少能找到完美拟合所有数据的数学模型。”模数师耐心地解释道，“所以，我们通常会使用最佳拟合线或曲线来逼近这些数据，帮助我们找到最能表示数据趋势的函数。”

“你觉得哪条直线可以作为最佳拟合线呢？”模数师笑着问。

“或许我可以将(110,65)和(700,0)两个点连起来，这两点之间的直线大致穿过这些范围内的点。”

小海的眼中闪烁着思考的火花，他继续说：“但这条直线只是一条近似的最佳曲线，应该还有更加精确的确定直线系数的方法。”

模数师点头称赞：“很好，你理解得很对。在选择最佳拟合线时，我们要找到一条既接近大多数数据，又能反映整体趋势的线。这通常需要一些数学工具和技巧，比如最小二乘法，它可以帮助我们计算出最佳拟合线的系数。”

“这样一来，我们就可以确定分段函数的前半部分了，对吗？”小海问。

“对的。”模数师回答，“一旦我们确定了最佳拟合线的方程，就可以用它来定义分段函数的前半部分。而对于后半部分，由于胃中的食物量超过阈值后，螳螂的攻击距离为0，因此分段函数的后半部分是一个常值函数（即一个常数）。”

小海思考了一会儿，然后说：“那接下来的挑战是确定阈值C。我需要找到一个胃中食物量的点，在这个点之前，螳螂的攻击距离开始显著下降；而在这个点之后，攻击距离为0。”

模数师笑着说：“这正是数据分析的魅力所在。你需要仔细观察数据，结合数学工具和你的直觉来找到最合适的模型。记住，没有一个模型是完美的，但通过努力，我们可以找到最接近真实情况的模型。”

小海点头，心中充满了探索未知的热情。他明白，这不仅是掌握数学工具的过程，更是打开现实世界奥秘之门的钥匙。

1.10　描述动态变化：递推数列

用数学描述累积效应

小海最近对一些随时间变化的规律产生了兴趣，比如植物生长的规律，或者自己的学习进步的规律。他对这些规律的数学描述感到好奇，但不知道从哪里开始学习。

“模数师，我观察到一些事物随时间变化的规律，比如植物的生长和知识的积累。我该如何用数学来描述这些规律呢？”小海询问。

模数师回答道：“这是一个很好的问题，小海。对于随时间变化的规律，一种有效的数学工具是递推数列。递推数列是一种数列，其中每个后续项都是基于前面项计算得出的。”

小海好奇地问：“递推数列是什么样的呢？能举一个例子吗？”

模数师解释道：“当然可以。如果你想描述某植物的生长过程，可以假设植物某天的高度与前一天的高度的关系可用一个函数表示。比如，如果我们用 H_n 表示第 n 天的植物高度，那么这个高度可以通过前一天的高度来计算，H_n=H_n-1+k，其中 k 是植物平均增长量。”

小海思考了一下，然后说：“这样的话，只要知道初始高度和增长规律，我就可以计算任意一天的植物的高度了！”

自然界的复式增长模式

“正是如此，”模数师补充道，“递推数列不仅可以用来描述线性增长，还可以用来描述更复杂的非线性增长。比如，植物的生长率是随着时间逐渐改变的，我们可以使用更复杂的递推关系来描述它。”

“再如，植物的生长可能不是恒定的，而是随着时间和条件的变化而变化的。在这种情况下，我们可以使用一个非线性递推关系来描述这个过程。比如，，” 模数师解释道，“这里，r 表示最大生长率，是一个常数，K表示植物可能生长的最大高度。当植物高度接近 K 时，因为环境资源的限制，生长速度会逐渐减慢。”

“你能想象将该递推数列绘制成图像的样子吗？” 模数师笑着问小海。

小海陷入了思考，然后回答：“如果我们将这个递推数列绘制成图像，它应该会呈现植物高度随时间增长的趋势。”

“那么它最开始的增长速度和某一时刻后的增长速度有何不同呢？”模数师接着问。

“嗯……”小海有些茫然。

“我们可以通过这个式子来观察规律！”模数师解释道，“你看，我们可以移项，即，等号右侧的表示生长速度。植物在生长初期，H_n-1比较小，但相对较大，到后期H_n-1变大，但变小，所以一般在生长初期和后期综合来看速度都相对较小，但中间某些时候生长速度比较快。”

