Chapter 1 矩阵及线性空间

Chapter 1 矩阵及线性空间

1.1 矩阵

1.2 数域

• 定义：设P是由一些复数组成的集合，其中包含0和1，若P中任意两个数（这两个数也可以相同）的和、差、积、商（除数不为零）仍然是P中的数，那么，P就称为一个数域．
• 数域：Q R C $a+b\sqrt2$（其中a,b 是任何有理数）
• 不是数域：N Z
• 有理数域Q 是最小的数域．

证：设K是一个数域，0 \neq a \in K，则 0 = a - a \in K,1=\frac{a}{a} \in K.\\
从而1+1=2，2+1=3，\cdots，(n-1)+1=n,\cdots 全在K中.\\
又-n=0-n \in K,所以K包含全体整数.\\
对任意整数p,q且q\neq 0,有\frac{p}{q} \in K,故Q \subset K\\

1.3 线性空间

• 定义：设V 是一个以$\alpha ,\beta ,\gamma$为元素的非空集合， F 是一个数域．在其中定义两种运算，一种为加法：$\forall \alpha ,\beta \in V,\alpha +\beta \in V$； 另一种为数乘：$\forall k \in F,\alpha \in V,$$k\alpha \in V$.且满足以下八条运算法则：

  ①加法交换律：$\alpha+\beta=\beta+\alpha$;
  ②加法结合律：$(\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma)$;
  ③V 中存在零元素：$\alpha_0 \in V,\forall \alpha \in V,\alpha+\alpha_0 = \alpha ,记\alpha_0 = 0$;
  ④负元素存在：$\forall \alpha \in V,\exist \beta \in V,使\alpha+\beta=0,记\beta=-\alpha$;
  ⑤数乘结合律：$(kl)\alpha=k(l\alpha)$;
  ⑥存在$1\in F,1\cdot \alpha=\alpha$;
  ⑦分配律：$(k+l)\alpha=k\alpha + l\alpha$;
  ⑧分配律：$k(\alpha+\beta)=k\alpha+k\beta$．
  

  则称V为数域F上的线性空间.V中元素称为向量．当F为实（复）数域时，称V 是实（复）线性空间．
• 线性空间中零元的唯一性（证）
• 线性空间中负元的唯一性（证）