第 1讲:函数与导数的定义
1.1 函数的定义与性质
1.1.1 函数与常用函数
1.1.2 函数的基本性质
1.1.3 函数的零点问题
1.1.4 函数的定义的推广*
1.2 导数的定义与性质
1.2.1 定义与基本性质
1.2.2 取对数求导法与隐函数求导法*
1.3 导数的应用
1.3.1 单调性与极值点
1.3.2 凹凸性与拐点
1.3.3 证明不等式
1.4 课后练习
第 2讲:分类讨论与分离变量
2.1 分类讨论的常见策略
2.1.1 矛盾区间法
2.1.2 端点效应
2.1.3 必要性探路
2.1.4 多次求导
2.2 分离变量的策略与缺陷
2.2.1 分离变量的思路
2.2.2 洛必达法则*
2.2.3 绕开洛必达法则
2.3 解题中的因式分解
2.3.1 多项式的除法
2.3.2 二次方程的十字相乘
2.4 课后练习
第3讲:函数不等式
3.1 常见函数不等式
3.1.1 基本的函数不等式
3.1.2 指数函数不等式
3.1.3 对数函数不等式
3.1.4 对数分式不等式
3.1.5 对数分式不等式的积分证法*
3.1.6 对数平均不等式
3.1.7 三角函数不等式
3.2 函数不等式的应用
3.2.1 巧用“放缩”的手段
3.2.2 放缩取点的技巧
3.3 自然常数e与指数函数
3.3.1 复利问题与指数函数
3.3.2 微分方程与指数函数*
3.4 函数的展开式及其应用*
3.5 课后练习
第4讲:多变量问题
4.1 偏导数及其应用
4.1.1 偏导数的引入与意义
4.1.2 偏导数的应用
4.1.3 拉格朗日乘子法*
4.1.4 存在型多变量问题
4.2 有关系的双变量问题
4.2.1 利用齐次建立关系
4.2.2 利用韦达定理建立关系
4.3 函数的中值定理及其应用
4.4 课后练习
第5讲:极值点偏移
5.1 极值点偏移的基本方法
5.1.1 确定参数的取值范围
5.1.2 对称化构造
5.1.3 对数平均不等式
5.1.4 换元与消元
5.2 极值点偏移的变形
5.2.1 不同的极值点
5.2.2 乘积型极值点偏移
5.2.3 加强不等式
5.2.4 拐点偏移
5.3 构造函数逼近原函数
5.3.1 极值点偏移的新方法
5.3.2 零点差问题的处理策略
5.4 课后练习
第6讲:隐零点问题
6.1 隐零点问题的分析
6.2 隐零点问题的处理手段
6.2.1 消去变量
6.2.2 消去参数
6.3 隐零点方法的推广
6.3.1 两函数的公切线问题
6.3.2 朗博W函数及其应用
6.4 课后练习
第7讲:复杂函数问题
7.1 指数函数与对数函数的“同构”
7.2 指数函数与对数函数结合
7.2.1 证明指数对数不等式
7.2.2 凹凸性反转的技巧
7.3 三角函数与其他函数结合
7.3.1 借助三角函数的性质
7.3.2 转化为其他函数
7.4 三次函数的分析
7.4.1 三次函数的图象与单调性
7.4.2 三次函数相关高考题
7.5 课后练习
第8讲:函数与数列结合
8.1 递推数列相关问题
8.1.1 一阶递推数列的不动点法
8.1.2 高阶递推数列的特征根法
8.1.3 函数递推式
8.2 数列求和与不等式
8.2.1 对数求和相关不等式
8.2.2 连乘积相关不等式
8.2.3 借助积分放缩*
8.3 课后练习
第9讲:微积分选讲
9.1 从实数到无穷大
9.1.1 实数的定义
9.1.2 无穷大的势
9.2 极限的定义
9.2.1 数列的极限
9.2.2 函数的极限
9.3 微分与积分
9.3.1 导数与微分
9.3.2 定积分与微积分基本定理