小海恍然大悟：“原来是这样！在生长初期，由于植物高度较低，生长速度受到的限制较小，所以能够较快地增长。但随着植物高度的增加，接近最大高度K时，生长速度会因为环境资源的限制而减慢。”

模数师点头：“没错，这就是非线性增长的特点。初期，资源充足，植物能够迅速利用这些资源生长。但随着植物逐渐长高，可利用的资源变得有限，生长速度就会下降。这种规律在自然界中非常普遍。”

说着，模数师在纸上画出了图像。

模数师解释道：“这个曲线我们常称为‘S’型增长曲线，也称为逻辑斯谛曲线。”

小海凝视着模数师画出的曲线，试图理解这条曲线的含义，他问：“所以这条‘S’型增长曲线表示了植物从初期的缓慢（加速）生长，到中期生长速度最快，再到后期减速生长，最终趋于最大高度的稳态过程？”

“完全正确。”模数师回答，“这种‘S’型曲线在生物学和生态学中非常常见，它不仅适用于描述植物的生长，还适用于描述种群数量的增长，甚至适用于描述某些社会现象的发展过程。它反映了一个系统从无到有，逐渐发展，最终达到平衡状态的整个过程。”

小海眼睛一亮：“这太有趣了！这样一来，我就能用这个模型来预测植物的生长，甚至很多其他事物的变化过程了。”

模数师笑了笑：“确实是个强大的工具。不过要记住，模型终究是现实的简化版本。真实世界里的系统往往更复杂，会受到多种因素的影响，导致实际情况与理论预测产生偏差。所以，理解模型的边界和适用条件是非常重要的。”

知识积累的量化模型

小海的好奇心被激发了：“那么，我的知识积累的规律，是不是也能用递推数列来描述？”

“当然可以。”模数师肯定道，“比如，你每天学到的新知识量，很可能与你已有的知识基础有关。如果我们用 S_n 表示第n天结束时你的知识总量，那么S_n可能等于前一天的 S_n-1 加上一个基于S_n-1 的函数值，比如 S_n=S_n-1+ f (S_n-1)，这里的 f (S_n-1) 可以代表已有知识量增长的部分。”

小海若有所思地点头：“这让我对数学有了更深的理解。我也可以开始尝试为生活中事物的变化过程建立数学模型了。”

模数师鼓励道：“非常好，小海！数学模型就像探索世界的望远镜和显微镜，能帮助我们洞察规律、预测趋势。但永远要记住，它们是基于特定假设的简化版本。现实世界往往充满更多变量，所以我们需要在实践中不断观察、验证和优化模型，让它更贴近复杂的现实世界。”

1.11　描述直观形态：几何形状

生活中的几何之美

小海在生活中注意到了一些有趣的形状和图案，比如对称的花朵、建筑的几何形状以及各类设计中的几何图案。这些形状和图案激发了他对几何学研究的兴趣。

“模数师，我发现生活中有很多有趣的形状和图案。我想进一步研究它们，但不知道该如何开始。”小海说。

模数师回答道：“你观察得很仔细，小海。一种好的开始方式是，把你观察到的形状和图案画出来。通过画图，你可以直观地发现它们的特点，这对你的分析具有启发意义。”

小海点了点头：“这听起来很有道理。但我怎样才能深入地分析这些形状和图案呢？”

模数师解释说：“一旦你画出了这些形状和图案，就可以利用几何知识来分析它们。比如，你可以研究形状和图案的对称性、面积和周长，还可以探究不同形状和图案的组合和排列。”

“我明白了！”小海兴奋地说，“我可以测量花瓣的长度，看它们是否遵循某种规律，或者计算建筑的面积和体积。”

工程中的几何魅力

“对，”模数师鼓励道，“通过这种方式，你不仅可以更好地理解所观察到的形状和图案，还可以发现几何学知识在现实世界中的应用。此外，你还可以尝试运用代数学和几何学的工具来进行更深入的分析。”

“比如分析一座桥的拱圈结构，你该如何开始呢？”模数师提出了一个具体的问题。

小海开始思考：“首先，我会观察拱圈的形状，看它是半圆形还是半椭圆形，或者是其他形状。然后，我会测量拱圈的高度和宽度等，这样就可以大致了解它的尺寸和比例。”

“很好，”模数师肯定道，“接下来你可以使用相关公式来计算拱圈所围成区域的面积。如果拱圈是半圆形，可以使用圆的面积公式；如果是半椭圆形，可以使用椭圆的面积公式。”

小海点头：“我还可以研究拱圈的结构是否能够使桥更稳固，以及它是如何传递压力的。”

“对，这就涉及物理学和工程学的知识，”模数师补充道，“你可以探究拱圈的几何设计如何影响整个结构的力学性能。比如，分析拱圈如何将竖向载荷转化为沿拱圈方向的压力，从而将重量传递到桥墩或桥台。”

“我还可以将它和其他类型的桥梁进行比较，分析不同的设计是如何影响桥梁的承载能力和稳定性的。”小海更加兴奋了。

“没错，”模数师鼓励道，“通过对比分析，你不仅能更深入地理解几何形状的特性，还能学习如何将相关理论应用于实际问题。几何学虽然是一门抽象的基础学科，但其在建筑工程等领域有着广泛的应用。”

1.12　描述数据规律：统计图表

让数据“开口说话”

小海对查阅表格的不便感到困扰，他希望能用一种更直观的方式来揭示数据的规律。

“模数师，我发现直接从数据表格中提取信息有时很困难。有没有更直观的方法来揭示数据中的规律呢？”小海问。

模数师回答：“当然有。使用统计图表是一种很好的方式，它能将数据可视化，让你更直观地观察数据隐含的模式和趋势。”

小海好奇地问：“什么是统计图表呢？”

模数师解释：“统计图表是以图形方式展示数据分布、趋势或关系的视觉工具。有许多类型的统计图表可以帮助你更好地理解数据。比如，条形图和柱形图非常适合比较不同类别的数据量；折线图适用于显示数据随时间的变化趋势；散点图可以用来探究两个变量之间的关系。”

“能举个例子吗？”小海问。

“当然可以。”模数师说，“假设你有不同月份的平均气温数据，可以使用折线图来表示气温随时间的变化趋势，这样就能一目了然地看出温度如何随时间变化。”

模数师继续说：“再如，要比较你们班期末考试各科的平均分，你可以用条形图。”

小海点头表示理解：“这样一来，数据就变得生动、直观了！我还可以用这些统计图表来展示我的观察结果或研究发现。”

“正是如此，”模数师补充道，“使用统计图表不仅有助于你更好地理解数据，也能让你的结论更清晰、更有说服力。不过要记住，选择合适的图表类型，对准确传达信息非常重要。”

多样的统计图表

“我再给你介绍几种有趣又新颖的统计图表，”模数师翻开了一本厚厚的笔记本，一边展示一边说，“这些都是不太常见的统计图表，但在特定情境 下非常有用。”

模数师指向了一张雷达图说：“雷达图非常适用于多维度数据的比较。比如，你想比较不同学生在各科上的表现，用它能直观地展示出他们的强项和弱项。”

模数师又指着一张箱形图说：“箱形图可以清晰地展示数据的分布情况，特别是能标出中位数、第一四分位数和第三四分位数以及异常数据点。它在分析考试成绩或实验数据时特别有用，因为它能快速呈现数据分布的整体特征。”

模数师又翻到了一张热力图说：“以颜色深浅直观表示二维矩阵中各位置的数值大小或频率分布，比如一周内不同时间段的网站访问量或不同地区的温度分布情况。”

小海非常兴奋，决心收集这些有趣的统计图表，以便在今后灵活运用。

模数师看着兴奋的小海，微笑着继续介绍：“还有一种图表叫作散点图，非常适合用来探究两个变量之间是否存在某种关系。比如，你可以用它来分析学习时间与考试成绩之间的关系。”

小海认真地听着，然后说：“我还可以使用散点图来描述其他关系，比如运动量与健康指标的关系。”

“没错。”模数师点头道，“而且，当你掌握了统计图表的基本原理后，你可以尝试结合多种图表进行更深入的分析。比如，你可以在一份报告中同时使用折线图（表示利润率）和柱形图（表示销售额）来展示销售数据。”

讲述数据背后的故事

“这听起来真有趣！”小海兴奋地说，“我可以用这些图表工具使我的科学报告更加生动和有说服力。”

模数师鼓励道：“绝对可以。记住，好的统计图表不仅能够传达事实，还能讲述数据背后的故事。恰当地使用统计图表，你可以让你的观众更容易理解你的研究成果。”

小海用力点了点头，对运用这些统计图表来展示研究成果充满期待。他意识到，这些统计图表不仅是数据分析的有力工具，更是表达思想和成果的有效载体，因此，决定在接下来的科学报告中尝试使用。

1.13　描述组成与过程：结构图

让复杂关系一目了然

“模数师，是不是所有看起来像‘图’的东西都能算作数学模型？”小海问道，他意识到有些图似乎不能直接由计算得到。

“不是的，”模数师解释道，“很多图主要用于表达概念或展示结构，它们本身并不构成数学模型，比如结构图。”

“我们可以使用结构图表示某公司的组织结构或某生态系统的食物链。结构图能帮助我们理解不同部分之间的关系，但它本身不涉及数学运算。”模数师继续解释道，“结构图更多地用于描述事物间的联系和层级关系，而数学模型则用来量化和分析这些关系。”

“结构图的种类很多，并且也非常有用，我们要学会利用它们来帮助自己组织想法，为数学建模做好准备。”模数师说。

模数师翻开了笔记本，一边给小海展示一边说：“这里有一些常见的结构图。”

模数师指着一张组织结构图说：“这是一张组织结构图，它展示了一个公司或机构内部的职位设置和层级关系。这种图可以帮助我们理解组织的内部架构和各部门之间的相互关系。”

接着，模数师展示了一张流程图说：“流程图通常用来展示工作流程、决策过程或系统的操作步骤。流程图用图形来表示一系列步骤和决策点，它们以特定的顺序排列，用于展示从开始到结束的整个流程。流程图中的每一个步骤通常用一个方框表示，而决策点用菱形框表示。这些图形通过箭头相连，箭头指示流程的方向。

“比如我们要分析一个产品的生产流程，流程图可以帮助我们理解从原材料采购到产品生产，再到销售的每一个步骤。通过流程图，我们可以轻松识别流程中的关键步骤和潜在的瓶颈。”

模数师又指着一张思维导图说：“思维导图是一种用于头脑风暴、规划和组织信息的可视化工具。它以中心思想为核心，通过分支来展示相关的子主题。”

小海认真地听着，逐渐理解了结构图的重要性，说道：“结构图确实很有用，它可以帮助我厘清思路，为数学建模和解决问题做好准备。”

概念与量化“双剑合璧”

“没错，”模数师点头说，“结构图可以帮助你清晰地组织信息，是理解复杂问题和构建数学模型的重要起点。虽然结构图本身不涉及数学运算，但它能揭示变量之间的关系，为后续建模打下基础。”

接着，模数师拿出了一张复杂的结构图说：“看，这张结构图展示了一个系统的结构及各组件间的相互作用。虽然这张图有助于我们理解系统的整体结构，但它本身不包含数学运算，因此不能直接用作数学模型。”

“数学模型通常是基于数学语言构建的，用于描述、分析或预测现实现象，”模数师继续解释，“它可以是一组方程、一个函数或一套算法。比如，我们用方程来描述物体的运动或用算法来预测经济增长趋势。”

“所以数学模型更具有量化和预测的能力？”小海问。

“是的，”模数师点头道，“数学模型让我们能够通过计算来探究和预测现象，而结构图更多用于概念的理解和呈现。在实际应用中，我们常常先用结构图来概念化问题，然后构建数学模型来进行具体的分析和计算。”

“这样看来，结构图虽然非常有用，但它不能替代数学模型的精确性和预测能力。”小海总结道。

模数师补充道：“结构图不仅可以使问题结构和流程逻辑更加清晰，还可以辅助识别系统中各组成部分之间的关系。在数学建模过程中，正确地使用结构图，可以极大地提高我们的分析效率和建模的准确性。”

小海听后，对结构图的重要性有了更深的理解。他充满期待地说：“我想我可以尝试用结构图来梳理复杂问题，为后续建模和解决问题打下基础。”

模数师点头微笑道：“没错，小海。随着学习的深入和实践的积累，你会发现这些图形工具在解决复杂问题时所展现出的巨大价值。要记住，数学不仅包括数字和公式，还包括直观的视觉工具，它们可以帮助我们更好地理解并有效传达复杂的概念。”

小海感到自己对数学建模的理解更深了一层。他逐渐意识到，无论是数学工具还是抽象思维，都是解决问题不可或缺的组成部分。他决定在今后的学习和实践中，更加注重工具与思维并重的思考方式。

1.14　描述联系：图论与复杂网络

图论初探：从生活场景到数学模型

图论作为一种强大的数学工具，在生活中有很多用处，比如交通网络、人际网络等。模数师准备给小海介绍与图论相关的概念和知识。

模数师说：“图论是数学的一个分支，它研究的是图的数学理论和应用。在图论中，‘图’是由‘点’（也称为顶点）和连接这些点的‘边’组成的。图论可以用来表示现实世界中的网络结构，比如交通网络、社交网络、互联网等。

“我们从最基本的‘图’开始介绍。一张图由一组顶点和一组边组成。顶点可以代表任何事物，比如城市、人或计算机。边代表顶点之间的关系或连接，比如道路、朋友关系或网络连接。”

“我们来画一张简单的图。” 模数师拿出一张白纸和几支彩色笔，“比如，我们现在想要绘制一个小城市的交通系统。城市中的几个重要的地点，可以用一组顶点来表示。然后，用边来表示这些地点之间的道路。”

模数师迅速地在纸上画了几个圆圈，表示不同的地点，然后用线条连接这些圆圈，表示道路。模数师解释道：“在这张图中，圆圈是顶点，每条连接它们的线是一条边。这张图可以帮助我们理解和分析城市的交通流量、最短路径等问题。”

小海看着这张简单的图，尝试理解模数师的意思：“那么，我们可以用这种方式来分析最快到达某个地点的路线了？”

“没错，”模数师继续说，“图论还有很多有趣的概念和问题，比如找到最短路径的算法、探究网络中是否存在环路或者判断一个网络是否连通等。这些都是图论研究的内容。”

深入图论：有向图、加权图与现实应用

“图论还涉及更复杂的结构，比如有向图和加权图。”模数师补充道，“在有向图中，边是有方向的，它表示单向连接。而在加权图中，每条边都有一个权重，代表边的某种属性，比如距离、成本或容量。”

模数师解释道：“在图论中，有三个重要的概念。第一个是路径，它指的是通过一系列边，从一个顶点到另一个顶点的路线。如果从一个顶点出发，沿着路径最终回到这个顶点，那么这条路径就是一个环路。

“另一个重要的概念是连通性。如果在一张图中，从任何一个顶点出发都能到达其他所有顶点，就可以说这张图是连通的。在交通网络中，连通性是一个非常重要的属性，它确保从某个地方出发能到达任何地方。

“还有一个重要的概念是顶点的‘度’。一个顶点的度是指与它相连的边的数量。在人际关系网中，一个人的‘度’可以表示他的朋友数量。”

模数师接着说：“图论在现实生活中有很多应用。比如，在交通网络中，顶点可以代表城市，边可以代表城市之间的道路或航线。通过分析交通网络图，我们可以了解不同城市之间的路径，找出最短的路径，或者识别网络中的关键节点。

构建社交网络图

“在社交网络分析中，顶点可以代表个人，而边可以代表人与人之间的社交联系。通过研究这张社交网络图，我们可以了解社交网络的结构，找出重要的影响者或分析社群的形成。”

模数师继续说：“假设有一个由10人构成的班级，班级中有的学生之间有联系，有的没有联系，我们可据此构建一个社交网络图。

“表中记录了每位学生之间的联系情况。根据表格信息，我们知道班级中每位学生与哪些学生存在联系。比如，学生1与学生2和学生3有联系，而学生10与学生7、学生8和学生9有联系。基于此表格,我们可以画出社交网络图。

“这样的图可以帮助我们了解班级内的社交关系，找出哪些学生是社交网络中的关键节点，并分析班级中如何形成不同的社交群体。通过分析社交网络图，我们能更深入地洞察人际关系的复杂性和动态变化。”

小海听后兴奋地说：“这太有趣了！图论不仅是抽象的数学，还与我们的日常生活息息相关。”

模数师微笑着点头说：“没错，小海。图论为分析和理解复杂的网络结构提供了强有力的工具。随着学习的深入，你会发现它在现实世界中的更多应用，这将显著提升你解决实际问题的能力。”